اتصال كارتان

لنفترض سطحًا أملسًا S في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد R³ ^. بالقرب من أي نقطة، يمكن تقريب S بمستواه المماس عند تلك النقطة، وهو فضاء جزئي أفيني من الفضاء الإقليدي. تُعدّ الفضاءات الجزئية الأفينية أسطحًا نموذجية - فهي أبسط الأسطح في R³ ^، ومتجانسة تحت المجموعة الإقليدية للمستوى، وبالتالي فهي هندسات كلاين وفقًا لبرنامج إرلانجن لفيلكس كلاين . لكل سطح أملس S مستوى أفيني فريد مماس له عند كل نقطة. تُسمى مجموعة جميع هذه المستويات في R³ ^، مستوى متصل بكل نقطة من S ، بتطابق المستويات المماسية. يمكن "دحرجة" المستوى المماس على طول S ، وعندها ترسم نقطة التماس منحنى على S. وبالعكس، إذا كان لدينا منحنى على S ، فيمكن دحرجة المستوى المماس على طول ذلك المنحنى. يوفر هذا طريقة لتحديد المستويات المماسية عند نقاط مختلفة على طول المنحنى عن طريق التحويلات الأفينية (في الواقع الإقليدية)، وهو مثال على اتصال كارتان يسمى اتصال أفيني .

مثال آخر يُمكن الحصول عليه باستبدال المستويات، كأسطح نموذجية، بكرات متجانسة تحت تأثير مجموعة موبيوس للتحويلات المطابقة. لم يعد هناك كرة واحدة مماسة لسطح أملس S عند كل نقطة، لأن نصف قطر الكرة غير محدد. يُمكن حل هذه المشكلة بافتراض أن للكرة نفس متوسط ​​انحناء السطح S عند نقطة التماس. يُمكن دحرجة هذه الكرات مرة أخرى على طول منحنيات على السطح S ، وهذا يُزوّد ​​السطح S بنوع آخر من وصلات كارتان يُسمى الوصلة المطابقة .

أبدى علماء الهندسة التفاضلية في أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين اهتمامًا كبيرًا باستخدام عائلات النماذج، كالمستويات والكرات، لوصف هندسة الأسطح. تُسمى عائلة فضاءات النماذج المرتبطة بكل نقطة من سطح S بالتطابق : في الأمثلة السابقة، يوجد اختيار نموذجي لهذا التطابق. يوفر اتصال كارتان تعريفًا بين فضاءات النماذج في التطابق على طول أي منحنى في S. من السمات المهمة لهذه التعريفات أن نقطة تماس فضاء النموذج مع S تتحرك دائمًا مع المنحنى. هذا الشرط العام هو سمة مميزة لاتصالات كارتان.

في المعالجة الحديثة للوصلات الأفينية، تُعتبر نقطة التماس هي الأصل في المستوى المماس (الذي يُصبح حينها فضاءً متجهيًا)، ويتم تصحيح حركة الأصل عن طريق إزاحة، وبالتالي لا حاجة لوصلات كارتان. مع ذلك، لا توجد طريقة معيارية للقيام بذلك بشكل عام: ففي حالة الوصلة المطابقة لتطابق الكرة تحديدًا، لا يُمكن فصل حركة نقطة التماس عن بقية الحركة بطريقة طبيعية.

في كلا المثالين، يكون فضاء النموذج فضاءً متجانسًا G / H.

• في الحالة الأولى، G / H هو المستوى الأفيني، مع G = Aff( R ² ) المجموعة الأفينية للمستوى، و H = GL(2) المجموعة الخطية العامة المقابلة.
• في الحالة الثانية، G / H هي الكرة المطابقة (أو السماوية )، مع G = O ⁺ (3,1) مجموعة لورنتز (المتزامنة) ، و H هو مثبت خط الصفر في R ^3,1 .

