شكل القتل

في الرياضيات ، يُعدّ شكل كيلينغ ، نسبةً إلى ويلهلم كيلينغ ، شكلاً ثنائي الخطية متناظراً يلعب دوراً أساسياً في نظريات زمر لي وجبر لي . تُظهر معايير كارتان (معيار قابلية الحل ومعيار شبه البساطة) أن شكل كيلينغ يرتبط ارتباطاً وثيقاً بشبه بساطة جبر لي. ^{[ 1 ]}

أُدخلت صيغة كيلينغ أساسًا إلى نظرية جبر لي على يد إيلي كارتان ( 1894 ) في أطروحته. وفي دراسة تاريخية لنظرية لي، وصف بوريل (2001) كيف ظهر مصطلح "صيغة كيلينغ" لأول مرة عام 1951 خلال أحد تقاريره لندوة بورباكي ؛ وقد نشأ هذا المصطلح كتسمية خاطئة ، إذ سبق أن استخدمه علماء نظرية لي دون اسم محدد. ^{[ 2 ]} ويستخدم بعض المؤلفين الآخرين الآن مصطلح "صيغة كارتان-كيلينغ" . في نهاية القرن التاسع عشر، لاحظ كيلينغ أن معاملات المعادلة المميزة لعنصر شبه بسيط منتظم في جبر لي ثابتة تحت تأثير المجموعة المرافقة، ومن ثم فإن صيغة كيلينغ (أي معامل الدرجة 2) ثابتة، لكنه لم يستغل هذه الحقيقة كثيرًا. إحدى النتائج الأساسية التي استخدمها كارتان هي معيار كارتان ، الذي ينص على أن شكل كيلينج غير منحط إذا وفقط إذا كان جبر لي عبارة عن مجموع مباشر لجبر لي بسيط . ^{[ 2 ]} 

لنفترض جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على حقل K. كل عنصر x من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُعرّف التشاكل الداخلي المرافق ad( x ) (ويُكتب أيضًا adx ₎ لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بمساعدة قوس لي، كما

${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].}$

الآن، لنفترض${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كان ذا بُعد محدود، فإن أثر تركيب اثنين من هذه التشاكلات الداخلية يُحدد شكلاً ثنائي الخطية متناظراً

${\displaystyle B(x,y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} (x)\circ \operatorname {ad} (y)),}$

بقيم في K ، صيغة كيلينغ على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

تُستنتج الخصائص التالية كنظريات من التعريف أعلاه.

• الشكل B من أشكال كيلينج ثنائي الخطية ومتناظر.
• يُعدّ شكل كيلينغ شكلاً ثابتاً، شأنه شأن جميع الأشكال الأخرى المُشتقة من مُؤثرات كازيمير . يتلاشى اشتقاق مُؤثرات كازيمير؛ وبالنسبة لشكل كيلينغ، يُمكن كتابة هذا التلاشي على النحو التالي:

${\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z])}$

حيث [ , ] هو قوس لي .

• لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كانت جبر لي بسيطًا معقدًا ، فإن أي شكل ثنائي خطي متناظر وثابت على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو مضاعف عددي لشكل القتل. لم يعد هذا صحيحًا إذا${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بسيط ولكنه ليس معقدًا؛ المفهوم الأساسي: جبر لي البسيط للغاية.
• يُعدّ شكل كيلينغ ثابتًا أيضًا تحت التشاكلات الذاتية للجبر .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، إنه،

${\displaystyle B(s(x),s(y))=B(x,y)}$

لـ s في${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$.

• ينص معيار كارتان على أن جبر لي يكون شبه بسيط إذا وفقط إذا كان شكل كيلينج غير منحط .
• إن شكل كيلينج لجبر لي عديم القوة يساوي صفرًا تمامًا.
• إذا كان I و J مثاليين في جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كان التقاطع معدومًا، فإن I و J عبارة عن فضاءات فرعية متعامدة بالنسبة لشكل كيلينج.
• المكمل المتعامد بالنسبة إلى B لمثالي هو أيضاً مثالي. ^{[ 3 ]}
• إذا كانت جبر لي معين${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كان مجموعًا مباشرًا لمُثُله I ₁ ,..., I _n ، فإن شكل كيلينغ لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو المجموع المباشر لأشكال كيلينغ للمجاميع الفردية.

