معيار كارتان

في الرياضيات ، يحدد معيار كارتان شروطًا لإمكانية حل جبر لي ذي خاصية صفرية ، مما يستلزم معيارًا مشابهًا لكي يكون جبر لي شبه بسيط . ويستند هذا المعيار إلى مفهوم شكل كيلينغ ، وهو شكل ثنائي خطي متناظر على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$محدد بالصيغة

${\displaystyle \kappa (u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v))،}$

حيث يرمز tr إلى أثر المؤثر الخطي . وقد تم تقديم هذا المعيار بواسطة إيلي كارتان ( 1894 ) . ^{[ 1 ]} 

ينص معيار كارتان للحل على ما يلي:

جبر فرعي لي ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تكون مسألة التشاكلات الداخلية لفضاء متجهي محدود الأبعاد على حقل ذي خاصية صفر قابلة للحل إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {tr} (ab)=0}$حينما${\displaystyle a\in {\mathfrak {g}},b\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}].}$

حقيقة أن${\displaystyle \operatorname {tr} (ab)=0}$في الحالة القابلة للحل، يتبع ذلك من نظرية لي التي تضع${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$في الشكل المثلثي العلوي فوق الإغلاق الجبري للحقل الأساسي (يمكن حساب الأثر بعد تمديد الحقل الأساسي). ويمكن استنتاج العكس من معيار انعدام القوة بناءً على تحليل جوردان-شيفالي ، كما هو موضح هناك.

بتطبيق معيار كارتان على التمثيل المرافق نحصل على:

جبر لي ذو أبعاد محدودة${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تكون المسألة قابلة للحل على حقل ذي خاصية صفرية إذا وفقط إذا${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0}$(أين${\displaystyle \kappa }$(هو شكل القتل).

ينص معيار كارتان للبساطة الجزئية على ما يلي:

جبر لي ذو أبعاد محدودة${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تكون الدالة شبه بسيطة على حقل ذي خاصية صفرية إذا وفقط إذا كان شكل كيلينج غير منحل .

قدم جان ديودونيه ( 1953 ) برهانًا قصيرًا جدًا مفاده أنه إذا كان لجبر لي ذي الأبعاد المحدودة (في أي خاصية) شكل ثنائي خطي ثابت غير منحل ولا توجد فيه مثاليات أبيلية غير صفرية، وعلى وجه الخصوص إذا كان شكل كيلينج الخاص به غير منحل، فإنه يكون مجموعًا لجبر لي بسيط. 

وعلى العكس من ذلك، فإنه يتبع بسهولة من معيار كارتان للحل أن الجبر شبه البسيط (في الخاصية 0) له شكل كيلينج غير منحط.

تفشل معايير كارتان في الخصائص المميزة${\displaystyle p>0}$؛ على سبيل المثال:

• جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {sl}} _ {p}(ك)}$ تكون بسيطة إذا كانت خاصية k لا تساوي 2 ولها شكل كيلينغ معدوم، على الرغم من أنها تمتلك شكلاً ثنائي الخطية ثابتًا غير صفري معطى بواسطة${\displaystyle (a,b)=\operatorname {tr} (ab)}$.
• جبر لي مع الأساس${\displaystyle a_{n}}$ل${\displaystyle n\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$والمعادلة [ a _i , a _j ] = ( i − j ) a _{i + j} بسيطة لـ${\displaystyle p>2}$لكن ليس لها شكل ثنائي خطي ثابت غير صفري.
• إذا كانت الخاصية k هي 2، فإن حاصل الضرب شبه المباشر gl ₂ ( k ). k ² هو جبر لي قابل للحل، لكن صيغة كيلينغ لا تساوي صفرًا بشكل مطابق على جبرها المشتق sl ₂ ( k ). k ² .

إذا كانت جبر لي محدود الأبعاد عديمة القوة، فإن صيغة كيلينغ تساوي صفرًا (وبشكل أعم، تتلاشى صيغة كيلينغ على أي مثالي عديم القوة). والعكس غير صحيح: توجد جبر لي غير عديمة القوة تتلاشى صيغة كيلينغ الخاصة بها. ومن الأمثلة على ذلك الضرب شبه المباشر لجبر لي أبيلي V مع جبر لي أحادي البعد يؤثر على V كتشاكل داخلي b بحيث يكون b غير عديم القوة و Tr( b² ⁾ = 0.

في الخاصية صفر، يمتلك كل جبر لي اختزالي (أي جبر لي يتكون من مجموع جبر لي بسيط وجبر لي تبديلي) شكلاً ثنائي الخطية متناظرًا ثابتًا غير منحل. مع ذلك، فإن العكس غير صحيح: فجبر لي ذو شكل ثنائي الخطية متناظر ثابت غير منحل ليس بالضرورة أن يكون مجموع جبر لي بسيط وجبر لي تبديلي. مثال نموذجي مضاد هو G = L [ t ]/ ^tⁿL [ t ] حيث n > 1، و L هو جبر لي عقدي بسيط ذو شكل ثنائي الخطية (،)، ويُعطى الشكل الثنائي الخطي على G بأخذ معامل tⁿ ^{- 1} للشكل الثنائي الخطي ذي القيم C [ t ] على G والمُستحث من الشكل على L. الشكل الثنائي الخطي غير منحل ^، لكن جبر لي ليس مجموع جبر لي بسيط وجبر لي تبديلي.

• كارتان ، إيلي (1894)، Sur la هيكل مجموعات التحولات النهائية والمستمرة ، أطروحة، نوني
• ديودونيه، جان (1953)، "حول جبر لي شبه البسيط"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 4 (6): 931-932 ، doi : 10.2307/2031832 ، ISSN 0002-9939 ، JSTOR 2031832 ، MR 0059262   
• سير، جان بيير (2006) [1964]، جبر لي ومجموعات لي ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1500، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-3-540-70634-2 ، ISBN 978-3-540-55008-2MR 2179691​ 

• الجبر المعياري لي