مدار دائري

تعتمد هذه المقالة بشكل كبير أو كليًا على مصدر واحد . يمكن العثور على المناقشة ذات الصلة على صفحة المناقشة . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم الاستشهادات بالمصادر الإضافية . ابحث عن المصادر:  "Circular Orbit" – الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( أبريل 2020 )

جزء من سلسلة عن
ديناميكا الفضاء
ميكانيكا المدارات
العناصر المدارية أبسيس حجة الحضيض غرابة الميل متوسط ​​الشذوذ العقد المدارية المحور شبه الرئيسي شذوذ حقيقي
أنواع مدارات الجسمين حسب الانحراف مدار دائري مدار إهليلجي مدار النقل ( مدار نقل هوهمان مدار نقل ثنائي الإهليلجي مدار مكافئ مدار زائدي مدار شعاعي مدار متدهور
المعادلات الاحتكاك الديناميكي سرعة الهروب معادلة كيبلر قوانين كيبلر لحركة الكواكب الفترة المدارية السرعة المدارية الجاذبية السطحية الطاقة المدارية النوعية معادلة فيس-فيفا
ميكانيكا سماوية
التأثيرات الجاذبية مركز الثقل كرة التل الاضطرابات مجال النفوذ
مدارات الجسم N نقاط لاغرانج ( مدارات الهالة ) مدارات ليساجوس مدارات ليابونوف
الهندسة والكفاءة
هندسة ما قبل الطيران نسبة الكتلة جزء الحمولة نسبة كتلة الدافع معادلة صاروخ تسيولكوفسكي
تدابير الكفاءة مساعدة الجاذبية تأثير أوبيرث
المناورات الدفعية المناورة المدارية إدخال المدار
ف ت هـ

المدار الدائري هو مدار ذو مسافة ثابتة حول مركز الثقل ؛ أي على شكل دائرة . وفي هذه الحالة، لا تكون المسافة فقط ثابتة، بل وأيضًا السرعة والسرعة الزاوية والطاقة الكامنة والطاقة الحركية . ولا يوجد نقطة حضيض أو نقطة أوج. ولا يوجد لهذا المدار نسخة شعاعية .

يوجد أدناه مدار دائري في ديناميكا الأجرام السماوية أو الميكانيكا السماوية وفقًا لافتراضات قياسية. هنا تكون القوة المركزية هي قوة الجاذبية ، والمحور المذكور أعلاه هو الخط الذي يمر عبر مركز الكتلة المركزية العمودي على المستوى المداري .

يتسبب التسارع العرضي ( العمودي على السرعة) في حدوث تغيير في الاتجاه. إذا كان ثابتًا في المقدار ويتغير في الاتجاه مع السرعة، فإن الحركة الدائرية تحدث. بأخذ مشتقتين لإحداثيات الجسيم فيما يتعلق بالزمن، نحصل على التسارع المركزي

${\displaystyle a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\أوميغا ^{2}}{r}}$

أين:

• ${\displaystyle v\,}$هي السرعة المدارية للجسم المداري،
• ${\displaystyle r\,}$هو نصف قطر الدائرة
• ${\displaystyle \omega \ }$هي السرعة الزاوية ، تقاس بالراديان لكل وحدة زمنية.

الصيغة بلا أبعاد ، وتصف نسبة صحيحة لجميع وحدات القياس المطبقة بشكل موحد عبر الصيغة. إذا تم قياس القيمة العددية بالأمتار في الثانية المربعة، فستكون القيم العددية بالأمتار في الثانية، وبالأمتار، وبالراديان في الثانية. ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle v\,}$${\displaystyle r\,}$${\displaystyle \omega \ }$

السرعة (أو مقدار السرعة) بالنسبة للجسم المركزي ثابتة: ^{[1] : 30}

${\displaystyle v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}}}$

أين:

• ${\displaystyle G}$، هو ثابت الجاذبية
• ${\displaystyle M}$، هي كتلة كلا الجسمين المداريين ، على الرغم من أنه في الممارسة الشائعة، إذا كانت الكتلة الأكبر أكبر بكثير، فغالبًا ما يتم إهمال الكتلة الأصغر، مع حدوث تغيير ضئيل في النتيجة.${\displaystyle (M_{1}+M_{2})}$
• ${\displaystyle \mu =GM}$، هي معامل الجاذبية القياسي .

