الحركة المتوسطة

ينص قانون كبلر الثالث لحركة الكواكب على أن مربع الزمن الدوري يتناسب طرديًا مع مكعب متوسط ​​المسافة ، ^{[ 4 ]} أو

${\displaystyle {a^{3}}\propto {P^{2}},}$

حيث يمثل a نصف المحور الأكبر أو متوسط ​​المسافة، و P هي الفترة المدارية كما سبق. ويُعطى ثابت التناسب بالعلاقة التالية:

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{P^{2}}}={\frac {\mu }{4\pi ^{2}}},}$

حيث μ هو معامل الجاذبية القياسي ، وهو ثابت لأي نظام جاذبية معين.

إذا تم إعطاء الحركة المتوسطة بوحدات الراديان لكل وحدة زمنية، فيمكننا دمجها في التعريف المذكور أعلاه لقانون كبلر الثالث.

${\displaystyle {\frac {\mu }{4\pi ^{2}}}={\frac {a^{3}}{\left({\frac {2\pi }{n}}\right)^{2}}},}$

وتقليلها،

${\displaystyle \mu =a^{3}n^{2},}$

وهذا تعريف آخر لقانون كبلر الثالث. ^{[ 3 ] [ 5 ]} μ ، ثابت التناسب، ^{[ 6 ] [ ملاحظة 1 ]} هو معامل جاذبية يُحدد بكتل الأجسام المعنية وثابت نيوتن للجاذبية ، G (انظر أدناه). لذلك، يُعرَّف n أيضًا على النحو التالي ^{[ 7 ]}

${\displaystyle n^{2}={\frac {\mu }{a^{3}}},\quad {\text{or}}\quad n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}.}$

توسيع الحركة المتوسطة عن طريق توسيع μ ،

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}},}$

حيث M هي عادةً كتلة الجسم الرئيسي للنظام و m هي كتلة جسم أصغر.

هذا هو التعريف الجاذبي الكامل للحركة المتوسطة في نظام ثنائي الأجسام . غالبًا في علم الميكانيكا السماوية ، يكون الجسم الأساسي أكبر بكثير من أي من الأجسام الثانوية في النظام، أي${\displaystyle M\gg m}$في ظل هذه الظروف يصبح m غير مهم ويكون قانون كبلر الثالث ثابتًا تقريبًا لجميع الأجسام الأصغر.

ينص قانون كبلر الثاني لحركة الكواكب على أن الخط الواصل بين الكوكب والشمس يمسح مساحات متساوية في أوقات متساوية ، ^{[ 6 ]} أو بدلاً من ذلك، باستخدام تدوين لايبنتز ،

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\text{constant}}}$

بالنسبة لمدار ثنائي الجسم، حيث${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}}$هو معدل التغير الزمني للمساحة التي تم مسحها.

تأجير${\displaystyle t=P}$، الفترة المدارية، المساحة الممسوحة هي المساحة الكاملة للقطع الناقص ،${\displaystyle \mathrm {d} A=\pi ab}$حيث يمثل a نصف المحور الأكبر و b نصف المحور الأصغر للقطع الناقص. ^{[ 8 ]} ومن ثم،

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {\pi ab}{P}}.}$

بضرب هذه المعادلة في 2،

${\displaystyle 2\left({\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}\right)=2\left({\frac {\pi ab}{P}}\right).}$

انطلاقاً من التعريف أعلاه، الحركة المتوسطة${\displaystyle n={\frac {2\pi }{P}}}$. استبدال،

${\displaystyle 2{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=nab,}$

والحركة المتوسطة هي أيضًا

${\displaystyle n={\frac {2}{ab}}{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}},}$

وهو ثابت بحد ذاته بالنسبة لـ a و b و${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}}$جميعها ثابتة في حركة الجسمين.

بسبب طبيعة حركة الجسمين في مجال جاذبية محافظ ، فإن جانبين من الحركة لا يتغيران: الزخم الزاوي والطاقة الميكانيكية .

