المسار الجيوديسي

من أكثر الأمثلة شيوعًا الخطوط المستقيمة في الهندسة الإقليدية . على سطح الكرة ، تُمثل الدوائر العظمى الخطوط الجيوديسية . أقصر مسار من النقطة أ إلى النقطة ب على سطح الكرة هو القوس الأقصر من الدائرة العظمى المار بالنقطتين أ و ب . إذا كانت أ و ب نقطتين متقابلتين ، فإنه يوجد عدد لا نهائي من أقصر المسارات بينهما. أما الخطوط الجيوديسية على سطح القطع الناقص فتتصرف بطريقة أكثر تعقيدًا من نظيرتها على سطح الكرة؛ فهي ليست مغلقة بشكل عام (انظر الشكل).

يتشكل المثلث الجيوديسي من خلال الخطوط الجيوديسية التي تربط كل زوج من النقاط الثلاث على سطح معين. أما على الكرة، فتكون الخطوط الجيوديسية عبارة عن أقواس دوائر عظمى ، لتشكل مثلثًا كرويًا .

Techniques of the classical calculus of variations can be applied to examine the energy functional ${\displaystyle E}$. The first variation of energy is defined in local coordinates by

${\displaystyle \delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi ).}$

The critical points of the first variation are precisely the geodesics. The second variation is defined by

${\displaystyle \delta ^{2}E(\gamma )(\varphi ,\psi )=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi ).}$

In an appropriate sense, zeros of the second variation along a geodesic ${\displaystyle \gamma }$ arise along Jacobi fields. Jacobi fields are thus regarded as variations through geodesics.

By applying variational techniques from classical mechanics, one can also regard geodesics as Hamiltonian flows. They are solutions of the associated Hamilton equations, with (pseudo-)Riemannian metric taken as Hamiltonian.

تنص نظرية الوجود المحلي والتفرد للخطوط الجيوديسية على أن الخطوط الجيوديسية على مشعب أملس ذي اتصال تآلفي موجودة، وهي فريدة. بتعبير أدق:

لكل نقطة p في M ولكل متجه V في T _p M ( الفضاء المماسي لـ M عند p ) يوجد خط جيوديسي وحيد${\displaystyle \gamma \,}$ : أنا → م بحيث

${\displaystyle \gamma (0)=p\,}$و

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}$

حيث I هي فترة مفتوحة قصوى في R تحتوي على 0.

يُستنتج برهان هذه النظرية من نظرية المعادلات التفاضلية العادية ، بملاحظة أن معادلة الجيوديسية هي معادلة تفاضلية عادية من الرتبة الثانية. ومن ثم، يُستنتج وجود الحل ووحدانيته من نظرية بيكارد-ليندلوف لحلول المعادلات التفاضلية العادية ذات الشروط الابتدائية المحددة. وتعتمد قيمة γ بسلاسة على كل من p و V. 

بشكل عام، قد لا يكون I هو كل R كما هو الحال مثلاً بالنسبة لقرص مفتوح في R ^2. أي γ يمتد إلى كل ℝ إذا وفقط إذا كانت M كاملة جيوديسياً .

التدفق الجيوديسي هو تأثير R محلي على الحزمة المماسية TM لمتشعب M مُعرَّف بالطريقة التالية

${\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}$

where t ∈ R, V ∈ TM and ${\displaystyle \gamma _{V}}$ denotes the geodesic with initial data ${\displaystyle {\dot {\gamma}} _ {V}(0)=V}$. Thus, ${\displaystyle G^{t}(V)=\exp(tV)}$ is the exponential map of the vector tV. A closed orbit of the geodesic flow corresponds to a closed geodesic on M.

On a (pseudo-)Riemannian manifold, the geodesic flow is identified with a Hamiltonian flow on the cotangent bundle. The Hamiltonian is then given by the inverse of the (pseudo-)Riemannian metric, evaluated against the canonical one-form. In particular the flow preserves the (pseudo-)Riemannian metric ${\displaystyle g}$, i.e.