تتألف هندسة كارتان للفضاء S من نسخة من فضاء النموذج G / H عند كل نقطة من S (مع نقطة تماس محددة) بالإضافة إلى مفهوم "النقل المتوازي" على طول المنحنيات الذي يحدد هذه النسخ باستخدام عناصر من G. هذا المفهوم للنقل المتوازي عام بمعنى بديهي، حيث تتحرك نقطة التماس دائمًا على طول المنحنى.

بشكل عام، ليكن G زمرة ذات زمرة جزئية H ، وليكن M متعدد الشعب من نفس بُعد G / H. عندئذٍ، وبصورة تقريبية، يكون اتصال كارتان على M اتصالاً G- عاماً بالنسبة للاختزال إلى H.

الاتصال الأفيني على متعدد الشعب M هو اتصال على حزمة الإطار (الحزمة الرئيسية) لـ M (أو بشكل مكافئ، اتصال على حزمة المماس (حزمة المتجهات) لـ M ). يتمثل أحد الجوانب الرئيسية لوجهة نظر اتصال كارتان في توضيح هذا المفهوم في سياق الحزم الرئيسية (والتي يمكن تسميتها "النظرية العامة أو المجردة للإطارات").

ليكن H زمرة لي ،${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$جبر لي الخاص بها . عندئذٍ، تكون الحزمة الرئيسية H عبارة عن حزمة ليفية P فوق M مع تأثير سلس لـ H على P يكون حرًا ومتعديًا على الألياف. وبالتالي، فإن P عبارة عن مشعب أملس مع خريطة ملساء π : P → M تبدو محليًا مثل الحزمة التافهة M × H → M. حزمة الإطار لـ M هي حزمة رئيسية GL( n )، بينما إذا كان M مشعبًا ريمانيًا ، فإن حزمة الإطار المتعامدة تكون حزمة رئيسية O( n ).

لنفترض أن R _h يمثل التأثير (الأيمن) لـ h ∈ H على P. مشتق هذا التأثير يُعرّف حقل متجه رأسي على P لكل عنصر ξ من${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$إذا كانت h ( t ) زمرة جزئية ذات مُعامل واحد حيث h (0) = e (عنصر الوحدة) و h '( 0 ) = ξ ، فإن حقل المتجهات الرأسي المقابل هو

${\displaystyle X_{\xi }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}R_{h(t)}{\biggr |}_{t=0}.\,}$

الاتصال الرئيسي H على P هو شكل من الدرجة الأولى${\displaystyle \omega \colon TP\to {\mathfrak {h}}}$ على P ، بقيم في جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$من H ، بحيث

1. ${\displaystyle {\hbox{Ad}}(h)(R_{h}^{*}\omega )=\omega }$
2. لأي${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$, ω ( X _ξ ) = ξ (بنفس الطريقة على P ).

الفكرة البديهية هي أن ω ( X ) توفر مركبة رأسية لـ X ، باستخدام تماثل ألياف π مع H لتحديد المتجهات الرأسية بعناصر من${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$.

تحتوي حزم الإطار على بنية إضافية تسمى شكل اللحام ، والتي يمكن استخدامها لتمديد اتصال رئيسي على P إلى تبسيط حزمة المماس لـ P تسمى التوازي المطلق .

بشكل عام، لنفترض أن ^M له بُعد n وأن H يؤثر على Rⁿ (يمكن أن يكون هذا أي فضاء متجهي حقيقي ذي بُعد n ). يُعرَّف شكل اللحام على حزمة H رئيسية P فوق M بأنه شكل أحادي القيمة Rⁿ ^، θ : TₙP → Rⁿ ، ^أفقي ومتغير بحيث يُنشئ تشاكل حزم من TₙM إلى الحزمة المرتبطة P × _HₙRⁿ ^. ويُشترط كذلك أن يكون هذا تشاكل حزم . تمتلك حزم الإطار شكل لحام (قانوني أو تحصيلي ) يُرسل متجهًا مماسًا X ∈ TₙP _إلى إحداثيات dπp ( X ₎ ∈ Tₙπ _{( p ) M} بالنسبة للإطار p .

