مدار

كمثال توضيحي لمدار حول كوكب، قد يكون نموذج نيوتن للقذيفة المدفعية مفيدًا (انظر الصورة). هذه " تجربة فكرية "، حيث يمكن لمدفع مثبت على قمة جبل شاهق إطلاق قذيفة أفقيًا بأي سرعة فوهة مختارة. يتم تجاهل تأثيرات احتكاك الهواء على القذيفة (أو ربما يكون الجبل مرتفعًا بما يكفي ليكون المدفع فوق الغلاف الجوي للأرض، وهو ما يُعدّ أمرًا مماثلًا). ^{[ 35 ]}

إذا أطلق المدفع قذيفته بسرعة ابتدائية منخفضة، فإن مسار القذيفة ينحني نحو الأسفل، وتصطدم بالأرض (أ). ومع زيادة سرعة الإطلاق، تصطدم القذيفة بالأرض على مسافة أبعد (ب) من المدفع، لأنه بينما لا تزال القذيفة تسقط نحو الأرض، فإن الأرض تنحني بشكل متزايد مبتعدةً عنها (انظر النقطة الأولى أعلاه). تُعدّ كل هذه الحركات في الواقع "مسارات" بالمعنى التقني - فهي تصف جزءًا من مسار بيضاوي حول مركز الثقل - ولكن هذه المسارات تنقطع عند اصطدام القذيفة بالأرض.

إذا أُطلقت قذيفة المدفع بسرعة كافية، فإن الأرض تنحني بعيدًا عنها بمقدار سقوطها على الأقل، فلا تصطدم بالأرض أبدًا. وبذلك، تكون في مدار دائري مستمر. ولكل تركيبة محددة من الارتفاع فوق مركز ثقل الكوكب وكتلته، توجد سرعة إطلاق محددة (لا تتأثر بكتلة القذيفة، التي يُفترض أنها صغيرة جدًا مقارنة بكتلة الأرض) تُنتج مدارًا دائريًا ، كما هو موضح في الشكل (ج).

مع زيادة سرعة الإطلاق عن هذه القيمة، تتشكل مدارات إهليلجية متصلة؛ يظهر أحدها في الشكل (د). إذا كان الإطلاق الأولي فوق سطح الأرض كما هو موضح، فستتشكل أيضًا مدارات إهليلجية متصلة عند سرعة إطلاق أبطأ؛ وستقترب هذه المدارات من الأرض عند نقطة تبعد نصف مدار عن نقطة الإطلاق، ومقابلة لها مباشرةً، أسفل المدار الدائري.

عند سرعة إطلاق أفقية محددة تُسمى سرعة الإفلات ، وتعتمد على كتلة الكوكب ومسافة الجسم عن مركز ثقله، يتحقق مدار مفتوح (E) ذو مسار مكافئ . وعند سرعات أعلى، يسلك الجسم مسارات زائدية . عمليًا، يعني كلا نوعي المسارين أن الجسم "يتحرر" من جاذبية الكوكب، و"ينطلق في الفضاء" وقد لا يعود أبدًا. مع ذلك، يبقى الجسم خاضعًا لتأثير جاذبية الشمس. ^{[ 36 ]}

في معظم المواقف الواقعية، توفر قوانين نيوتن وصفًا دقيقًا إلى حد معقول لحركة الأجسام في مجال الجاذبية. وتصبح التعديلات اللازمة لمراعاة نظرية النسبية ملحوظة في الحالات التي يكون فيها الجسم قريبًا من مصدر جاذبية قوي مثل نجم، ^{[ 37 ]} أو عندما تكون هناك حاجة إلى مستوى عالٍ من الدقة.

تسارع الجسم يساوي محصلة القوى المؤثرة عليه مقسومة على كتلته. تتناسب قوة الجاذبية المؤثرة على الجسم طرديًا مع حاصل ضرب كتلتي الجسمين المتجاذبين، وتتناقص عكسيًا مع مربع المسافة بينهما. ^{[ 31 ]} في حالة مسألة الجسمين ، المُعرَّفة كنظام معزول لجسمين كرويين معلومي الكتلة ومسافة كافية بينهما، يُمكن لهذا التقريب النيوتني لتفاعلهما الجاذبي أن يُوفر حسابًا دقيقًا نسبيًا لمساراتهما. ^{[ 38 ]}