بفرض أساس e _i لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، تُعطى عناصر المصفوفة في صيغة كيلينغ بواسطة

${\displaystyle B_{ij}=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} (e_{i})\circ \mathrm {ad} (e_{j})).}$

هنا

${\displaystyle \left({\textrm {ad}}(e_{i})\circ {\textrm {ad}}(e_{j})\right)(e_{k})=[e_{i},[e_{j},e_{k}]]=[e_{i},{c_{jk}}^{m}e_{m}]={c_{im}}^{n}{c_{jk}}^{m}e_{n}}$

في تدوين جمع أينشتاين ، حيث تمثل c _{_ij} ^k معاملات بنية جبر لي. يعمل الفهرس k كفهرس عمود والفهرس n كفهرس صف في المصفوفة ad( e_{_i} )ad( e_{_j} ) . يُعادل حساب الأثر وضع k = n ثم الجمع، وبالتالي يمكننا كتابة

${\displaystyle B_{ij}={c_{im}}^{n}{c_{jn}}^{m}}$

يُعدّ شكل كيلينغ أبسط موتر ثنائي الأبعاد يمكن تكوينه من ثوابت البنية. ويكون الشكل نفسه بعد ذلك${\displaystyle B=B_{ij}e^{i}\otimes e^{j}.}$

في التعريف المفهرس أعلاه، نحرص على التمييز بين المؤشرات العليا والسفلى ( المؤشرات المتغيرة والمتغيرة عكسيًا ). وذلك لأنه في كثير من الحالات، يمكن استخدام صيغة كيلينغ كموتر متري على متعدد الشعب، وفي هذه الحالة يصبح التمييز مهمًا لخصائص تحويل الموترات. عندما يكون جبر لي شبه بسيط على حقل ذي خاصية صفرية، تكون صيغة كيلينغ الخاصة به غير منحلة، وبالتالي يمكن استخدامها كموتر متري لرفع وخفض المؤشرات. في هذه الحالة، من الممكن دائمًا اختيار أساس لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بحيث تكون ثوابت البنية ذات جميع المؤشرات العليا متناظرة تمامًا .

صيغة كيلينغ لبعض جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي (لـ X و Y في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(عند النظر إليها في تمثيلها المصفوفي الأساسي):

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$	${\displaystyle B(X,Y)}$	تصنيف	رقم كوكسيتر المزدوج
${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle 2n{\text{tr}}(XY)-2{\text{tr}}(X){\text{tr}}(Y)}$	-	-
${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} ),n\geq 2}$	${\displaystyle 2n{\text{tr}}(XY)}$	${\displaystyle A_{n-1}}$	${\displaystyle n}$
${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n),n\geq 2}$	${\displaystyle 2n{\text{tr}}(XY)}$	${\displaystyle A_{n-1}}$	${\displaystyle n}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n),n\geq 2}$	${\displaystyle (n-2){\text{tr}}(XY)}$	${\displaystyle B_{m},n=2m+1}$ل${\displaystyle n}$غريب.${\displaystyle D_{m},n=2m}$ل${\displaystyle n}$حتى.	${\displaystyle n-2}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),n\geq 2}$	${\displaystyle (n-2){\text{tr}}(XY)}$	${\displaystyle B_{m},n=2m+1}$ل${\displaystyle n}$غريب.${\displaystyle D_{m},n=2m}$ل${\displaystyle n}$حتى.	${\displaystyle n-2}$
${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} ),n\geq 1}$	${\displaystyle 2(n+1){\text{tr}}(XY)}$	${\displaystyle C_{n}}$	${\displaystyle n+1}$
${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} ),n\geq 1}$	${\displaystyle 2(n+1){\text{tr}}(XY)}$	${\displaystyle C_{n}}$	${\displaystyle n+1}$

يوضح الجدول أن مؤشر دينكين للتمثيل المرافق يساوي ضعف عدد كوكسيتر الثنائي .