يُعرّف الزوج ( ω ، θ ) (وصلة رئيسية وشكل لحام) شكلاً من الدرجة الأولى η على P ، بقيم في جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$من حاصل الضرب شبه المباشر G لـ H مع R ⁿ ، والذي يوفر تماثلًا لكل فضاء مماس T _p P مع${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. إنه يُنشئ اتصالاً رئيسياً α على الحزمة الرئيسية G المرتبطة P × _H G. وهذا اتصال كارتان.

تعمم اتصالات كارتان الاتصالات الأفينية بطريقتين.

• لا يشترط أن يكون تأثير H على R ⁿ فعالاً. وهذا يسمح، على سبيل المثال، للنظرية بتضمين روابط الدوران، حيث تكون H هي مجموعة الدوران Spin( n ) بدلاً من المجموعة المتعامدة O( n ).
• لا يشترط أن تكون المجموعة G ناتجًا شبه مباشر للمجموعة H مع R ⁿ .

اقترح برنامج كلاين في إرلانجن أن الهندسة يمكن اعتبارها دراسة للفضاءات المتجانسة ، وتحديدًا دراسة العديد من الهندسات التي كانت محل اهتمام علماء الهندسة في القرن التاسع عشر (وما قبله). تتألف هندسة كلاين من فضاء، بالإضافة إلى قانون للحركة داخله (مماثل للتحويلات الإقليدية في الهندسة الإقليدية الكلاسيكية )، مُعبَّرًا عنه كمجموعة لي من التحويلات . تُصبح هذه الفضاءات المُعمَّمة مشعبات متجانسة ملساء ، متماثلة شكليًا مع فضاء القسمة لمجموعة لي بواسطة مجموعة لي جزئية . يسمح التركيب التفاضلي الإضافي الذي تمتلكه هذه الفضاءات المتجانسة بدراسة هندستها وتعميمها باستخدام حساب التفاضل والتكامل.

يتمثل النهج العام لكارتان في البدء بهندسة كلاين سلسة كهذه ، معطاة بواسطة زمرة لي G وزمرة لي جزئية H ، مع جبر لي المرتبط بها.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$و${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$على التوالي. ليكن P الفضاء المتجانس الرئيسي الأساسي لـ G. هندسة كلاين هي الفضاء المتجانس المعطى بواسطة خارج قسمة P / H لـ P على الفعل الأيمن لـ H. يوجد فعل H أيمن على ألياف الإسقاط الكنسي.

π : P → P / H

معطى بواسطة R _h g = gh . علاوة على ذلك، كل ^ليف من π هو نسخة من H. P له بنية حزمة H رئيسية فوق P / H. ^{[ 2} ]

يكون حقل المتجهات X على P رأسيًا إذا كان dπ ( X ) = 0. أي ξ ∈${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ينتج عن ذلك حقل متجه رأسي معياري X _ξ عن طريق اشتقاق الفعل الأيمن للمجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد من H المرتبطة بـ ξ. شكل ماورر-كارتان η لـ P هو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$شكل تفاضلي أحادي القيمة على P يُعرّف كل فضاء مماس بجبر لي. وله الخصائص التالية:

1. Ad( h ) R _h ^* η = η لجميع h في H
2. η ( X _ξ ) = ξ لجميع ξ في${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
3. لكل g ∈ P ، فإن η يقيد تماثلًا خطيًا لـ T _g P مع${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (η هو توازي مطلق على P ).

بالإضافة إلى هذه الخصائص، فإن η تحقق معادلة البنية (أو المعادلة الهيكلية ).

${\displaystyle d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta ,\eta ]=0.}$

على النقيض من ذلك، يمكن إثبات أنه إذا كان لدينا متعدد شعب M وحزمة رئيسية H -pundle P فوق M ، وشكل تفاضلي من الرتبة 1 η بهذه الخصائص، فإن P يكون متماثلاً محلياً كحزمة H -pundle مع الحزمة المتجانسة الرئيسية G → G / H. معادلة البنية هي شرط التكامل لوجود مثل هذا التماثل المحلي.