إذا كان الجسم الأثقل أكبر بكثير من الجسم الأصغر، كما في حالة قمر صناعي أو قمر صغير يدور حول كوكب، أو الأرض التي تدور حول الشمس، فإنه من الدقيق والملائم وصف الحركة باستخدام نظام إحداثيات مركزه الجسم الأثقل، ونقول إن الجسم الأخف يدور حول الجسم الأثقل. أما في حالة تقارب كتل الجسمين، فيكفي حل نيوتني دقيق، ويمكن الحصول عليه بوضع نظام الإحداثيات في مركز كتلة النظام. ^{[ 39 ]}

ترتبط الطاقة بمجالات الجاذبية . يستطيع جسم ساكن بعيد عن جسم آخر بذل شغل خارجي إذا ما سُحب نحوه، وبالتالي يمتلك طاقة وضع جاذبية . ولأن فصل جسمين عن بعضهما يتطلب شغلاً في مواجهة قوة الجاذبية، فإن طاقة وضعهما الجاذبية تزداد كلما ابتعدا عن بعضهما وتنقص كلما اقتربا من بعضهما. بالنسبة للكتل النقطية، تتناقص طاقة الوضع الجاذبية إلى الصفر عندما تقترب من الصفر. من الملائم والتقليدي اعتبار طاقة الوضع صفرًا عندما تكون المسافة بين الجسمين لانهائية، وبالتالي تكون قيمتها سالبة (لأنها تتناقص من الصفر) للمسافات المحدودة الأصغر. ^{[ 40 ]}

عندما يتفاعل جسمان جاذبيان فقط، فإن مداريهما يتبعان قطعًا مخروطيًا . قد يكون المدار مفتوحًا (أي أن الجسم لا يعود أبدًا) أو مغلقًا (أي يعود). ويعتمد ذلك على الطاقة الكلية ( الطاقة الحركية + الطاقة الكامنة ) للنظام. في حالة المدار المفتوح، تكون السرعة عند أي موضع في المدار على الأقل سرعة الإفلات عند ذلك الموضع، أما في حالة المدار المغلق، فتكون السرعة دائمًا أقل من سرعة الإفلات. وبما أن الطاقة الحركية لا تكون سالبة أبدًا إذا ما اعتُمد الاصطلاح الشائع باعتبار الطاقة الكامنة صفرًا عند مسافة لا نهائية، فإن المدارات المقيدة ستكون لها طاقة كلية سالبة، والمسارات المكافئة ستكون لها طاقة كلية صفرية، والمدارات الزائدية ستكون لها طاقة كلية موجبة. ^{[ 41 ] [ 42 ]}

يتخذ المدار المفتوح شكلاً مكافئاً إذا كانت سرعته تساوي سرعة الإفلات عند تلك النقطة من مساره، ويتخذ شكلاً زائداً عندما تكون سرعته أكبر من سرعة الإفلات. ^{[ 41 ] [ 42 ]} عندما يقترب جسمان من بعضهما بسرعة إفلات أو أكبر (بالنسبة لبعضهما البعض)، فإنهما ينحنيان لفترة وجيزة حول بعضهما البعض عند أقرب نقطة لهما، ثم ينفصلان ويطيران بعيداً عن بعضهما.

جميع المدارات المغلقة لها شكل قطع ناقص . المدار الدائري حالة خاصة، حيث تتطابق بؤرتا القطع الناقص. ^{[ 41 ] [ 42 ]}

تتكرر مسارات الأجسام التي تسلك مدارات مغلقة بفترة زمنية محددة تُسمى الدورة. تُوصف هذه الحركة بقوانين كبلر التجريبية، والتي يمكن اشتقاقها رياضياً من قوانين نيوتن. ويمكن صياغة هذه القوانين على النحو التالي: ^{[ 43 ]}

1. مدار الكوكب حول الشمس يكون بيضاويًا، وتقع الشمس في إحدى بؤرتي هذا البيضاوي. [هذه البؤرة هي في الواقع مركز ثقل نظام الشمس والكوكب ؛ ولتبسيط الأمر، يفترض هذا التفسير أن كتلة الشمس أكبر بكثير من كتلة الكوكب]. يقع مدار الكوكب في مستوى يُسمى المستوى المداري . ^{[ 43 ]}
2. أثناء حركة الكوكب في مداره، يمسح الخط الواصل بين الشمس والكوكب مساحة ثابتة من مستوى المدار لفترة زمنية محددة، بغض النظر عن الجزء الذي يقطعه الكوكب من مداره خلال تلك الفترة. وهذا يعني أن الكوكب يتحرك بسرعة أكبر قرب نقطة الحضيض الشمسي منه قرب نقطة الأوج ، لأنه عند المسافة الأقصر يحتاج إلى رسم قوس أكبر لتغطية المساحة نفسها. ^{[ 43 ]} يُصاغ هذا القانون عادةً بعبارة "مساحات متساوية في أزمنة متساوية".
3. بالنسبة لمدار معين، تكون نسبة مكعب نصف محوره الأكبر إلى مربع دورته ثابتة. ^{[ 43 ]}

