موتر متري

إذا اعتبرنا أن المتغيرين u و v يعتمدان على متغير ثالث، t ، يأخذ قيمًا في الفترة [ a , b ] ، فإن r → ( u ( t ), v ( t )) سيرسم منحنى وسيطيًا على السطح الوسيطي M. ويُعطى طول قوس هذا المنحنى بالتكامل التالي :

$\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,,\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$يمثل المعيار الإقليدي . هنا تم تطبيق قاعدة السلسلة ، وتشير الرموز السفلية إلى المشتقات الجزئية :

${\displaystyle {\vec {r}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}\,,\quad {\vec {r}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}\,.}$

الدالة التكاملية هي التقييد ^{[ 1 ]} لمنحنى الجذر التربيعي للتفاضل ( التربيعي )

${\displaystyle (ds)^{2}=E\,(du)^{2}+2F\,du\,dv+G\,(dv)^{2},}$

1

أين

$//$

2

تُسمى الكمية ds في ( 1 ) عنصر الخط ، بينما تُسمى ds2 الشكل الأساسي الأول لـ M. وبشكل بديهي، فإنها تمثل الجزء الرئيسي من مربع الإزاحة التي تحدثها r → ( u , v ⁾ عندما تزداد u بمقدار du وحدة، وتزداد v بمقدار dv وحدة.

باستخدام تدوين المصفوفات، يصبح الشكل الأساسي الأول

${\displaystyle ds^{2}={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}}$

لنفترض الآن أنه تم اختيار معلمات مختلفة، وذلك بالسماح لـ u و v بالاعتماد على زوج آخر من المتغيرات u ′ و v ′ . عندئذٍ يكون نظير ( 2 ) للمتغيرات الجديدة هو

$$$

2'

تربط قاعدة السلسلة بين E ′ و F ′ و G ′ و E و F و G من خلال معادلة المصفوفة

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}}$

3

حيث يشير الرمز العلوي T إلى منقولة المصفوفة . وبالتالي، تتحول المصفوفة ذات المعاملات E و F و G المرتبة بهذه الطريقة بواسطة مصفوفة جاكوبي لتغيير الإحداثيات.

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}\,.}$

المصفوفة التي تتحول بهذه الطريقة هي أحد أنواع ما يسمى بالموتر .

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$

يُعرف قانون التحويل ( 3 ) باسم موتر القياس للسطح.

لاحظ ريتشي-كورباسترو وليفي -سيفيتا (1900) لأول مرة أهمية نظام المعاملات E و F و G ، الذي يتحول بهذه الطريقة عند الانتقال من نظام إحداثيات إلى آخر. والنتيجة هي أن الشكل الأساسي الأول ( 1 ) ثابت تحت تغييرات نظام الإحداثيات، وهذا يتبع حصريًا من خصائص تحويل E و F و G. في الواقع، وفقًا لقاعدة السلسلة،

${\displaystyle {\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}}$

لهذا السبب.

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&=(ds')^{2}\,.\end{aligned}}}$

هناك تفسير آخر لموتر القياس، تناوله غاوس أيضًا، وهو أنه يوفر طريقة لحساب طول متجهات المماس للسطح، بالإضافة إلى الزاوية بين متجهي مماس. وبعبارة أخرى، يسمح موتر القياس بحساب الجداء الداخلي لمتجهات المماس بطريقة مستقلة عن الوصف البارامتري للسطح. ويمكن كتابة أي متجه مماس عند نقطة ما على السطح البارامتري M على الصورة التالية:

${\displaystyle \mathbf {p} =p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}}_{v}}$

لأعداد حقيقية مناسبة p1 و _{p2 .} إذا تم إعطاء متجهين مماسين :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}{\vec {r}}_{u}+a_{2}{\vec {r}}_{v}\\\mathbf {b} &=b_{1}{\vec {r}}_{u}+b_{2}{\vec {r}}_{v}\end{aligned}}}$

ثم باستخدام خاصية الخطية الثنائية للضرب النقطي،

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+a_{2}b_{1}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G.\\[8pt]&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

من الواضح أن هذه دالة للمتغيرات الأربعة a₁ _و b₁ _و a₂ و _{b₂ . مع ذلك ،} من الأنسب النظر إليها كدالة تأخذ زوجًا من الوسائط _a = [ a₁, a₂ ] و b = [ b₁ _, b₂ _{] ،} وهما متجهان في المستوى uv . أي، نضع

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G\,.}$

هذه دالة متناظرة في a و b ، مما يعني أن

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )\,.}$

وهي أيضاً ثنائية الخطية ، أي أنها خطية في كل متغير من المتغيرين a و b على حدة. أي،

${\displaystyle {\begin{aligned}g\left(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} ',\mathbf {b} \right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ',\mathbf {b} \right),\quad {\text{and}}\\g\left(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {b} '\right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} '\right)\end{aligned}}}$

لأي متجهات a و a ′ و b و b ′ في المستوى uv ، وأي أعداد حقيقية μ و λ .

