شذوذ حقيقي

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 60 صور
الموسوعة الحرة
الشذوذ الحقيقي للنقطة P هو الزاوية f . مركز القطع الناقص هو النقطة C ، وبؤرته هي النقطة F.

في علم الميكانيكا السماوية ، الشذوذ الحقيقي هو معلمة زاوية تحدد موضع جسم يتحرك على طول مدار كبلري . وهو الزاوية بين اتجاه الحضيض وموضع الجسم الحالي، كما يُرى من البؤرة الرئيسية للقطع الناقص (النقطة التي يدور حولها الجسم).

عادة ما يتم الإشارة إلى الشذوذ الحقيقي بالأحرف اليونانية ν أو θ ، أو الحرف اللاتيني f ، وعادة ما يقتصر على النطاق 0-360 درجة (0-2π راديان).

الشذوذ الحقيقي f هو أحد المعلمات الزاوية الثلاث ( الشذوذات ) التي يمكن استخدامها لتحديد موضع على طول مدار، والمعلمتان الأخريان هما الشذوذ اللامركزي والشذوذ المتوسط .

الصيغ

من متجهات الحالة

بالنسبة للمدارات الإهليلجية، يمكن حساب الشذوذ الحقيقي ν من متجهات الحالة المدارية على النحو التالي:

ν=أركوس⁡هـ⋅ر|هـ||ر|{\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}
(إذا كانت r ⋅ v < 0 ثم استبدل ν بـ 2 π − ν )

أين:

مدار دائري

بالنسبة للمدارات الدائرية، يكون الشذوذ الحقيقي غير مُحدد، لأن المدارات الدائرية لا تمتلك نقطة حضيض محددة بشكل فريد. وبدلاً من ذلك، يتم استخدام وسيط خط العرض u .

u=أركوس⁡ن⋅ر|ن||ر|{\displaystyle u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}
(إذا كانت r z < 0، فاستبدل u بـ 2 π − u )

أين:

  • n هو متجه يشير نحو العقدة الصاعدة (أي أن المكون z لـ n يساوي صفرًا).
  • يمثل r z المركبة z لمتجه موضع المدار r

مدار دائري بميل صفري

بالنسبة للمدارات الدائرية ذات الميل الصفري، تكون قيمة خط العرض غير مُعرَّفة أيضاً، لعدم وجود خط عقد مُحدَّد بشكلٍ فريد. ولذلك، يُستخدم خط الطول الحقيقي بدلاً من ذلك.

ل=أركوس⁡رx|ر|{\displaystyle l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}}
(إذا كانت v x > 0 ، فاستبدل l بـ 2 π − l )

أين:

من الشذوذ اللامركزي

العلاقة بين الشذوذ الحقيقي ν والشذوذ اللامركزيهـ{\displaystyle E}يكون:

كوس⁡ν=كوس⁡هـ-هـ1-هـكوس⁡هـ{\displaystyle \cos {\nu}={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}}

أو باستخدام الجيب [ 1 ] والظل :

الخطيئة⁡ν=1-هـ2الخطيئة⁡هـ1-هـكوس⁡هـلون برونزي⁡ν=الخطيئة⁡νكوس⁡ν=1-هـ2الخطيئة⁡هـكوس⁡هـ-هـ{\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{محاذاة}}}

أو ما يعادل ذلك:

لون برونزي⁡ν2=1+هـ1-هـلون برونزي⁡هـ2{\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}}

لذا

ν=2دالة الظل العكسي⁡(1+هـ1-هـلون برونزي⁡هـ2){\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}

بدلاً من ذلك، اشتق ر. بروك وب. سيفولا [ 2 ] صيغةً لهذه المعادلة تتجنب المشكلات العددية عندما تكون الوسائط قريبة±π{\displaystyle \pm \pi }حيث يصبح المماسان لانهائيين. بالإضافة إلى ذلك، بما أنهـ2{\displaystyle {\frac {E}{2}}}وν2{\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}إذا كانت دائماً في نفس الربع، فلن تكون هناك أي مشاكل في الإشارات.

لون برونزي⁡12(ν-هـ)=βالخطيئة⁡هـ1-βكوس⁡هـ{\displaystyle \tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}}أينβ=هـ1+1-هـ2{\displaystyle \beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}

لذا

ν=هـ+2دالة الظل العكسي⁡(βالخطيئة⁡هـ1-βكوس⁡هـ){\displaystyle \nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)}

من الشذوذ المتوسط

يمكن حساب الشذوذ الحقيقي مباشرة من متوسط ​​الشذوذ.م{\displaystyle M}عن طريق توسيع فورييه : [ 3 ]

ν=م+2∑ك=1∞1ك[∑ن=-∞∞جن(-كهـ)β|ك+ن|]الخطيئة⁡كم{\displaystyle \nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}}

باستخدام دوال بيسلجن{\displaystyle J_{n}}المعاملβ=1-1-هـ2هـ{\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}.