في الوضع الأمثل، تُشكّل المدارات المقيدة لجسم نقطي أو كروي ذي مجال جاذبية نيوتني أشكالًا بيضاوية مغلقة ، تُكرر المسار نفسه بدقة وبشكل لا نهائي. مع ذلك، فإن أي تأثيرات غير كروية أو غير نيوتنية ستؤدي إلى انحراف شكل المدار عن الشكل البيضاوي. قد تنجم هذه التأثيرات عن تفلطح طفيف للجسم، ^{[ 44 ]} أو شذوذات في الكتلة ، [ ^{45 ] أو} تشوهات مدية، ^{[ 46 ]} أو تأثيرات نسبية ، ^{[ 19 ]} مما يُغير سلوك مجال الجاذبية مع المسافة.

نُشرت حلول الجسمين بواسطة نيوتن في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية " عام 1687. ^{[ 30 ]} وفي عام 1912، طوّر كارل فريتيوف سوندمن متسلسلة لانهائية متقاربة لحل مسألة الأجسام الثلاثة العامة ؛ إلا أن تقاربها بطيء للغاية بحيث لا يُجدي نفعًا كبيرًا. وقد دُرست مسألة الأجسام الثلاثة المقيدة، التي يُفترض فيها أن كتلة الجسم الثالث مهملة، على نطاق واسع. وتشمل حلول هذه الحالة نقاط لاغرانج . ^{[ 47 ]} وفي حالة نظرية القمر ، سمح عمل شارل أوجين دولوناي في القرن التاسع عشر بالتنبؤ بحركات القمر بدقة تصل إلى قطره على مدى 20 عامًا. ^{[ 48 ]} ولا توجد طريقة صالحة عالميًا معروفة لحل معادلات الحركة لنظام يتكون من أربعة أجسام أو أكثر.

ينطبق الاشتقاق التالي على المدار الإهليلجي. ويفترض أن الجسم المركزي ذو كتلة كافية تجعله ثابتاً، وبالتالي يمكن تجاهل التأثيرات الدقيقة للنسبية العامة .

القوة والتسارع

ينص قانون نيوتن للجاذبية على أن التسارع الجاذبي للكتلة الثانية باتجاه الجسم المركزي يرتبط بعكس مربع المسافة بينهما، أي: ^{[ 49 ]}

${\displaystyle F_{2}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

حيث F ₂ هي القوة المؤثرة على الكتلة m ₂ الناتجة عن قوة الجذب الثقالي التي تمتلكها الكتلة m ₁ تجاه m ₂ ، و G هو ثابت الجاذبية الكوني ، و r هي المسافة بين مركزي الكتلتين.

من قانون نيوتن الثاني، فإن مجموع القوى المؤثرة على الجسم m ₂ والمتعلقة بتسارع ذلك الجسم هو:

${\displaystyle F_{2}=m_{2}A_{2}}$

حيث A ₂ هو تسارع m ₂ الناتج عن قوة الجذب الثقالي F ₂ من m ₁ المؤثرة على m ₂ .

بدمج المعادلتين 1 و 2:

${\displaystyle -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=m_{2}A_{2}}$

إيجاد التسارع، A ₂ :

${\displaystyle A_{2}={\frac {F_{2}}{m_{2}}}=-{\frac {1}{m_{2}}}{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

أين${\displaystyle \mu \,}$هو معامل الجاذبية القياسي ، في هذه الحالة${\displaystyle Gm_{1}}$[ ^{50 ]} من المفهوم أن النظام الذي يتم وصفه هو ^m 2 _، وبالتالي يمكن حذف الرموز السفلية.