على وجه الخصوص، يُعطى طول متجه المماس a بالعلاقة التالية

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {g(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}}$

ويتم حساب الزاوية θ بين المتجهين a و b بواسطة

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,.}$

مساحة السطح هي كمية عددية أخرى تعتمد فقط على السطح نفسه، وليس على كيفية تحديده بالمعاملات. إذا تم تحديد السطح M بالمعاملات بواسطة الدالة r → ( u , v ) على المجال D في المستوى uv ، فإن مساحة سطح M تُعطى بالتكامل التالي:

${\displaystyle \iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv}$

حيث يرمز × إلى الضرب الاتجاهي ، والقيمة المطلقة إلى طول متجه في الفضاء الإقليدي. وباستخدام متطابقة لاغرانج للضرب الاتجاهي، يمكن كتابة التكامل على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{D}{\sqrt {\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}\right)\left({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)-\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {\det {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}}$

حيث det هو المحدد .

يحدد نظام من n دالة حقيقية القيمة ( x1 ^, ..., xn ⁾ ، والذي يعطي نظام إحداثيات محلي على مجموعة مفتوحة U في M ، أساسًا لحقول المتجهات على U

${\displaystyle \mathbf {f} =\left(X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)\,.}$

للمقياس g مركبات نسبية لهذا الإطار تُعطى بواسطة

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} \right]=g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\,.}$

بالنسبة لنظام جديد من الإحداثيات المحلية، على سبيل المثال

${\displaystyle y^{i}=y^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,2,\dots ,n}$

سيحدد موتر القياس مصفوفة معاملات مختلفة،

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\left({\frac {\partial }{\partial y^{i}}},{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}$

يرتبط هذا النظام الجديد من الدوال بالنظام الأصلي g _ij ( f ) عن طريق قاعدة السلسلة

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}}$

لهذا السبب.

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}g_{kl}\left[\mathbf {f} \right]{\frac {\partial x^{l}}{\partial y^{j}}}.}$

أو، من حيث المصفوفات G [ f ] = ( g _ij [ f ]) و G [ f ′] = ( g _ij [ f ′]) ،

${\displaystyle G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1}}$

حيث تشير Dy إلى مصفوفة جاكوبي لتغيير الإحداثيات.

يرتبط بكل موتر متري الشكل التربيعي المعرف في كل فضاء مماس بواسطة

${\displaystyle q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m},X_{m})\,,\quad X_{m}\in T_{m}M.}$

إذا كانت q_{_m} موجبة لجميع قيم X_{_m} غير الصفرية ، فإن المقياس يكون موجبًا تمامًا عند m . إذا كان المقياس موجبًا تمامًا عند كل m ∈ M ، فإن g يُسمى مقياسًا ريمانيًا . وبشكل أعم، إذا كانت الأشكال التربيعية q_{_m} لها إشارة ثابتة مستقلة عن m ، فإن إشارة g هي هذه الإشارة، ويُسمى g مقياسًا شبه ريماني . ^{[ 4 ]} إذا كانت M متصلة ، فإن إشارة q_{_m} لا تعتمد على m . ^{[ 5 ]}

بحسب قانون سيلفستر للقصور الذاتي ، يمكن اختيار أساس من متجهات المماس X _i محليًا بحيث يصبح الشكل التربيعي قطريًا بالطريقة التالية

${\displaystyle q_{m}\left(\sum _{i}\xi ^{i}X_{i}\right)=\left(\xi ^{1}\right)^{2}+\left(\xi ^{2}\right)^{2}+\cdots +\left(\xi ^{p}\right)^{2}-\left(\xi ^{p+1}\right)^{2}-\cdots -\left(\xi ^{n}\right)^{2}}$

لبعض القيم p بين 1 و n . أي تعبيرين من هذا النوع لـ q (عند النقطة m نفسها من M ) سيكون لهما نفس العدد p من الإشارات الموجبة. إشارة g هي الزوج من الأعداد الصحيحة ( p , n − p ) ، مما يدل على وجود p إشارة موجبة و n − p إشارة سالبة في أي تعبير من هذا النوع. وبالمثل، فإن للمقياس إشارة ( p , n − p ) إذا كانت مصفوفة g _{_ij} للمقياس تحتوي على p قيمة ذاتية موجبة و n − p قيمة ذاتية سالبة .