${\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}$

In particular, when V is a unit vector, ${\displaystyle \gamma _{V}}$ remains unit speed throughout, so the geodesic flow is tangent to the unit tangent bundle. Liouville's theorem implies invariance of a kinematic measure on the unit tangent bundle.

The geodesic flow defines a family of curves in the tangent bundle. The derivatives of these curves define a vector field on the total space of the tangent bundle, known as the geodesic spray.

More precisely, an affine connection gives rise to a splitting of the double tangent bundle TTM into horizontal and vertical bundles:

${\displaystyle TTM=H\oplus V.}$

The double tangent bundle can be visualized as the space of simultaneous changes of both the base point and velocity, without committing to any method to transport velocity across base points.

For any ${\displaystyle x\in M,\;v\in T_{x}M}$, the vertical fiber ${\displaystyle V_{(x,v)}}$ is determined by the projection map ${\displaystyle \pi :TM\to M}$. It consists of all ways to change the velocity ${\displaystyle v}$ while fixing the base point ${\displaystyle x}$, and it is essentially a copy of ${\displaystyle T_{x}M}$ translated from ${\displaystyle (x,0)}$ to ${\displaystyle (x,v)}$. The affine connection then selects where ${\displaystyle (x,v)}$ would land under a change of base point while "fixing" velocity, which spans out the horizontal fiber ${\displaystyle H_{(x,v)}}$. Conversely, given the split, transporting a vector ${\displaystyle v}$ along a trajectory ${\displaystyle \gamma }$ simply means dragging the vector along the horizontal bundle, i.e. lifting the trajectory twice, from ${\displaystyle \gamma (t)}$ in ${\displaystyle M}$ to ${\displaystyle (\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))}$ in ${\displaystyle TM}$ to ${\displaystyle (\gamma (t),v(t),a(t))}$ in ${\displaystyle H}$, with the condition that ${\displaystyle d\pi (\gamma (t),v,a(t))=(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))}$.

The geodesic spray is the unique horizontal vector field W satisfying

${\displaystyle d\pi W_{(x,v)}=(x,v)}$

at each point ${\displaystyle x\in M,\;v\in T_{x}M}$, here ${\displaystyle d\pi :TTM\to TM}$denotes the pushforward (differential) along the projection ${\displaystyle \pi :TM\to M}$. Intuitively, ${\displaystyle d\pi }$ discards the change to velocity and preserves change to base point.

بشكل أعم، يسمح نفس البناء بإنشاء حقل متجهي لأي اتصال إهرسمان على الحزمة المماسية. ولكي يكون الحقل المتجهي الناتج عبارة عن رذاذ (على الحزمة المماسية المحذوفة T M  \  {0})، يكفي أن يكون الاتصال متغيرًا تحت عمليات إعادة التحجيم الموجبة، أي يكفي أن يكون، إذا${\displaystyle w\in T_{x}M}$يتم نقلها بواسطة${\displaystyle \gamma }$ل${\displaystyle w'\in T_{x'}M}$، ثم${\displaystyle kw}$يجب نقلها إلى${\displaystyle kw'}$لأي${\displaystyle k>0}$ليس بالضرورة أن يكون كذلك، إذا${\displaystyle u\in T_{x}M}$كما يتم نقلها إلى${\displaystyle u'\in T_{x'}M}$، ثم${\displaystyle w+u}$يجب نقلها${\displaystyle w'+u'}$.

أي (انظر: اتصال إهرسمان# حزم المتجهات والمشتقات المتغيرة ) يكفي أن يحقق التوزيع الأفقي

${\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}$

لكل X  ∈  T M  \  {0} و λ  >  0. هنا d ( S _λ ) هو الدفع الأمامي على طول التماثل القياسي${\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}$ ومن الحالات الخاصة للاتصال غير الخطي الذي ينشأ بهذه الطريقة هو ذلك المرتبط بمتشعب فينسلر .