هندسة كارتان هي تعميم لهندسة كلاين الملساء، حيث لا يُفترض وجود معادلة البنية، بل تُستخدم بدلاً من ذلك لتعريف مفهوم الانحناء . ولذلك، يُقال إن هندسات كلاين هي النماذج المسطحة لهندسات كارتان. ^{[ 3 ]}

يتكون اتصال كارتان [ ^{7 ] [ 8 ] من} أطلس إحداثيات للمجموعات المفتوحة U في M ، بالإضافة إلى${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$الشكل θ _U ذو القيم من الدرجة الأولى المعرّف على كل مخطط بحيث

1. θ _U  : T U →${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.
2. θ _U mod${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ : تو _يو →${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$هو تماثل خطي لكل u ∈ U.
3. لأي زوج من الخرائط U و V في الأطلس، يوجد تطبيق سلس h  : U ∩ V → H بحيث

${\displaystyle \theta _{V}=Ad(h^{-1})\theta _{U}+h^{*}\omega _{H},\,}$

حيث ω _H هو شكل ماورر-كارتان لـ H.

قياسًا على الحالة التي جاء فيها θ _U من أنظمة الإحداثيات، فإن الشرط 3 يعني أن φ _U مرتبط بـ φ _V بواسطة h .

يتكون انحناء اتصال كارتان من نظام من الأشكال الثنائية المحددة على المخططات، والمُعطى بواسطة

${\displaystyle \Omega _{U}=d\theta _{U}+{\tfrac {1}{2}}[\theta _{U},\theta _{U}].}$

تحقق Ω _U شرط التوافق:

إذا كانت الصيغتان θU _و θV _{مرتبطتين} بدالة h  : U ∩ V → H ، كما سبق، فإن _ΩV = Ad( h ^{− 1} ) _ΩU

يمكن جعل التعريف مستقلاً عن أنظمة الإحداثيات عن طريق تكوين فضاء القسمة

${\displaystyle P=(\coprod _{U}U\times H)/\sim }$

للاتحاد المنفصل على جميع U في الأطلس. تُعرَّف علاقة التكافؤ ~ على الأزواج ( x , h1 ) ∈ U1 × _H و( _x , h2 ₎ ∈ U2 _× H ، بواسطة

( x , h ₁ ) ~ ( x , h ₂ ) إذا وفقط إذا كان x ∈ U ₁ ∩ U ₂ ، θ _{U 1} مرتبط بـ θ _{U 2} بواسطة h ، و h ₂ = h ( x ) ⁻¹ h ₁ .

إذن، P عبارة عن حزمة H رئيسية على M ، وشرط التوافق على أشكال الاتصال θ _U يعني أنها ترتفع إلى${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$الشكل η ذو القيم -1 المعرف على P (انظر أدناه).

ليكن P حزمة رئيسية H فوق M. عندئذٍ يكون اتصال كارتان ^{[ 9 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$شكل η ذو قيمة من الدرجة الأولى على P بحيث

1. لكل h في H ، Ad( h ) R _h ^* η = η
2. لكل ξ في${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$، η ( X _ξ ) = ξ
3. لكل p في P ، فإن تقييد η يُعرّف تماثلًا خطيًا من الفضاء المماسي T _p P إلى${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

يُطلق على الشرط الأخير أحيانًا اسم شرط كارتان : وهو يعني أن η تُعرّف توازيًا مطلقًا على P. أما الشرط الثاني فيُشير إلى أن η دالة أحادية على المتجهات الرأسية، وأن الشكل التفاضلي η mod 1${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$، بقيم في${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$، أفقي. الفضاء المتجهي${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$هو تمثيل لـ H باستخدام التمثيل المرافق لـ H على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، ويشير الشرط الأول إلى أن η mod${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$متغيرة. ومن ثم فهي تُعرّف تشاكل حزم من T M إلى الحزمة المرتبطة بها${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$شرط كارتان مكافئ لكون هذا التشاكل الحزمي تشاكلاً، بحيث يكون η mod${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$هو شكل من أشكال اللحام .