الإحداثيات القطبية

موقع الجسم المداري في الوقت الحالي${\displaystyle t}$يتم تحديد موقعها في المستوى المداري باستخدام حساب المتجهات في الإحداثيات القطبية ، سواء باستخدام الأساس الإقليدي القياسي أو باستخدام الأساس القطبي مع نقطة الأصل التي تتطابق مع مركز القوة.${\displaystyle r}$لتكن المسافة بين الجسم والمركز و${\displaystyle \theta }$لتكن الزاوية التي دارت بها.${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$و${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ولتكن القواعد الإقليدية القياسية ولتكن: ^{[ 49 ]}

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

لنفترض أن لدينا أساسين قطبيين شعاعي ومستعرض . الأول هو متجه الوحدة الذي يشير من الجسم المركزي إلى الموقع الحالي للجسم الدائر، والثاني هو متجه الوحدة المتعامد الذي يشير إلى الاتجاه الذي سيسلكه الجسم الدائر إذا كان يدور في دائرة عكس اتجاه عقارب الساعة. إذن، المتجه إلى الجسم الدائر هو:

${\displaystyle {\mathbf {O} }=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

تدوين نيوتن${\displaystyle {\dot {r}}}$و${\displaystyle {\dot {\theta }}}$يشير إلى المشتقات القياسية لكيفية تغير هذه المسافة والزاوية بمرور الوقت. ^{[ 51 ]} حساب مشتقة متجه لمعرفة كيفية تغيره خلال فترة زمنية قصيرة جدًا،${\displaystyle \delta t}$، يطرح موقعه في وقت${\displaystyle t+\delta t}$من ذلك الوقت${\displaystyle t}$ويقسم على${\displaystyle \delta t}$. وتبقى النتيجة متجهة.

قانون كبلر الثاني

لأن متجه الأساس${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$إذا تحرك الجسم أثناء دورانه في مداره، فإن الخطوة الأولى هي اشتقاقه لتحديد معدل التغير القطري مع الزمن.${\displaystyle t}$ل${\displaystyle t+\delta t}$، المتجه${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$يبقى بدايته عند نقطة الأصل ويدور من الزاوية${\displaystyle \theta }$ل${\displaystyle \theta +{\dot {\theta }}\ \delta t}$، والذي يحرك رأسه مسافة${\displaystyle {\dot {\theta }}\ \delta t}$في الاتجاه العمودي${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$، مما يعطي مشتقًا من${\displaystyle {\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {\mathbf {r} }}&=-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\delta t}}={\dot {\boldsymbol {\theta }}}&=-\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}\end{aligned}}}$

يمكن الآن تحديد سرعة وتسارع الجسم الذي يدور في المدار. ^{[ 49 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {O} }&=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {O} }}&={\frac {\delta r}{\delta t}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r\left[{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]\\{\ddot {\mathbf {O} }}&=\left[{\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]+\left[{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}-r{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\\&=\left[{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right]{\hat {\mathbf {r} }}+\left[r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\end{aligned}}}$

في السطر الأخير، معاملات${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$و${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$أعطِ التسارعات في الاتجاهين القطري والعرضي. وكما ذُكر، يُعطي نيوتن التسارع الأول الناتج عن الجاذبية على النحو التالي:${\displaystyle -\mu /r^{2}}$والثاني يساوي صفرًا وفقًا لقانون نيوتن الأول. وبالتالي: ^{[ 49 ]}

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

1

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0}$

2

يمكن إعادة ترتيب المعادلة (2) باستخدام التكامل بالتجزئة .

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)=0}$

يمكن الآن ضرب كلا الطرفين في${\displaystyle r}$لأنها لا تساوي صفرًا إلا إذا اصطدم الجسم الدائر. كون المشتقة تساوي صفرًا يدل على أن الدالة ثابتة.

${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h}$

3

وهو في الواقع البرهان النظري لقانون كبلر الثاني (الخط الواصل بين الكوكب والشمس يمسح مساحات متساوية خلال فترات زمنية متساوية). ^{[ 49 ]} ثابت التكامل ، h ، هو الزخم الزاوي لكل وحدة كتلة . ^{[ 52 ]}

قانون كبلر الأول

للحصول على معادلة المدار من المعادلة (1)، يجب حذف متغير الزمن. (انظر أيضًا معادلة بينيه ). في الإحداثيات القطبية، يُعبّر هذا عن المسافة${\displaystyle r}$مسافة الجسم المداري من المركز كدالة لزاويته${\displaystyle \theta }$ومع ذلك، من الأسهل إدخال المتغير المساعد${\displaystyle u=1/r}$وللتعبير${\displaystyle u}$كدالة لـ${\displaystyle \theta }$مشتقات${\displaystyle r}$يمكن إعادة كتابة العلاقة المتعلقة بالزمن كمشتقات من${\displaystyle u}$فيما يتعلق بالزاوية. ^{[ 49 ]}

${\displaystyle u={1 \over r}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {h}{r^{2}}}=hu^{2}}$(إعادة صياغة (3))