معادلة المدار في الإحداثيات القطبية، والتي تعطي بشكل عام r من حيث θ ، يمكن اختصارها إلى: ^{[ يحتاج إلى توضيح ] [ يحتاج إلى مصدر ]}

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}}$

أين:

• ${\displaystyle h=rv}$هو الزخم الزاوي النوعي للجسم المداري.

هذا بسبب${\displaystyle \mu =rv^{2}}$

${\displaystyle \أوميغا ^{2}r^{3}=\mu }$

ومن ثم يمكن حساب الفترة المدارية ( ) على النحو التالي: ^{[1] : 28}${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$

مقارنة بين كميتين متناسبتين، زمن السقوط الحر (الزمن اللازم للسقوط إلى كتلة نقطية من السكون)

${\displaystyle T_{\text{ff}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$(17.7% من الفترة المدارية في مدار دائري)

والوقت اللازم للسقوط إلى كتلة نقطة في مدار شعاعي مكافئ

${\displaystyle T_{\text{par}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$(7.5% من الفترة المدارية في مدار دائري)

إن حقيقة أن الصيغ تختلف فقط بعامل ثابت أمر واضح مسبقًا من التحليل البعدي . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

الطاقة المدارية النوعية ( ) سالبة، و ${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle \epsilon =-{v^{2} \over {2}}}$

${\displaystyle \epsilon =-{\mu \over {2r}}}$

وبالتالي فإن نظرية فيريال ^{[1] : 72} تنطبق حتى بدون أخذ متوسط ​​الوقت: ^{[ بحاجة لمصدر ]}

• الطاقة الحركية للنظام تساوي القيمة المطلقة للطاقة الكلية
• الطاقة الكامنة للنظام تساوي ضعف الطاقة الكلية

سرعة الهروب من أي مسافة هي √ 2 مرات السرعة في مدار دائري عند تلك المسافة: الطاقة الحركية هي ضعف ذلك، وبالتالي فإن الطاقة الكلية تساوي صفرًا. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

تتطلب المناورة في مدار دائري كبير، مثل المدار الجغرافي الثابت ، دلتا أكبر من مدار الهروب ، على الرغم من أن الأخير يعني الابتعاد بشكل تعسفي والحصول على طاقة أكبر من اللازم للسرعة المدارية للمدار الدائري. إنها أيضًا مسألة مناورة في المدار. انظر أيضًا مدار نقل هوهمان .

في مقياس شوارزشيلد ، يتم إعطاء السرعة المدارية لمدار دائري بنصف قطر بالصيغة التالية: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

أين نصف قطر شوارزشيلد للجسم المركزي؟ ${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

من أجل الراحة، سيتم كتابة الاشتقاق بالوحدات التي . ${\displaystyle \scriptstyle c=G=1}$

يتم تحديد السرعة الرباعية لجسم على مدار دائري بواسطة:

${\displaystyle u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})}$

( ثابت على مدار دائري، ويمكن اختيار الإحداثيات بحيث ). تشير النقطة الموجودة فوق المتغير إلى الاشتقاق فيما يتعلق بالوقت المناسب . ${\displaystyle \scriptstyle r}$${\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle \tau }$

بالنسبة لجسيم ضخم، فإن مكونات السرعة الأربع تلبي المعادلة التالية:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1}$

نحن نستخدم المعادلة الجيوديسية:

${\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0}$

المعادلة غير التافهة الوحيدة هي المعادلة لـ . وهي تعطي: ${\displaystyle \scriptstyle \mu =r}$

${\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0}$

ومن هذا نحصل على:

${\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}}$

وباستبدال ذلك في معادلة الجسيم الضخم نحصل على:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1}$

لذلك:

${\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}}$

افترض أن لدينا مراقبًا عند نصف القطر ، وهو لا يتحرك بالنسبة للجسم المركزي، أي أن سرعته الرباعية تتناسب مع المتجه . يعني شرط التطبيع أنه يساوي: ${\displaystyle \scriptstyle r}$${\displaystyle \scriptstyle \partial _{t}}$

${\displaystyle v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)}$

إن حاصل الضرب النقطي للسرعات الأربع للمراقب والجسم المداري يساوي عامل جاما للجسم المداري بالنسبة للمراقب، وبالتالي:

${\displaystyle \gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}}$

وهذا يعطي السرعة :

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}}$

أو بوحدات النظام الدولي للوحدات:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

• مدار إهليلجي
• قائمة المدارات
• مشكلة الجسمين