انحناء وصلة كارتان هو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$الشكل الثنائي Ω ذو القيم - المعرفة بواسطة

${\displaystyle \Omega =d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta .}$

لاحظ أن تعريف اتصال كارتان هذا يبدو مشابهًا جدًا لتعريف الاتصال الرئيسي . ومع ذلك، توجد عدة اختلافات مهمة. أولًا، يأخذ الشكل 1-η قيمًا في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$لكنها متغيرة فقط تحت تأثير H. في الواقع، لا يمكن أن تكون متغيرة تحت تأثير المجموعة الكاملة G لأنه لا توجد حزمة G ولا تأثير G. ثانيًا، الشكل 1 هو توازي مطلق، مما يعني بديهيًا أن η يُعطي معلومات حول سلوك الاتجاهات الإضافية في الحزمة الرئيسية (بدلاً من كونه مجرد عامل إسقاط على الفضاء الرأسي). عمليًا، يربط وجود شكل اللحام اتصال كارتان بالطوبولوجيا التفاضلية الأساسية للمتشعب.

التفسير البديهي لاتصال كارتان بهذا الشكل هو أنه يُحدد انكسارًا للحزمة الرئيسية التكرارية المرتبطة بهندسة كلاين. وبالتالي، فإن هندسات كارتان هي نظائر مشوهة لهندسات كلاين. هذا التشوه هو تقريبًا وصفة لربط نسخة من فضاء النموذج G / H بكل نقطة من M ، واعتبار فضاء النموذج هذا مماسًا ( ومتطابقًا بشكل متناهي الصغر ) مع المتشعب عند نقطة التماس. ثم يتم تحديد ليف الحزمة التكرارية G → G / H لهندسة كلاين عند نقطة التماس مع ليف الحزمة P. يحمل كل ليف من هذه الألياف (في G ) شكل ماورر-كارتان لـ G ، واتصال كارتان هو طريقة لتجميع أشكال ماورر-كارتان هذه، المُجمعة من نقاط التماس، في شكل متماسك من الدرجة الأولى η مُعرف على الحزمة بأكملها. إن حقيقة أن عناصر H فقط تساهم في معادلة ماورر-كارتان Ad( h ) R _h ^* η = η لها تفسير بديهي مفاده أن أي عناصر أخرى من G ستنقل فضاء النموذج بعيدًا عن نقطة الاتصال، وبالتالي لن تكون مماسية للمشعب.

انطلاقاً من اتصال كارتان، المحدد بهذه المصطلحات، يمكن للمرء استعادة اتصال كارتان كنظام من الأشكال 1 على المتشعب (كما هو الحال في تعريف القياس) عن طريق أخذ مجموعة من التفاهات المحلية لـ P المعطاة كمقاطع s _U  : U → P والسماح لـ θ _U = s ^* η بأن تكون عمليات السحب العكسي لاتصال كارتان على طول المقاطع.

ثمة طريقة أخرى لتعريف اتصال كارتان، وهي أنه اتصال رئيسي على حزمة رئيسية معينة من G. من هذا المنظور، يتكون اتصال كارتان من

• حزمة رئيسية G - Q على M
• اتصال رئيسي G - α على Q (اتصال كارتان)
• حزمة فرعية رئيسية H P من Q (أي اختزال مجموعة البنية)

بحيث أن عملية السحب العكسي η ​​من α إلى P تحقق شرط كارتان.

يمكن استعادة الاتصال الرئيسي α على Q من الشكل η باعتبار Q الحزمة المرتبطة P × _H G. وعلى العكس ، يمكن استعادة الشكل η من α بالسحب للخلف على طول التضمين P ⊂ Q.

بما أن α اتصال رئيسي، فإنه يُنشئ اتصالًا على أي حزمة مرتبطة به إلى Q. على وجه الخصوص، فإن الحزمة Q × _G G / H للفضاءات المتجانسة فوق M ، والتي أليافها نسخ من فضاء النموذج G / H ، لها اتصال. يُعطى اختزال مجموعة البنية إلى H بشكل مكافئ بواسطة مقطع s من E = Q × _G G / H. ألياف${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$يمكن اعتبار الفضاء المماس عند النقطة s ( x ) في M ، عند x ، بمثابة الفضاء المماسي للألياف Q × _G G / H عند x . وبالتالي، فإن شرط كارتان له تفسير بديهي مفاده أن فضاءات النموذج مماسية لـ M على طول المقطع s . وبما أن هذا التحديد للفضاءات المماسية ناتج عن الاتصال، فإن النقاط المحددة بـ s تتحرك دائمًا تحت النقل الموازي.