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}&={\frac {\delta }{\delta t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {1}{h}}{\frac {\delta {\dot {r}}}{\delta t}}{\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\ \ \ {\text{ or }}\ \ \ {\ddot {r}}=-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}\end{aligned}}}$

بإدخال هذه القيم في (1) نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}&=-{\frac {\mu }{r^{2}}}\\-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {1}{u}}\left(hu^{2}\right)^{2}&=-\mu u^{2}\end{aligned}}}$

وبالتالي: ^{[ 49 ]}

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}+u={\frac {\mu }{h^{2}}}}$

4

بالنسبة لقوة الجاذبية – أو بشكل أعم، لأي قانون قوة يعتمد على التربيع العكسي – يصبح الطرف الأيمن من المعادلة ثابتًا، وتُصبح المعادلة معادلة توافقية (مع تغيير موضع نقطة الأصل للمتغير التابع). الحل هو:

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}+A\cos(\theta -\theta _{0})}$

حيث A و θ₀ ثابتان اختياريان _. معادلة مدار الجسم الناتجة هي معادلة قطع ناقص في الصورة القطبية بالنسبة لإحدى بؤرتيه. ويمكن تبسيطها إلى صيغة أكثر شيوعًا بوضع${\displaystyle e\equiv h^{2}A/\mu }$ليكن هذا هو الغرابة ، والتي عندما نعيد ترتيبها نرى:

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))}$

لاحظ أنه عن طريق السماح${\displaystyle a\equiv h^{2}/\mu \left(1-e^{2}\right)}$ليكن المحور شبه الرئيسي، وليكن${\displaystyle \theta _{0}\equiv 0}$وبالتالي فإن المحور الطويل للقطع الناقص يقع على طول الإحداثي x الموجب ينتج عنه: ^{[ 49 ]}

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \theta }}}$

عندما تكون قيمة e صفرًا، تكون النتيجة مدارًا دائريًا بنصف قطر يساوي a .

تطبيق عزم الدوران

قد ينتج عزم دوران على قمر صناعي، على سبيل المثال، بسبب اضطراب ناتج عن كتلة غير كروية. ^{[ 54 ]} عندما يكون نظام الجسمين تحت تأثير عزم الدوران، فإن الزخم الزاوي h ليس ثابتًا. بعد الحساب التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta r}{\delta \theta }}&=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}=-{\frac {h}{m}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\{\frac {\delta ^{2}r}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {h^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {hu^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta h}{\delta \theta }}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\\left({\frac {\delta \theta }{\delta t}}\right)^{2}r&={\frac {h^{2}u^{3}}{m^{2}}}\end{aligned}}}$

والنتيجة هي معادلة ستورم-ليوفيل لنظام جسمين. ^{[ 55 ]}

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \theta }}\left(h{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\right)+hu={\frac {\mu }{h}}}$

5

يفترض التحليل الكلاسيكي ( النيوتني ) لميكانيكا المدارات أن التأثيرات الدقيقة للنسبية العامة ، مثل سحب الإطار المرجعي وتمدد الزمن بفعل الجاذبية، ضئيلة. لكن التأثيرات النسبية تصبح غير ضئيلة عند الاقتراب من الأجسام الضخمة (كما هو الحال مع ترنح مدار عطارد حول الشمس)، ^{[ 19 ]} أو عند الحاجة إلى دقة متناهية (كما هو الحال مع حسابات عناصر المدار ومراجع الإشارة الزمنية لأقمار نظام تحديد المواقع العالمي GPS . ^{[ 56 ]} ).

بسبب النسبية العامة، يوجد أصغر نصف قطر ممكن يمكن للجسيم أن يدور فيه بثبات حول ثقب أسود . أي اضطراب داخلي في هذا المدار سيؤدي إلى دخول الجسيم حلزونيًا في الثقب الأسود. يعتمد حجم هذا المدار الدائري المستقر الأقرب على دوران الثقب الأسود ودوران الجسيم نفسه، ^{[ 57 ]} ولكن في حالة عدم الدوران، يكون نصف القطر المداري النظري ثلاثة أضعاف نصف قطر أفق الحدث . ^{[ 58 ]}