من بين بعض التوقيعات المترية التي تظهر بشكل متكرر في التطبيقات ما يلي:

• إذا كانت الدالة g تحمل التوقيع ( n , 0) ، فإن g تكون مقياسًا ريمانيًا، ويُطلق على M اسم مشعب ريماني . وإلا، فإن g تكون مقياسًا شبه ريماني، ويُطلق على M اسم مشعب شبه ريماني (يُستخدم أيضًا مصطلح شبه ريماني).
• إذا كان المقياس M رباعي الأبعاد وله إشارة (1، 3) أو (3، 1) ، فإن المقياس يُسمى لورنتزيًا . وبشكل أعم، يُطلق أحيانًا على موتر المقياس في بُعد n غير 4 ذي الإشارة (1، n − 1) أو ( n − 1، 1) اسم لورنتزيًا أيضًا.
• إذا كان M ذا أبعاد 2 n وكان لـ g إشارة ( n , n ) ، فإن المقياس يسمى فائق القطع الزائد .

ليكن f = ( X1 _, ..., Xn ) أساسًا لحقول المتجهات، وكما سبق، ليكن _G [ f ] مصفوفة المعاملات

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right)\,.}$

يمكن اعتبار المصفوفة العكسية G [ f ] ⁻¹ ، والتي تُعرَّف بالمقياس العكسي (أو المقياس المرافق أو المقياس الثنائي ). يحقق المقياس العكسي قانون تحويل عندما يتم تغيير الإطار f بواسطة مصفوفة A عبر

${\displaystyle G[\mathbf {f} A]^{-1}=A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}.}$

5

يتحول المقياس العكسي بشكل متغاير ، أو بالنسبة إلى معكوس مصفوفة تغيير الأساس A. في حين أن المقياس نفسه يوفر طريقة لقياس طول (أو الزاوية بين) حقول المتجهات، فإن المقياس العكسي يوفر وسيلة لقياس طول (أو الزاوية بين) حقول المتجهات المرافقة ؛ أي حقول الدوال الخطية .

لتوضيح ذلك، لنفترض أن α حقل متجه مشترك. أي أنه لكل نقطة p ، تحدد α دالة α _p معرفة على متجهات المماس عند p بحيث يتحقق شرط الخطية التالي لجميع متجهات المماس X _p و Y _p ، وجميع الأعداد الحقيقية a و b :

${\displaystyle \alpha _{p}\left(aX_{p}+bY_{p}\right)=a\alpha _{p}\left(X_{p}\right)+b\alpha _{p}\left(Y_{p}\right)\,.}$

مع تغير قيمة p ، يُفترض أن α دالة سلسة بمعنى أن

${\displaystyle p\mapsto \alpha _{p}\left(X_{p}\right)}$

هي دالة سلسة لـ p لأي حقل متجه سلس X.

أي حقل متجه مشترك α له مركبات في أساس حقول المتجهات f . يتم تحديد هذه المركبات بواسطة

${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha \left(X_{i}\right)\,,\quad i=1,2,\dots ,n\,.}$

نرمز إلى متجه الصف لهذه المكونات بـ

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} ]={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{array}}{\big \rbrack }\,.}$

عند تغيير f بواسطة مصفوفة A ، يتغير α [ f ] وفقًا للقاعدة التالية:

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A\,.}$

أي أن متجه الصف للمكونات α [ f ] يتحول كمتجه متغاير .