مع حذف جميع شروط الطلبهـ4{\displaystyle e^{4}}أو أعلى (كما هو موضح بواسطةيا⁡(هـ4){\displaystyle \operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}ويمكن كتابتها على النحو التالي: [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

ν=م+(2هـ-14هـ3)الخطيئة⁡م+54هـ2الخطيئة⁡2م+1312هـ3الخطيئة⁡3م+يا⁡(هـ4).{\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).}

تجدر الإشارة إلى أنه لأسباب تتعلق بالدقة، يقتصر هذا التقريب عادةً على المدارات التي يكون فيها الانحراف المركزيهـ{\displaystyle e}صغير.

التعبيرν-م{\displaystyle \nu -M}تُعرف باسم معادلة المركز ، حيث يتم تقديم المزيد من التفاصيل حول التوسع.

نصف القطر من الشذوذ الحقيقي

يرتبط نصف القطر (المسافة بين مركز الجذب والجسم المداري) بالشذوذ الحقيقي من خلال الصيغة التالية:

ر(ت)=أ1-هـ21+هـكوس⁡ν(ت){\displaystyle r(t)=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu (t)}\,\!}

حيث يمثل a المحور شبه الرئيسي للمدار .

في علم الميكانيكا السماوية ، الشذوذ الإسقاطي هو معلمة زاوية تحدد موضع جسم يتحرك على طول مدار كبلري . وهو الزاوية بين اتجاه الحضيض وموضع الجسم الحالي في الفضاء الإسقاطي.

يُشار عادةً إلى الشذوذ الإسقاطي بـθ{\displaystyle \theta }وعادةً ما يقتصر على نطاق 0 - 360 درجة (0 - 2π{\displaystyle \pi }(راديان).

الشذوذ الإسقاطيθ{\displaystyle \theta }هو أحد المعلمات الزاوية الأربعة ( الشذوذات ) التي تحدد موضعًا على طول المدار، أما المعلمات الثلاث الأخرى فهي الشذوذ اللامركزي ، والشذوذ الحقيقي، والشذوذ المتوسط .

في الهندسة الإسقاطية، يتم التعامل مع الدوائر والقطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد على أنها نفس النوع من المنحنيات التربيعية.

المعلمات الإسقاطية والشذوذ الإسقاطي

يتم تصنيف نوع المدار بواسطة معيارين للمشروعα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }على النحو التالي،

  • مدار دائريβ=0{\displaystyle \beta =0}
  • مدار إهليلجيαβ<1{\displaystyle \alpha \beta <1}
  • مدار مكافئαβ=1{\displaystyle \alpha \beta =1}
  • مدار زائديαβ>1{\displaystyle \alpha \beta >1}
  • مدار خطيα=β{\displaystyle \alpha =\beta }
  • مدار وهميα<β{\displaystyle \alpha <\beta }

أين

α=(1+هـ)(q-ص)+(1+هـ)2(q+ص)2+4هـ22{\displaystyle \alpha ={\frac {(1+e)(q-p)+{\sqrt {(1+e)^{2}(q+p)^{2}+4e^{2}}}}{2}}}

β=2هـ(1+هـ)(q+ص)+(1+هـ)2(q+ص)2+4هـ2{\displaystyle \beta ={\frac {2e}{(1+e)(q+p)+{\sqrt {(1+e)^{2}(q+p)^{2}+4e^{2}}}}}}

q=(1-هـ)أ{\displaystyle q=(1-e)a}

ص=1سؤال=1(1+هـ)أ{\displaystyle p={\frac {1}{Q}}={\frac {1}{(1+e)a}}}

أينα{\displaystyle \alpha }هو المحور شبه الرئيسي ،هـ{\displaystyle e}هو الغرابة ،q{\displaystyle q}هي مسافة الحضيض ، وسؤال{\displaystyle Q}هي مسافة الأوج .

موقع الكوكب والمسافة المركزية الشمسيةx{\displaystyle x}،y{\displaystyle y}ور{\displaystyle r}يمكن حسابها كدوال للشذوذ الإسقاطيθ{\displaystyle \theta } :

x=-β+αكوس⁡θ1+αβكوس⁡θ{\displaystyle x={\frac {-\beta +\alpha \cos \theta }{1+\alpha \beta \cos \theta }}}

y=α2-β2الخطيئة⁡θ1+αβكوس⁡θ{\displaystyle y={\frac {{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}\sin \theta }{1+\alpha \beta \cos \theta }}}

ر=α-βكوس⁡θ1+αβكوس⁡θ{\displaystyle r={\frac {\alpha -\beta \cos \theta }{1+\alpha \beta \cos \theta }}}