بالنسبة لجسم يدور في مدار، يمكن تقسيم القوة المؤثرة إلى ثلاثة مركبات متعامدة : شعاعية، ومستعرضة، وعمودية. تقع المركبتان الأوليان في مستوى المدار (في اتجاه الجسم الجاذب وعلى طول مسار المدار الدائري، على التوالي)، بينما تقع المركبة الثالثة بعيدًا عن مستوى المدار. ^{[ 64 ]} يؤدي دفع شعاعي صغير يُطبق على جسم في مدار إلى تغيير الانحراف المركزي ، ولكنه لا يؤثر على الفترة المدارية (في المقام الأول). أما الدفع المستعرض الأمامي أو الخلفي (أي الدفع المطبق على طول الحركة المدارية) فيغير كلاً من الانحراف المركزي والفترة المدارية . والجدير بالذكر أن الدفع الأمامي عند نقطة الحضيض يرفع الارتفاع عند نقطة الأوج والعكس صحيح، بينما يؤدي الدفع الخلفي إلى عكس ذلك. أما الدفع العمودي (خارج مستوى المدار) فيؤدي إلى دوران مستوى المدار دون تغيير الفترة أو الانحراف المركزي. في جميع الحالات، سيظل المدار المغلق يتقاطع مع نقطة التأثير.

بالنسبة لجسم يدور في مدار قريب بما فيه الكفاية حول جرم سماوي ذي غلاف جوي كثيف، قد يتلاشى مداره بسبب مقاومة الهواء . ^{[ 65 ]} وبالتحديد عند كل نقطة حضيض لمدار ذي انحراف ملحوظ، يتعرض الجسم لمقاومة الهواء، مما يؤدي إلى فقدان الطاقة. في كل مرة، يصبح المدار أقل انحرافًا (أكثر دائرية) لأن الجسم يفقد طاقته الحركية تحديدًا عندما تكون هذه الطاقة في أقصى حد لها. ^{[ 66 ]} يشبه هذا تأثير إبطاء حركة البندول عند أدنى نقطة له؛ حيث تنخفض أعلى نقطة في تأرجح البندول. في النهاية، يصبح التأثير كبيرًا لدرجة أن الطاقة الحركية القصوى لا تكفي لإعادة المدار فوق حدود تأثير مقاومة الهواء. عندما يحدث هذا، سيبدأ الجسم بالدوران حلزونيًا بسرعة نحو الأسفل ويتقاطع مع الجسم المركزي.

تختلف المنطقة التي تتعرض فيها المركبات لمقاومة الغلاف الجوي باختلاف الكواكب؛ فعلى سبيل المثال، تحتاج مركبة العودة إلى الغلاف الجوي إلى الاقتراب من المريخ أكثر بكثير من الأرض، ^{[ 67 ]} بينما تكون المقاومة ضئيلة للغاية بالنسبة لعطارد. وتختلف حدود الغلاف الجوي اختلافًا كبيرًا نتيجةً للتأثير الشمسي والطقس الفضائي . ^{[ 68 ]} خلال ذروة النشاط الشمسي ، يتسبب الغلاف الجوي للأرض في مقاومة تصل إلى مئة كيلومتر أعلى مما هي عليه خلال أدنى مستوى للنشاط الشمسي.

يمكن التأثير على المدارات اصطناعياً باستخدام محركات الصواريخ، التي تُغير الطاقة الحركية للجسم عند نقطة معينة في مساره. وبهذه الطريقة، يُمكن تسهيل تغيير شكل المدار أو اتجاهه. تُعد الأشرعة الشمسية أو الأشرعة المغناطيسية أشكالاً من الدفع لا تتطلب وقوداً أو مدخلات طاقة أخرى غير طاقة الشمس، وبالتالي يُمكن استخدامها بشكل دائم للحفاظ على الموقع. ^{[ 69 ] [ 70 ]} (انظر statite للاطلاع على أحد الاستخدامات المقترحة). قد تتعرض الأقمار الصناعية ذات الحبال الموصلة الطويلة لانخفاض مدارها بسبب السحب الكهرومغناطيسي الناتج عن المجال المغناطيسي للأرض . ^{[ 71 ]} عندما يقطع السلك المجال المغناطيسي، فإنه يعمل كمولد، ناقلاً الإلكترونات من طرف إلى آخر. تتحول الطاقة المدارية إلى حرارة في السلك.

بالنسبة للأجسام التي تدور أسفل المدار المتزامن للجسم الذي تدور حوله، قد يحدث اضمحلال مداري نتيجة لقوى المد والجزر . ^{[ 72 ]} تُؤدي جاذبية الجسم الدائر إلى ظهور انتفاخات مدية في الجسم الرئيسي، وبما أنه يقع أسفل المدار المتزامن، فإن الجسم الدائر يتحرك بسرعة أكبر من سطح الجسم، لذا تتأخر الانتفاخات بزاوية صغيرة خلفه. تنحرف جاذبية الانتفاخات قليلاً عن محور الجسم الرئيسي-القمر الصناعي، وبالتالي يكون لها مركبة في اتجاه حركة القمر الصناعي. يُبطئ الانتفاخ القريب الجسم أكثر مما يُسرّعه الانتفاخ البعيد، ونتيجة لذلك، يضمحل المدار.