بالنسبة لزوج من حقول المتجهات المشتركة α و β ، عرّف المقياس العكسي المطبق على هذين المتجهين المشتركين كما يلي:

${\displaystyle {\tilde {g}}(\alpha ,\beta )=\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.}$

6

التعريف الناتج، على الرغم من أنه يتضمن اختيار الأساس f ، إلا أنه لا يعتمد في الواقع على f بطريقة جوهرية. في الواقع، تغيير الأساس إلى f A يعطي

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha [\mathbf {f} A]G[\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} ]A\right)\left(A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}\right)\left(A^{\mathsf {T}}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\right)\\={}&\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}}$

وبالتالي، فإن الطرف الأيمن من المعادلة ( 6 ) لا يتأثر بتغيير الأساس f إلى أي أساس آخر f A. ونتيجة لذلك، يمكن إعطاء المعادلة معنىً بغض النظر عن اختيار الأساس. يُرمز إلى عناصر المصفوفة G[f] بالرمز g _ij ، ^حيث تم رفع المؤشرين i و j للدلالة على قانون التحويل ( 5 ).

في أساس من حقول المتجهات _f = ( X1 , ..., Xn ) ، يمكن كتابة أي حقل متجه مماس أملس X على الصورة التالية _:

${\displaystyle X=v^{1}[\mathbf {f} ]X_{1}+v^{2}[\mathbf {f} ]X_{2}+\dots +v^{n}[\mathbf {f} ]X_{n}=\mathbf {f} {\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]}$

7

بالنسبة لبعض الدوال الملساء المحددة بشكل فريد v1 ^، ...، vn ^. عند تغيير الأساس f بمصفوفة غير منفردة A ، ^تتغير المعاملات v1 بحيث تبقى المعادلة ( 7 ) صحيحة. أي،

${\displaystyle X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} ]=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]\,.}$

وبالتالي، فإن ^v [ fA ] = A⁻¹v [ f ] . بعبارة أخرى، تتحول مركبات المتجه بشكل عكسي (أي بشكل معاكس) عند تغيير الأساس بواسطة المصفوفة غير المنفردة ^A. ويُشار إلى التباين العكسي لمركبات v [ f ] بوضع مؤشرات vᵢ [ f ] في الموضع العلوي.

يُتيح الإطار أيضًا التعبير عن المتجهات المرافقة بدلالة مركباتها. بالنسبة لأساس حقول المتجهات f = ( X1 _, ..., Xn ₎ ، نُعرّف الأساس الثنائي بأنه الدوال الخطية ( θ1 ^[ f ] , ..., θn [ f ]) بحيث ^:

${\displaystyle \theta ^{i}[\mathbf {f} ](X_{j})={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\not =j.\end{cases}}}$

أي أن θ ⁱ [ f ]( X _j ) = δ _j ⁱ ، وهي دالة دلتا كرونكر .

${\displaystyle \theta [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f} ]\\\theta ^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}.}$

بتغيير الأساس f ↦ f A لمصفوفة غير منفردة A ، يتحول θ [ f ] عبر

${\displaystyle \theta [\mathbf {f} A]=A^{-1}\theta [\mathbf {f} ].}$

يمكن توسيع أي دالة خطية α على متجهات المماس بدلالة الأساس الثنائي θ

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=a_{1}[\mathbf {f} ]\theta ^{1}[\mathbf {f} ]+a_{2}[\mathbf {f} ]\theta ^{2}[\mathbf {f} ]+\cdots +a_{n}[\mathbf {f} ]\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\\[8pt]&={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}a_{1}[\mathbf {f} ]&a_{2}[\mathbf {f} ]&\dots &a_{n}[\mathbf {f} ]\end{array}}{\big \rbrack }\theta [\mathbf {f} ]\\[8pt]&=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]\end{aligned}}}$

8

حيث يرمز a [ f ] _إلى متجه الصف [ a1 [ f ] ... an [ f ]] . _تتحول المكونات ai عندما يتم استبدال الأساس f بـ fA بطريقة تحافظ على صحة المعادلة ( ₈ ) . أي،

${\displaystyle \alpha =a[\mathbf {f} A]\theta [\mathbf {f} A]=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]}$

وبالتالي، بما أن θ [ fA ] = A⁻¹θ [ f ] ، فإن a [ fA ] = a [ f ] A . أي أن المكونات a تتحول بشكل تبايني ( بواسطة المصفوفة ^A وليس معكوسها). ويُشار إلى تباين مكونات a [ f ] بوضع مؤشرات aᵢ _[ f ] في الموضع السفلي.