ثمة طريقة أخرى لتعريف اتصال كارتان، وهي استخدام اتصال إهرسمان على الحزمة E = Q × _G G / H من القسم السابق. ^{[ 10 ]} يتكون اتصال كارتان حينها من

• حزمة ألياف π  : E → M مع ألياف G / H ومساحة رأسية V E ⊂ T E .
• القسم s  : M → E .
• اتصال G - θ  : T E → V E بحيث

s ^* θ _x  : T x _M → V s _{( x ) E} هو تماثل خطي للفضاءات المتجهة لجميع x ∈ M.

يُضفي هذا التعريف دقةً على الأفكار البديهية المطروحة في المقدمة. أولًا، يمكن اعتبار المقطع المُفضّل s بمثابة تحديد نقطة تماس بين المتشعب والفضاء المماسي. ويعني الشرط الأخير، على وجه الخصوص، أن الفضاء المماسي لـ M عند x متماثل مع الفضاء المماسي لفضاء النموذج عند نقطة التماس. وبالتالي، فإن فضاءات النموذج، بهذه الطريقة، تكون مماسية للمتشعب.

يُبرز هذا التعريف بوضوح مفهوم التطور . إذا كان x _t منحنىً في M ، فإن وصلة إهرسمان على E تُوفر خريطة نقل متوازية مرتبطة τ _t  : E _{x t} → E _{x 0} من الليف فوق نقطة نهاية المنحنى إلى الليف فوق نقطة البداية. على وجه الخصوص، بما أن E مُجهز بمقطع مُفضل s ، فإن النقاط s ( x _t ) تعود إلى الليف فوق x ₀ وترسم منحنىً في E _{x 0.} يُسمى هذا المنحنى حينها تطور المنحنى x _t .

لإثبات أن هذا التعريف مكافئ للتعريفات الأخرى المذكورة أعلاه، يجب تقديم مفهوم مناسب للإطار المتحرك للحزمة E. وبشكل عام، هذا ممكن لأي اتصال G على حزمة ليفية ذات مجموعة هيكلية G. انظر اتصال إهرسمان#الحزم المرتبطة لمزيد من التفاصيل.

ليكن P حزمة رئيسية من النوع H على M ، مزودة بوصلة كارتان η  : T P →${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي وحدة اختزال للهيدروجين ، مما يعني أن${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يقبل تقسيمًا ثابتًا لـ Ad ( H ) للفضاءات المتجهة${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$ثم الـ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$يُعمم المكون - من η شكل اللحام للوصلة الأفينية . ^{[ 11 ]} بالتفصيل، ينقسم η إلى${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$و${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$عناصر:

η = η_{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$}+ η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}.

لاحظ أن الشكل 1 η_{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$}هو اتصال رئيسي من النوع H على حزمة كارتان الأصلية P. علاوة على ذلك، فإن الشكل 1 η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}يرضي:

η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}( X ) = 0 لكل متجه رأسي X ∈ T P. (η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}أفقي .​

R _h ^* η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}= Ad ( h ⁻¹ )η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}لكل h ∈ H . (η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}(متغاير تحت تأثير H الأيمن .)

بمعنى آخر، η هو شكل لحام للحزمة P.

وبالتالي، فإن P مزود بالشكل η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}يُعرّف بنية H (من الدرجة الأولى) على M. الشكل η_{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$}يحدد اتصالاً على بنية H.

لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي جبر لي شبه بسيط مع جبر فرعي مكافئ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$(أي،${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يحتوي على جبر فرعي قابل للحل أقصى من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$و G و P عبارة عن مجموعات لي مرتبطة، ثم يتم إنشاء اتصال كارتان على غرار ( G ، P ،${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$،${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يُطلق على هذا النوع من الهندسة اسم هندسة كارتان المكافئة ، أو ببساطة الهندسة المكافئة . ومن السمات المميزة للهندسات المكافئة وجود بنية جبر لي على فضاءاتها المماسية المشتركة : وينشأ هذا لأن الفضاء الفرعي العمودي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$^⊥ من${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$فيما يتعلق بالشكل القاتل لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي جبر فرعي من${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ويؤدي شكل القتل إلى ازدواجية طبيعية بين${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$^⊥ و${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {p}}}$وبالتالي فإن الحزمة المرتبطة بـ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$^⊥ متماثل مع حزمة الظل التمام .

تشمل الأشكال الهندسية المكافئة العديد من الأشكال ذات الأهمية في أبحاث وتطبيقات وصلات كارتان، مثل الأمثلة التالية:

• الاتصالات المطابقة : هنا G = SO ( p +1, q +1)، و P هو مثبت شعاع صفري في R ⁿ⁺² .
• الاتصالات الإسقاطية : هنا G = PGL (n+1) و P هو مثبت نقطة في RP ⁿ .
• هياكل CR وروابط كارتان-تشيرن-تاناكا: G = PSU ( p +1, q +1)، P = مثبت نقطة على السطح الفائق الصفري الإسقاطي .
• الاتصالات الإسقاطية الاتصالية: ^{[ 12 ]} هنا G = SP (2n+2) و P هو مثبت الشعاع الناتج عن متجه الأساس القياسي الأول في R ⁿ⁺² .
• توزيعات الرتبة 2 العامة على متعددات الشعب الخماسية: هنا G = Aut ( O _s ) هي مجموعة التشاكل الذاتي للجبر O _s للأوكتونيونات المنقسمة ، وهي مجموعة فرعية مغلقة من SO (3,4)، و P هو تقاطع G مع مثبت الخط المتناحي الممتد بواسطة متجه الأساس القياسي الأول في R ⁷ عند اعتباره الأوكتونيونات المنقسمة التخيلية البحتة (المكمل المتعامد لعنصر الوحدة في O _s ). ^{[ 13 ]}

لنفترض أن M هندسة كارتان مُنمذجة على G / H ، ولتكن ( Q , α ) الحزمة الرئيسية G ذات الاتصال، و( P , η ) الاختزال المقابل إلى H حيث η يساوي سحب α للخلف . ولتكن V تمثيلًا لـ G ، ولنُشكّل حزمة المتجهات V = Q × _GV فوق M. عندئذٍ، يُولّد اتصال G الرئيسي α على Q مشتقًا متغايرًا على V ، وهو مؤثر تفاضلي خطي من الرتبة الأولى .

${\displaystyle \nabla \colon \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )\to \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} ),}$

أين${\displaystyle \Omega _{M}^{k}(\mathbf {V} )}$يرمز إلى فضاء الأشكال k على M ذات القيم في V بحيث ${\displaystyle \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )}$هي فضاء مقاطع V و${\displaystyle \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} )}$هي فضاء مقاطع Hom(TM , V ) . لأي مقطع v من V ، يُرمز إلى انكماش المشتقة المتغيرة ∇v مع حقل متجه X على M بالرمز ∇Xv _، ويحقق قاعدة لايبنيز التالية:

${\displaystyle \nabla _{X}(fv)=df(X)v+f\nabla _{X}v}$

لأي دالة سلسة f على M.

يمكن أيضًا بناء المشتقة المتغيرة من اتصال كارتان η على P. في الواقع، يُعد بناؤها بهذه الطريقة أكثر عمومية بعض الشيء، حيث لا يلزم أن يكون V تمثيلًا كاملًا لـ G. ^{[ 14 ]} لنفترض بدلًا من ذلك أن V هو (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، H )-وحدة: تمثيل للمجموعة H مع تمثيل متوافق لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تذكر أن المقطع v من حزمة المتجهات المستحثة V على M يمكن اعتباره تطبيقًا متكافئًا H من P إلى V. هذه هي وجهة النظر التي سنعتمدها. ليكن X حقل متجهات على M. اختر أي رفع ثابت من اليمين${\displaystyle {\bar {X}}}$إلى الحزمة المماسية لـ P. عرّف

${\displaystyle \nabla _{X}v=dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v}$.