في المقابل، تُؤثر جاذبية القمر الصناعي على انتفاخات الكوكب، مُحدثةً عزم دوران على الكوكب الرئيسي، مما يُسرّع دورانه. الأقمار الصناعية صغيرة جدًا بحيث لا تُحدث تأثيرًا ملحوظًا على مدارات الكواكب التي تدور حولها، ولكن العديد من أقمار المجموعة الشمسية تخضع لتدهور مداري بفعل هذه الآلية. ^{[ 73 ]} يُعدّ فوبوس ، أقرب أقمار المريخ إلى الشمس، مثالًا بارزًا على ذلك، ومن المتوقع أن يصطدم بسطح المريخ أو يتفكك إلى حلقة خلال 20 إلى 40 مليون سنة. ^{[ 74 ]}

يمكن أن تتلاشى المدارات عبر انبعاث موجات الجاذبية . هذه الآلية ضعيفة للغاية بالنسبة لمعظم الأجرام النجمية، ولا تصبح ذات أهمية إلا في الحالات التي تجتمع فيها كتلة هائلة وتسارع هائل، مثل الأجرام المدمجة التي تدور حول بعضها البعض على مقربة شديدة. ^{[ 75 ]}

يفترض التحليل القياسي للأجسام المدارية أن جميع الأجسام تتكون من كرات منتظمة، أو بشكل أعم، أغلفة متحدة المركز ذات كثافة منتظمة. رياضياً، تُكافئ هذه الأجسام جاذبياً مصادر نقطية وفقاً لنظرية الأغلفة . ^{[ 76 ]} مع ذلك، في الواقع، تدور العديد من الأجسام، مما يُسبب تفلطحاً يُعرف بالانتفاخ الاستوائي . يُضيف هذا الانتفاخ عزماً رباعي الأقطاب إلى مجال الجاذبية، وهو عزم ذو أهمية عند مسافات تُقارب نصف قطر الجسم. ^{[ 77 ] [ 78 ]} في الحالة العامة، يمكن توسيع جهد الجاذبية لجسم دوار، مثل كوكب، باستخدام متعددات الأقطاب لمراعاة الانحراف عن التناظر الكروي. ^{[ 79 ]}

من منظور ديناميكيات الأقمار الصناعية، تكتسب معاملات التوافقيات المدارية الزوجية، أو المدارات الزوجية، أهمية خاصة، إذ تُحدث اضطرابات مدارية طويلة الأمد تتراكم على مدى فترات زمنية أطول من الدورة المدارية. ^{[ 80 ] [ 81 ]} وتعتمد هذه المعاملات على اتجاه محور التناظر للجسم في الفضاء، وتؤثر عمومًا على المدار بأكمله، باستثناء نصف المحور الأكبر.

يحدث التزامن المداري بين جرمين فلكيين يدوران في مدار مشترك عندما يصل أحدهما إلى حالة لا ينتقل فيها أي زخم زاوي صافٍ خلال دورة كاملة. ^{[ 82 ]} يُجبر التفاعل الجاذبي بينهما على إحداث تغييرات ثابتة في مداريهما ومعدلات دورانهما نتيجة لتبادل الطاقة وتبديد الحرارة حتى تتشكل حالة التزامن. يميل الجرم إلى البقاء في هذه الحالة لأن مغادرتها تتطلب إضافة طاقة إلى النظام. ومن الأمثلة على ذلك كوكب عطارد، الذي يكون متزامنًا في حالة إكمال ثلاث دورات حول محوره لكل دورتين مداريتين. ^{[ 83 ]}

في حالة دوران جسم مقيد مدّيًا حول محوره بشكل متزامن، يستغرق الجسم نفس المدة الزمنية للدوران حول محوره كما يستغرقها للدوران حول الجسم المقابل له. في هذه الحالة، يكون أحد جانبي الجسم السماوي مواجهًا للجسم المضيف له بشكل دائم. وينطبق هذا على قمر الأرض وعلى كلا عضوي نظام بلوتو-شارون. ^{[ 84 ]}