يُعدّ التباين في ظل عمليات إعادة التحجيم الموجبة ضروريًا لضمان أن يكون نقل المتجهات مُعرّفًا جيدًا على طول المسارات الموجهة، أي بالنظر إلى أي معلمات.${\displaystyle \gamma :I\to M}$من المنحنى، وأي "تغيير في التوقيت" متزايد بشكل رتيب تمامًا${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$، المعايرة الجديدة${\displaystyle \gamma \circ f}$لا يزال ينتج نفس نقل المتجهات. وبدون التكافؤ تحت عمليات إعادة التحجيم الموجبة، يعتمد نقل المتجهات على طول مسار موجه على المعلمات المحددة.

المعادلة ( 1 ) ثابتة تحت إعادة التحديدات الخطية؛ أي، التحديدات من الشكل

${\displaystyle t\mapsto at+b}$

حيث a و b عددان حقيقيان ثابتان. وبالتالي، فإنه بالإضافة إلى تحديد فئة معينة من المنحنيات المضمنة، تحدد معادلة الجيوديسية أيضًا فئة مفضلة من المعاملات على كل منحنى. وبناءً على ذلك، تُسمى حلول المعادلة ( 1 ) بالجيوديسيات ذات المعامل الأفيني .

يُحدد الاتصال الأفيني بمجموعة خطوطه الجيوديسية ذات المعاملات الأفينية، حتى الالتواء ( سبيفاك 1999 ، الفصل 6، الملحق الأول) . في الواقع، لا يؤثر الالتواء نفسه على مجموعة الخطوط الجيوديسية، لأن معادلة الخط الجيوديسي تعتمد فقط على الجزء المتناظر من الاتصال. بتعبير أدق، إذا${\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}$يوجد اتصالان بحيث يكون موتر الفرق

${\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}$

إذا كان متماثلًا معكوسًا ،${\displaystyle \nabla }$و${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$لها نفس المسارات الجيوديسية، بنفس المعاملات الأفينية. علاوة على ذلك، هناك اتصال فريد يجمعها بنفس المسارات الجيوديسية مثل ${\displaystyle \nabla }$ولكن مع التواء متلاشٍ.

يتم وصف المسارات الجيوديسية التي لا تخضع لمعاملات محددة بواسطة اتصال إسقاطي .

Mitchell, Mount, and Papadimitriou addressed the discrete geodesic problem: finding the shortest path between two points on a triangulated polyhedral surface.^[3] Their algorithm, often abbreviated MMP, uses a "continuous Dijkstra" approach, propagating a distance wavefront across the mesh in a manner analogous to Dijkstra's algorithm on a continuous domain; this wavefront's state on each edge is often described using the term "window."^[4] MMP computes the exact geodesic distance and path in O(n² log n) time and O(n²) space, where n is the number of edges of the surface.

Kimmel and Sethian's fast marching method adapts to triangulated surfaces an eikonal-equation solver originally formulated on regular grids: a monotone upwind finite-difference scheme builds the distance function by sweeping outward from the source in order of increasing distance — a causality relationship analogous to Dijkstra's algorithm on a continuous domain.^[5] It runs in O(n log n) time, where n is the number of mesh points, at the cost of only approximating the true geodesic distance. Later work further extended the fast-marching framework to implicit surfaces and point clouds.^[6][7]

Crane, Weischedel, and Wardetzky's heat method splits distance computation into two stages: first find the direction along which distance increases, then compute the distance itself.^[8] The approach is motivated by Varadhan's formula, which relates the short-time behavior of the heat kernel to squared geodesic distance; applying that formula to a numerical approximation of the heat kernel, however, gives poor results, so the method instead uses only the direction of the diffused heat's gradient, normalizing it to obtain a unit vector field along geodesics. The distance function is then recovered by solving a Poisson equation against that field. Because both stages reduce to sparse linear systems that can be prefactored once, the method is well suited to repeated distance queries from different sources on a fixed mesh.