معادلة كبلر

الشذوذ الإسقاطيθ{\displaystyle \theta }يمكن حسابها من الشذوذ اللامركزيu{\displaystyle u}على النحو التالي،

  • قضية  :αβ<1{\displaystyle \alpha \beta <1}

لون برونزي⁡θ2=1+αβ1-αβلون برونزي⁡u2{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+\alpha \beta }{1-\alpha \beta }}}\tan {\frac {u}{2}}}

u-هـالخطيئة⁡u=م=(1-α2β2α(1+β2))3/2ك(ت-تي0){\displaystyle u-e\sin u=M=\left({\frac {1-\alpha ^{2}\beta ^{2}}{\alpha (1+\beta ^{2})}}\right)^{3/2}k(t-T_{0})}

  • قضية  :αβ=1{\displaystyle \alpha \beta =1}

s33+α2-1α2+1s=2ك(ت-تي0)α(α2+1)3{\displaystyle {\frac {s^{3}}{3}}+{\frac {\alpha ^{2}-1}{\alpha ^{2}+1}}s={\frac {2k(t-T_{0})}{\sqrt {\alpha (\alpha ^{2}+1)^{3}}}}}

s=لون برونزي⁡θ2{\displaystyle s=\tan {\frac {\theta }{2}}}

  • قضية  :αβ>1{\displaystyle \alpha \beta >1}

لون برونزي⁡θ2=αβ+1αβ-1tanh⁡u2{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {\alpha \beta +1}{\alpha \beta -1}}}\tanh {\frac {u}{2}}}

هـسينه⁡u-u=م=(α2β2-1α(1+β2))3/2ك(ت-تي0){\displaystyle e\sinh u-u=M=\left({\frac {\alpha ^{2}\beta ^{2}-1}{\alpha (1+\beta ^{2})}}\right)^{3/2}k(t-T_{0})}

تُسمى المعادلات المذكورة أعلاه معادلة كبلر .

شذوذ معمّم

لثابت اختياريλ{\displaystyle \lambda }الشذوذ المعممΘ{\displaystyle \Theta }يرتبط بـ

لون برونزي⁡Θ2=λلون برونزي⁡u2{\displaystyle \tan {\frac {\Theta }{2}}=\lambda \tan {\frac {u}{2}}}

الشذوذ اللامركزي، والشذوذ الحقيقي، والشذوذ الإسقاطي هي حالات منλ=1{\displaystyle \lambda =1}،λ=1+هـ1-هـ{\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}}،λ=1+αβ1-αβ{\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {1+\alpha \beta }{1-\alpha \beta }}}}، على التوالى.

  • ساتو، آي.، "شذوذ جديد في الحركة الكبلرية"، المجلة الفلكية المجلد 116، الصفحات  2038-3039، (1997)

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أساسيات الديناميكا الفلكية وتطبيقاتها، بقلم ديفيد أ. فالادو
  2. ↑ بروك، ر.؛ سيفولا، ب. (1973). "ملاحظة حول العلاقات بين الشذوذات الحقيقية واللامركزية في مسألة الجسمين" . الميكانيكا السماوية . 7 (3): 388-389 . Bibcode : 1973CeMec...7..388B . doi : 10.1007/BF01227859 . ISSN 0008-8714 . S2CID 122878026 .  
  3. 1 2 باتين، ر. هـ. (1999). مقدمة في رياضيات وأساليب ديناميكا الفضاء . سلسلة AIAA التعليمية. المعهد الأمريكي للملاحة الجوية والفضائية. ص 212 (المعادلة (5.32)). ISBN  978-1-60086-026-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 2022-08-02 .
  4. ↑ سمارت، دبليو إم (1977). كتاب في علم الفلك الكروي (ملف PDF) . ص 120 (المعادلة (87)). رمز Bibcode : 1977tsa..book.....S . 
  5. ↑ روي، أ. إي. (2005). الحركة المدارية ( الطبعة الرابعة). بريستول، المملكة المتحدة؛ فيلادلفيا، بنسلفانيا: معهد الفيزياء (IoP). ص 78 (المعادلة (4.65)). رمز Bibcode : 2005ormo.book.....R . ISBN   0750310154أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 15 مايو 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أغسطس 2020 .

للمزيد من القراءة

  • موراي، سي دي وديرموت، إس إف، 1999، ديناميكيات النظام الشمسي ، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج. رقم ISBN 0-521-57597-4
  • بلامر، إتش سي، 1960، رسالة تمهيدية في علم الفلك الديناميكي ، منشورات دوفر، نيويورك. OCLC 1311887 (إعادة طبع طبعة مطبعة جامعة كامبريدج لعام 1918).