قد تكون تأثيرات الأجسام الأخرى ذات الجاذبية كبيرة. على سبيل المثال، لا يمكن وصف مدار القمر بدقة دون الأخذ في الاعتبار تأثير جاذبية الشمس بالإضافة إلى جاذبية الأرض. ^{[ 85 ]} ومن النتائج التقريبية أن الأجسام عادةً ما يكون لها مدارات مستقرة نسبيًا حول كوكب أو قمر أثقل، على الرغم من هذه الاضطرابات، شريطة أن تدور ضمن نطاق هيل الخاص بالجسم الأثقل . ^{[ 86 ]}

من الآثار طويلة الأمد لتفاعلات الأجسام المتعددة ظاهرة التبادر المداري ، وهي دوران تدريجي للخط الواصل بين نقطتي الأوج والحضيض . في النظام الإهليلجي، ينتج عن ذلك مدار يشبه الوردة . وقد لاحظ الفلكي اليوناني القديم هيبارخوس تبادرًا مداريًا مماثلًا لمدار القمر، حيث يدور أوج القمر حول نقطة الحضيض بفترة تقارب 8.85 سنة. ^{[ 87 ]} يمكن أن ينتج التبادر المداري عن اضطراب المد والجزر، أو الاضطراب الدوراني، أو النسبية العامة، ^{[ 19 ]} أو مزيج من هذه التأثيرات. ويمكن أن يكون رصد التبادر المداري في نظام نجمي ثنائي بعيد مؤشرًا على تأثير اضطراب نجمي ثالث غير مرئي. ^{[ 88 ]}

عندما يكون هناك أكثر من جسمين متأثرين بالجاذبية، يُشار إلى المسألة باسم مسألة الأجسام المتعددة . لا يوجد حل رياضي مغلق لمعظم مسائل الأجسام المتعددة ، على الرغم من وجود بعض الحالات الخاصة التي تم صياغتها.

بدلاً من الحلول المغلقة الدقيقة، يمكن تقريب مدارات الأجرام المتعددة بدقة عالية للغاية. إحدى الطرق هي اعتماد الحركة الإهليلجية البحتة كأساس وإضافة حدود اضطراب لمراعاة تأثير الجاذبية للأجرام المتعددة. ^{[ 89 ]} يُعدّ هذا مناسبًا لحساب مواقع الأجرام الفلكية. تُعرف معادلات حركة الأقمار والكواكب والأجرام الأخرى بدقة عالية، وتُستخدم لإنشاء جداول للملاحة الفلكية . ^{[ 90 ]} مع ذلك، توجد ظواهر غير متغيرة تتطلب معالجة باستخدام أساليب ما بعد نيوتن .

يستخدم النهج التزايدي المعادلات التفاضلية لأغراض علمية أو تخطيطية للمهام. ^{[ 91 ]} وفقًا لقوانين نيوتن، تعتمد كل قوة جاذبية تؤثر على جسم ما على المسافة بينه وبين مصدرها. لذا، يمكن التعبير عن التسارعات بدلالة المواضع. يسهل وصف حدود الاضطراب بهذه الصيغة. يتوافق التنبؤ بالمواضع والسرعات اللاحقة من القيم الأولية للموضع والسرعة مع حل مسألة القيمة الأولية . تحسب الطرق العددية مواضع وسرعات الأجسام لفترة قصيرة في المستقبل، ثم تكرر الحساب مرارًا وتكرارًا. مع ذلك، تتراكم الأخطاء الحسابية الصغيرة الناتجة عن دقة العمليات الحسابية المحدودة للحاسوب، مما يحد من دقة هذا النهج على المدى الطويل.

تُجري عمليات المحاكاة التفاضلية التي تتضمن أعدادًا كبيرة من الأجسام الحسابات بطريقة هرمية ثنائية بين مراكز الكتلة. وباستخدام هذه الطريقة، تمت محاكاة المجرات والتجمعات النجمية وغيرها من التجمعات الكبيرة للأجسام. ^{[ 92 ]}

بالنسبة للأجرام الصغيرة على وجه الخصوص، يمكن للضوء ^{[ 65 ]} والرياح النجمية أن تُحدث اضطرابات كبيرة في وضعية الجرم واتجاه حركته، وقد يكون هذا التأثير بالغ الأهمية مع مرور الوقت. ويمكن للأجسام ذات المجالات المغناطيسية المتبقية أن تتفاعل مع الغلاف المغناطيسي للكوكب ، مما يُؤثر على مدارها. ^{[ 65 ]} ومن بين الأجرام الكوكبية، تتأثر حركة الكويكبات بشكل خاص على مدى فترات طويلة بتأثير ياركوفسكي عندما تدور الكويكبات بالنسبة للشمس. ^{[ 93 ]}