يوفر موتر القياس وسيلة لتحديد المتجهات والمتجهات المرافقة كما يلي. مع تثبيت X _p ، فإن الدالة

${\displaystyle g_{p}(X_{p},-):Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})}$

يُعرّف متجه المماس Y_{_p} دالة خطية على فضاء المماس عند النقطة p . تأخذ هذه العملية متجهًا X_{_p} عند النقطة p وتُنتج متجهًا مرافقًا g_{_p} ( X_{_p} , -)^- . في أساس حقول المتجهات f ، إذا كان لحقل متجه X مركبات v [ f ] ، فإن مركبات حقل المتجه المرافق g ( X , -) في الأساس الثنائي تُعطى بعناصر متجه الصف.

${\displaystyle a[\mathbf {f} ]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ].}$

بتغيير الأساس f ↦ f A ، يتحول الطرف الأيمن من هذه المعادلة عبر

${\displaystyle v[\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}$

بحيث يكون a [ fA ] = a [ f ] A : يتحول a بشكل متغاير. عملية ربط المكونات (المتغيرة عكسيًا) لحقل متجه v [ f ] = [ v1 [ f ] v2 [ f ] ... ^vn [ f ]] ^{T بالمكونات} ( المتغيرة) _لحقل متجه المرافق a [ f ] = [ a1 [ f ^] _a2 [ f ] ... an [ f ] ] _، ^حيث

${\displaystyle a_{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}v^{k}[\mathbf {f} ]g_{ki}[\mathbf {f} ]}$

يُطلق على ذلك خفض المؤشر .

لرفع المؤشر ، يتم تطبيق نفس البناء ولكن باستخدام المقياس العكسي بدلاً من المقياس. إذا كانت a [ f ] = [ _a1 [ f ] a2 [ _f ] ... an [ f ]] هي مركبات متجه مشترك في الأساس الثنائي θ [ f ] ، فإن _متجه العمود

${\displaystyle v[\mathbf {f} ]=G^{-1}[\mathbf {f} ]a[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}}$

9

يحتوي على مكونات تتحول بشكل عكسي:

${\displaystyle v[\mathbf {f} A]=A^{-1}v[\mathbf {f} ].}$

وبالتالي، فإن الكمية X = f v [ f ] لا تعتمد بشكل جوهري على اختيار الأساس f ، ومن ثم تُعرّف حقلًا متجهيًا على M. تُسمى العملية ( 9 ) التي تربط المكونات (المتغيرة) للمتجه المرافق a [ f ] بالمكونات (المتغيرة عكسيًا) للمتجه v [ f ] المعطى، برفع الدليل . في المكونات، تكون ( 9 )

${\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}g^{ik}[\mathbf {f} ]a_{k}[\mathbf {f} ].}$

ليكن U مجموعة مفتوحة في ℝⁿ ^، ولتكن φ دالة قابلة للتفاضل باستمرار من U إلى الفضاء الإقليدي ℝᵐ ^، حيث m > n . يُسمى التطبيق φ غمرًا إذا كان تفاضله أحاديًا عند كل نقطة من U. تُسمى صورة φ فضاءً جزئيًا مغمورًا . وبشكل أكثر تحديدًا، عندما m = 3 ، أي عندما يكون الفضاء الإقليدي المحيط هو ℝ³ ^، يُسمى موتر القياس المستحث الشكل الأساسي الأول .

لنفترض أن φ عبارة عن غمر على الفضاء الجزئي M ⊂ R ^m . الضرب القياسي الإقليدي المعتاد في ℝ ^m هو مقياس، وعند تقييده على المتجهات المماسية لـ M ، فإنه يوفر وسيلة لحساب الضرب القياسي لهذه المتجهات المماسية. يُسمى هذا المقياس بالمقياس المستحث .

لنفترض أن v هو متجه مماس عند نقطة من U ، لنقل

${\displaystyle v=v^{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +v^{n}\mathbf {e} _{n}}$

حيث _{تمثل eᵢ} متجهات الإحداثيات القياسية في ℝⁿ ^. عند تطبيق φ على U ، يتحول المتجه v إلى المتجه المماس لـ M المعطى بواسطة

${\displaystyle \varphi _{*}(v)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{a=1}^{m}v^{i}{\frac {\partial \varphi ^{a}}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{a}\,.}$

(يُطلق على هذا اسم الدفع الأمامي للمتجه v على طول φ ). وبالنظر إلى متجهين من هذا النوع، v و w ، فإن المقياس المستحث يُعرَّف كما يلي:

${\displaystyle g(v,w)=\varphi _{*}(v)\cdot \varphi _{*}(w).}$

يستنتج من حساب مباشر أن مصفوفة المقياس المستحث في أساس حقول متجهات الإحداثيات e تُعطى بواسطة

${\displaystyle G(\mathbf {e} )=(D\varphi )^{\mathsf {T}}(D\varphi )}$

حيث Dφ هي مصفوفة جاكوبي:

${\displaystyle D\varphi ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{n}}}\end{bmatrix}}.}$

بفضل الخاصية العامة للجداء الموتري ، فإن أي تطبيق ثنائي الخطية ( 10 ) يُنتج بشكل طبيعي مقطعًا g _⊗ من ثنائية حزمة الجداء الموتري لـ TM مع نفسها

${\displaystyle g_{\otimes }\in \Gamma \left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\right).}$

يُعرَّف المقطع g _⊗ على العناصر البسيطة من T M ⊗ T M بواسطة

${\displaystyle g_{\otimes }(v\otimes w)=g(v,w)}$

وتُعرَّف على عناصر عشوائية من T M ⊗ T M عن طريق التمديد الخطي إلى التراكيب الخطية للعناصر البسيطة. يكون الشكل الثنائي الخطي الأصلي g متناظرًا إذا وفقط إذا

${\displaystyle g_{\otimes }\circ \tau =g_{\otimes }}$

أين

${\displaystyle \tau$ :\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M\xrightarrow {\cong } TM\otimes TM}

هذه خريطة التضفير .

بما أن M ذات أبعاد منتهية، فهناك تماثل طبيعي

${\displaystyle (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\cong \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M,}$

بحيث يُعتبر g _⊗ أيضًا مقطعًا من الحزمة T* M ⊗ T* M للحزمة المماسية T* M مع نفسها. وبما أن g متناظر كدالة ثنائية الخطية، فإنه يترتب على ذلك أن g _⊗ موتر متناظر .

بشكل أعم، يمكن الحديث عن مقياس في حزمة متجهة . إذا كانت E حزمة متجهة على مشعب M ، فإن المقياس هو تطبيق

${\displaystyle g:E\times _{M}E\to \mathbf {R} }$

من ناتج الألياف E إلى R وهو ثنائي الخطية في كل ليف:

${\displaystyle g_{p}:E_{p}\times E_{p}\to \mathbf {R} .}$

باستخدام الازدواجية كما هو مذكور أعلاه، غالبًا ما يتم تحديد المقياس بجزء من حزمة حاصل الضرب الموتري E * ⊗ E * .

يُعطي موتر القياس تماثلاً طبيعياً من حزمة المماس إلى حزمة المماس المرافق ، ويُسمى أحياناً بالتماثل الموسيقي . ^{[ 6 ]} ويتم الحصول على هذا التماثل عن طريق وضع، لكل متجه مماس X _p ∈ T _p M ،

${\displaystyle S_{g}X_{p}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,g(X_{p},-),}$

الدالة الخطية على T _p M التي ترسل متجهًا مماسًا Y _p عند النقطة p إلى g _p ( X _p , Y _p ) . أي، بدلالة الاقتران [−, −] بين T _p M وفضائها الثنائي T ^∗ _p M ،

${\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=g_{p}(X_{p},Y_{p})}$

لكل متجهي المماس X p و Y p ، يكون التطبيق S g  تحويلاً خطياً من T p M إلى T * p M. ويترتب على تعريف عدم الانحلال أن نواة S  g  تُختزل إلى الصفر، وبالتالي، وفقًا لنظرية الرتبة والفراغ ، فإن S g  تماثل خطي . علاوة على ذلك، فإن S g  تحويل خطي متناظر بالمعنى التالي:

${\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=[S_{g}Y_{p},X_{p}]}$

لجميع متجهات المماس X _p و Y _p .

وبالمقابل، فإن أي تماثل خطي S  : T _p M → T ^∗ _p M يُعرّف شكلاً ثنائي الخطية غير متدهور على T _p M بواسطة

${\displaystyle g_{S}(X_{p},Y_{p})=[SX_{p},Y_{p}]\,.}$

يكون هذا الشكل الثنائي الخطي متناظرًا إذا وفقط إذا كانت S متناظرة. وبالتالي، توجد علاقة تناظرية طبيعية بين الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة على T _p M والتشاكلات الخطية المتناظرة من T _p M إلى T ^∗ _p M الثنائية .