يمكن تعريف الثابت الأول، والذي يسمى الزخم الزاوي المحدد ، على النحو التالي ^{[ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle h=2{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}},}$

وبالتعويض في المعادلة أعلاه، تكون الحركة المتوسطة أيضًا

${\displaystyle n={\frac {h}{ab}}.}$

أما الثابت الثاني، والذي يسمى الطاقة الميكانيكية النوعية ، فيمكن تعريفه، ^{[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle \xi =-{\frac {\mu }{2a}}.}$

إعادة الترتيب والقسمة على${\displaystyle a^{2}}$،

${\displaystyle {\frac {-2\xi }{a^{2}}}={\frac {\mu }{a^{3}}}.}$

من الأعلى، مربع الحركة المتوسطة${\displaystyle n^{2}={\frac {\mu }{a^{3}}}}$وباستخدام التعويض وإعادة الترتيب، يمكن التعبير عن الحركة المتوسطة أيضًا،

${\displaystyle n={\frac {1}{a}}{\sqrt {-2\xi }},}$

حيث يشير الرقم −2 إلى أنه يجب تعريف ξ على أنه عدد سالب، كما هو معتاد بالنسبة للمدارات الإهليلجية في الميكانيكا السماوية والديناميكا الفلكية .

يُستخدم ثابتان للجاذبية بشكل شائع في علم الميكانيكا السماوية للنظام الشمسي : G ، وهو ثابت نيوتن للجاذبية ، و k ، وهو ثابت غاوس للجاذبية . من التعريفات السابقة، فإن الحركة المتوسطة هي

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}\,\!.}$

من خلال تطبيع أجزاء من هذه المعادلة ووضع بعض الافتراضات، يمكن تبسيطها، مما يكشف العلاقة بين الحركة المتوسطة والثوابت.

فعلى سبيل المثال، إذا افترضنا أن كتلة الشمس تساوي واحدًا ( M  =  1)، فإن كتل الكواكب ستكون جميعها أصغر بكثير (${\displaystyle m\ll M}$لذلك، بالنسبة لأي كوكب معين،

${\displaystyle n\approx {\sqrt {\frac {G}{a^{3}}}},}$

وكذلك اعتبار المحور شبه الرئيسي وحدة فلكية واحدة ،

${\displaystyle n_{1\;{\text{AU}}}\approx {\sqrt {G}}.}$

ثابت الجاذبية الغاوسي${\displaystyle k={\sqrt {G}}}$[ ^{12 ] [ 13 ] [ ملاحظة 2 ]} لذلك، في ظل نفس الشروط المذكورة أعلاه، بالنسبة لأي كوكب معين ^،

${\displaystyle n\approx {\frac {k}{\sqrt {a^{3}}}},}$

ومرة أخرى، مع اعتبار المحور شبه الرئيسي وحدة فلكية واحدة،

${\displaystyle n_{1{\text{ AU}}}\approx k.}$

تمثل الحركة المتوسطة أيضًا معدل تغير الشذوذ المتوسط ، وبالتالي يمكن حسابها أيضًا، ^{[ 14 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {M_{1}-M_{0}}{t_{1}-t_{0}}}={\frac {M_{1}-M_{0}}{\Delta t}},\\M_{1}&=M_{0}+n\times (t_{1}-t_{0})=M_{0}+n\times \Delta t\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle M_{1}}$و${\displaystyle M_{0}}$هي متوسطات الشذوذ عند نقاط زمنية محددة، و${\displaystyle \Delta t(\equiv t_{1}-t_{0})}$هو الوقت المنقضي بين الاثنين.${\displaystyle M_{0}}$ويُشار إليه باسم الشذوذ المتوسط ​​عند الحقبة${\displaystyle t_{0}}$، و${\displaystyle \Delta t}$هو الوقت منذ بداية الحقبة .