لإثبات أن ∇ v معرفة جيدًا، يجب أن:

1. أن يكون مستقلاً عن المصعد المختار${\displaystyle {\bar {X}}}$
2. أن تكون متغيرة ، بحيث تنزل إلى قسم من الحزمة V.

بالنسبة للفقرة (1)، فإن الغموض في اختيار رفع ثابت من اليمين لـ X هو تحويل من الشكل${\displaystyle X\mapsto X+X_{\xi }}$أين${\displaystyle X_{\xi }}$هو حقل المتجهات الرأسي الثابت من اليمين الناتج عن${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$لذا، يتم حساب المشتقة المتغيرة بدلالة الرفع الجديد.${\displaystyle {\bar {X}}+X_{\xi }}$، لدى المرء

${\displaystyle \nabla _{X}v=dv({\bar {X}}+X_{\xi })+\eta ({\bar {X}}+X_{\xi }))\cdot v}$

${\displaystyle =dv({\bar {X}})+dv(X_{\xi })+\eta ({\bar {X}})\cdot v+\xi \cdot v}$

${\displaystyle =dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v}$

منذ${\displaystyle \xi \cdot v+dv(X_{\xi })=0}$بأخذ تفاضل خاصية التباين${\displaystyle h\cdot R_{h}^{*}v=v}$عند قيمة h مساوية لعنصر الوحدة.

بالنسبة للفقرة (2)، لاحظ أنه بما أن v متغيرة و${\displaystyle {\bar {X}}}$ثابت من اليمين،${\displaystyle dv({\bar {X}})}$متغيرة. من ناحية أخرى، بما أن η متغيرة أيضًا، فإنه يترتب على ذلك أن${\displaystyle \eta ({\bar {X}})\cdot v}$وهو متغير أيضًا.

لنفترض أن V هو مجرد تمثيل للمجموعة الجزئية H وليس بالضرورة للمجموعة الأكبر G.${\displaystyle \Omega ^{k}(P,V)}$ليكن فضاء الأشكال التفاضلية k ذات القيم V على P. في وجود اتصال كارتان، يوجد تماثل قانوني

${\displaystyle \varphi \colon \Omega ^{k}(P,V)\cong \Omega ^{0}(P,V\otimes \bigwedge \nolimits ^{k}{\mathfrak {g}}^{*})}$

مقدم من ${\displaystyle \varphi (\beta )(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{k})=\beta (\eta ^{-1}(\xi _{1}),\dots ,\eta ^{-1}(\xi _{k}))}$أين${\displaystyle \beta \in \Omega ^{k}(P,V)}$و${\displaystyle \xi _{j}\in {\mathfrak {g}}}$.

لكل k ، يكون المشتق الخارجي مؤثرًا تفاضليًا من الدرجة الأولى

${\displaystyle d\colon \Omega ^{k}(P,V)\rightarrow \Omega ^{k+1}(P,V)\,}$

وبالتالي، بالنسبة لـ k = 0، فإنه يُعرّف مؤثرًا تفاضليًا

${\displaystyle \varphi \circ d\colon \Omega ^{0}(P,V)\rightarrow \Omega ^{0}(P,V\otimes {\mathfrak {g}}^{*}).\,}$

بما أن η متغيرة، فإذا كانت v متغيرة، فإن Dv  := φ (d v ) متغيرة أيضًا. ويترتب على ذلك أن هذا المركب ينحدر إلى مؤثر تفاضلي من الرتبة الأولى D من مقاطع V = P × _H V إلى مقاطع الحزمة${\displaystyle P\times _{H}(\mathbf {V} \otimes {\mathfrak {g}}^{*})}$. وهذا ما يسمى المشتق الأساسي أو الشامل، أو عامل D الأساسي.