لنفترض أن${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي جبر لي شبه بسيط على حقل الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$بحسب معيار كارتان ، فإن صيغة كيلينغ غير منحلة، ويمكن تحويلها إلى صيغة قطرية في أساس مناسب بعناصر قطرية ±1 . وبحسب قانون سيلفستر للقصور الذاتي ، فإن عدد العناصر الموجبة ثابت في الصيغة الثنائية الخطية، أي أنه لا يعتمد على اختيار أساس التحويل إلى صيغة قطرية، ويُسمى دليل جبر لي.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هذا رقم يقع بين الصفر وبُعد${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وهو ثابت مهم في جبر لي الحقيقي. على وجه الخصوص، جبر لي الحقيقي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُطلق على المجموعة اسم "متراصة" إذا كانت صيغة كيلينغ سالبة التحديد (أو سالبة شبه التحديد إذا لم تكن جبر لي شبه بسيطة). تجدر الإشارة إلى أن هذا أحد تعريفين غير متكافئين شائعين لتراص جبر لي ؛ ينص التعريف الآخر على أن جبر لي يكون متراصًا إذا كان يُقابل زمرة لي متراصة . يُعد تعريف التراص بدلالة سالبية التحديد لصيغة كيلينغ أكثر تقييدًا، إذ يُمكن باستخدام هذا التعريف إثبات أنه في ظل تناظر لي ، تُقابل جبر لي المتراصة زمر لي شبه بسيطة متراصة.

لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$إذا كانت جبر لي شبه بسيط على الأعداد المركبة ، فهناك العديد من جبر لي الحقيقي غير المتماثل الذي يكون تعقيده${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$والتي تُسمى أشكالها الحقيقية . ويتضح أن كل جبر لي شبه بسيط معقد يقبل شكلاً حقيقياً مضغوطاً فريداً (حتى التشاكل).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. غالبًا ما يتم تصنيف الأشكال الحقيقية لجبر لي شبه البسيط المعقد المعطى بواسطة الدليل الموجب للقصور الذاتي لشكل كيلينج الخاص بها.

على سبيل المثال، الجبر الخطي الخاص المعقد${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$له شكلان حقيقيان، وهما الجبر الخطي الخاص الحقيقي، ويرمز لهما بـ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$والجبر الوحدوي الخاص ، الذي يُرمز إليه بـ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$الأولى غير متراصة، وتُسمى الصيغة الحقيقية المنقسمة ، ولها توقيع (2، 1) في صيغة كيلينغ . أما الثانية فهي الصيغة الحقيقية المتراصة، ولها توقيع (0، 3) في صيغة كيلينغ . وتُمثل زمر لي المقابلة الزمرة غير المتراصة.${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$من المصفوفات الحقيقية 2 × 2 ذات المحدد الواحدي والمجموعة الوحدوية الخاصة${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$وهو صغير الحجم.

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي ذو أبعاد منتهية على الحقل${\displaystyle K}$، و${\displaystyle \rho$ ليكن {\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)} تمثيلاً لجبر لي.${\displaystyle {\text{Tr}}_{V}:{\text{End}}(V)\rightarrow K}$كن وظيفة التتبع على${\displaystyle V}$ثم يمكننا تحديد شكل التتبع للتمثيل${\displaystyle \rho }$مثل

${\displaystyle {\text{Tr}}_{\rho }:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow K,}$

${\displaystyle {\text{Tr}}_{\rho }(X,Y)={\text{Tr}}_{V}(\rho (X)\rho (Y)).}$

إذن، يُعد شكل كيلينغ حالة خاصة حيث يكون التمثيل هو التمثيل المرافق.${\displaystyle {\text{Tr}}_{\text{ad}}=B}$.

من السهل إثبات أن هذا متناظر، وثنائي الخطية، وثابت لأي تمثيل${\displaystyle \rho }$.

وإذا كان كذلك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$الأمر بسيط و${\displaystyle \rho }$إذا كانت غير قابلة للاختزال، فيمكن إثبات ذلك.${\displaystyle {\text{Tr}}_{\rho }=I(\rho )B}$أين${\displaystyle I(\rho )}$هو فهرس التمثيل.

• ثابت كازيمير
• حقل متجه القتل