• In a surface with negative Euler characteristic, any (free) homotopy class determines a unique (closed) geodesic for a hyperbolic metric. These geodesics contribute significantly to the geometric understanding of the action of mapping classes.
• تتفاعل الفضاءات المترية الجيوديسية وفضاءات الطول بشكل ممتاز مع تأثيرات الزمر المتساوية القياس ( مثل مبرهنة شفارتس-ميلنور ، ومبرهنة هوبف-رينو ، ومبرهنة مورس، إلخ). وغالبًا ما تُشكّل هذه الفضاءات إطارًا مناسبًا لتعميم نتائج الهندسة الريمانية على الإنشاءات التي تعكس هندسة الزمرة. فعلى سبيل المثال، يمكن فهم خاصية غروموف-القطع الزائد من خلال رقة المثلثات الجيوديسية، ويمكن التعبير عن CAT(0) بدلالة الزوايا بين الجيوديسيات.

• يمكن فهم النقل الأمثل على أنه مشكلة إيجاد المسارات الجيوديسية في فضاءات القياسات.
• في هندسة المعلومات ، تلعب التباعدات مثل تباعد كولباك-لايبير دورًا مشابهًا لدور المقياس الريماني، مما يسمح بإجراء مقارنات للاتصالات والجيوديسيات .

• في الميكانيكا الكلاسيكية ، تُقلل المسارات الطاقة وفقًا لمعادلة هاميلتون-جاكوبي ، والتي يمكن اعتبارها فكرة مشابهة للجيوديسية. وفي بعض الحالات الخاصة، يتطابق المفهومان تمامًا .
• تُصوّر نظرية النسبية الزمكان على أنه متعدد الشعب اللورنتزي ، حيث يتبع الضوء الجيوديسيات اللورنتزي.

• في الكيمياء النظرية والحسابية ، يمكن حساب إحداثيات التفاعل الجوهرية لسطح طاقة الوضع (PES) كخط جيوديسي بين الحد الأدنى المحلي ( الحالات الوسيطة ) ونقاط السرج ( حالات الانتقال ). ^{[ 10 ] [ 11 ]}
• في الديناميكا الجزيئية ، يمكن التعامل مع تشكيلات البروتين كنقاط على سطح منحني، حيث تمثل الخطوط الجيوديسية أقصر المسارات وأقلها تشويهاً بين الهياكل، ويمكن أن تساعد في تقريب التحولات المرصودة والتفاعلات داخل الجزيئية. ^{[ 12 ]}

• يمكن تناول دراسة كيفية قيام الجهاز العصبي بتحسين الحركة العضلية من خلال تزويد فضاء تكوين الجسم بمقياس ريماني يقيس الجهد، بحيث يمكن صياغة المشكلة من حيث الجيوديسيا. ^{[ 13 ]}
• تُستخدم المسافة الجيوديسية غالبًا لقياس طول مسارات انتشار الإشارات في الخلايا العصبية. ^{[ 14 ]}
• تلعب هياكل الجيوديسية في الجزيئات الكبيرة دورًا في دراسة طيات البروتين . ^{[ 15 ]}
• ^{[ 16 ]} بنية العيون المركبة ، حيث يتم تثبيت ودعم أجزاء كثيرة منها بواسطة شبكة قبة جيوديسية على السطح الخارجي للعين.

تُستخدم الخطوط الجيوديسية كأساس لحساب ما يلي:

• هياكل الطائرات الجيوديسية؛ انظر هيكل الطائرة الجيوديسي أو هيكل الطائرة الجيوديسي
• المسافات الأفقية على سطح الأرض أو بالقرب منها؛ انظر: الجيوديسيات الأرضية
• رسم الصور على الأسطح لأغراض العرض؛ انظر رسم الخرائط فوق البنفسجية
• تخطيط حركة الروبوت (على سبيل المثال، عند طلاء أجزاء السيارة)؛ انظر مشكلة أقصر مسار
• تصحيح أقصر مسار جيوديسي (GSP) على إعادة بناء سطح بواسون (مثلًا في طب الأسنان الرقمي )؛ بدون إعادة بناء GSP غالبًا ما ينتج عنه تقاطعات ذاتية داخل السطح