عندما يتغير p على M ، يُعرّف S _g مقطعًا من الحزمة Hom(TM , T* M ) لتشاكلات حزم المتجهات من حزمة المماس إلى حزمة المماس المرافق. يتمتع هذا المقطع بنفس سلاسة g : فهو متصل، وقابل للتفاضل، وسلس، أو تحليلي حقيقي وفقًا لـ g . يُعطي التطبيق S _g ، الذي يربط كل حقل متجه على M بحقل متجه مرافق على M، صياغة مجردة لـ "خفض الدليل" على حقل متجه. معكوس S _g هو تطبيق T* M → TM، والذي يُعطي، بالمثل، صياغة مجردة لـ "رفع الدليل" على حقل متجه مرافق.

يُعرّف معكوس S ⁻¹ _{g تحويلاً خطياً}

${\displaystyle S_{g}^{-1}:\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}$

وهو غير منفرد ومتناظر بمعنى أن

${\displaystyle \left[S_{g}^{-1}\alpha ,\beta \right]=\left[S_{g}^{-1}\beta ,\alpha \right]}$

لكل المتجهات المرافقة α و β . ينتج عن هذا التحويل المتناظر غير المنفرد (عن طريق اقتران التماثل الموتري ) تحويل

${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M\to \mathbf {R} }$

أو عن طريق التشاكل الثنائي المزدوج إلى مقطع من حاصل الضرب الموتري

${\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M.}$

بالنظر إلى جزء من منحنى، فإن كمية أخرى يتم تعريفها بشكل متكرر هي الطاقة الحركية للمنحنى:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\,dt\,.}$

يأتي هذا الاستخدام من الفيزياء ، وتحديدًا من الميكانيكا الكلاسيكية ، حيث يمكن ملاحظة أن التكامل E يتوافق مباشرةً مع الطاقة الحركية لجسيم نقطي يتحرك على سطح متعدد الشعب. وهكذا، على سبيل المثال، في صياغة جاكوبي لمبدأ موبيرتوي ، يمكن ملاحظة أن موتر القياس يتوافق مع موتر الكتلة لجسيم متحرك.

في كثير من الحالات، عندما تتطلب الحسابات استخدام الطول، يمكن إجراء حسابات مماثلة باستخدام الطاقة. وهذا غالبًا ما يؤدي إلى صيغ أبسط بتجنب الحاجة إلى الجذر التربيعي. فعلى سبيل المثال، يمكن الحصول على معادلات الجيوديسية بتطبيق مبادئ التباين على الطول أو الطاقة. في الحالة الأخيرة، تُلاحظ معادلات الجيوديسية من مبدأ الفعل الأدنى : فهي تصف حركة " جسيم حر " (جسيم لا يخضع لأي قوى) محصور في الحركة على سطح متعدد الشعب، ولكنه يتحرك بحرية داخله بزخم ثابت. ^{[ 7 ]}

المثال الأكثر شيوعًا هو مثال الهندسة الإقليدية الأساسية: موتر القياس الإقليدي ثنائي الأبعاد . في الإحداثيات الديكارتية المعتادة ( س ، ص ) ، يمكننا كتابة

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,.}$

يمكن اختزال طول المنحنى إلى الصيغة التالية:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}\,.}$

يمكن كتابة المقياس الإقليدي في بعض أنظمة الإحداثيات الشائعة الأخرى على النحو التالي.

الإحداثيات القطبية ( r ، θ ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\J&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

لذا

${\displaystyle g=J^{\mathsf {T}}J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}}$

باستخدام المتطابقات المثلثية .

بشكل عام، في نظام إحداثيات ديكارتية xᵢ على فضاء إقليدي ، ^تكون المشتقات الجزئية ∂/ ∂xᵢ متعامدة بالنسبة للمقياس الإقليدي. وبالتالي، فإن موتر المقياس هو ^دلتا كرونكر δᵢⱼ في هذا النظام. يُعطى موتر المقياس بالنسبة لإحداثيات اختيارية (قد تكون منحنية) qᵢ ^{بالعلاقة} _{التالية :}

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{kl}\delta _{kl}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{j}}}.}$

في فضاء مينكوفسكي المسطح ( النسبية الخاصة )، مع الإحداثيات

${\displaystyle r^{\mu }\rightarrow \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)\,,}$

يعتمد المقياس على اختيار توقيع المقياس ،

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,.}$