المسار الشعاعي

في علم الديناميكا الفلكية وعلم الميكانيكا السماوية ، يُعرف المسار الشعاعي بأنه مدار كبلر ذو زخم زاوي صفري . يتحرك جسمان في مسار شعاعي باتجاه بعضهما البعض أو بعيدًا عن بعضهما البعض في خط مستقيم.

تصنيف

توجد ثلاثة أنواع من المسارات الشعاعية (المدارات). ^{[ 1 ]}

المسار الإهليلجي الشعاعي : مدار يُمثل جزءًا من قطع ناقص مُنحل، بدءًا من لحظة تلامس الجسمين وابتعادهما عن بعضهما حتى لحظة تلامسهما مجددًا. السرعة النسبية للجسمين أقل من سرعة الإفلات . هذا مدار إهليلجي بنصف محور أصغر يساوي صفرًا وانحراف مركزي يساوي واحدًا. على الرغم من أن الانحراف المركزي يساوي واحدًا، إلا أنه ليس مدارًا مكافئًا. إذا كان معامل الارتداد للجسمين يساوي واحدًا (مرونة تامة)، يكون هذا المدار دوريًا. أما إذا كان معامل الارتداد أقل من واحد (عدم مرونة)، فيكون هذا المدار غير دوري.
المسار المكافئ الشعاعي هو مدار غير دوري تكون فيه السرعة النسبية للجسمين مساوية دائمًا لسرعة الإفلات. وهناك حالتان: إما أن يتحرك الجسمان مبتعدين عن بعضهما أو متقاربين.
المسار الزائدي الشعاعي : مدار غير دوري تتجاوز فيه السرعة النسبية للجسمين دائمًا سرعة الإفلات. يوجد حالتان: إما أن يتحرك الجسمان مبتعدين عن بعضهما أو متقاربين. هذا مدار زائدي بنصف محور أصغر يساوي صفرًا وانحراف مركزي يساوي واحدًا. مع أن الانحراف المركزي يساوي واحدًا، إلا أنه ليس مدارًا مكافئًا.

بخلاف المدارات القياسية التي يتم تصنيفها حسب انحرافها المداري ، يتم تصنيف المدارات الشعاعية حسب طاقتها المدارية النوعية ، وهي مجموع ثابت للطاقة الحركية والكامنة الكلية، مقسومًا على الكتلة المختزلة : $\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{x}}$ حيث $x$ هي المسافة بين مركزي الكتلتين، و $v$ هي السرعة النسبية، و $\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$ هو المعامل القياسي للجاذبية .

ثابت آخر يُعطى بالصيغة التالية: $w={\frac {1}{x}}-{\frac {v^{2}}{2\mu }}={\frac {-\varepsilon }{\mu }}$

بالنسبة للمسارات الإهليلجية، تكون قيمة w موجبة. وهي مقلوب مسافة الأوج (أقصى مسافة).
بالنسبة للمسارات المكافئة، تكون قيمة w صفرًا.
بالنسبة للمسارات الزائدية، تكون قيمة w سالبة، وهي $\textstyle {\frac {-v_{\infty }^{2}}{2\mu }}$ أين $\textstyle v_{\infty }$ هي السرعة عند مسافة لا نهائية.

الزمن كدالة للمسافة

بمعرفة المسافة والسرعة في أي وقت، والكتلة الكلية، فمن الممكن تحديد الموضع في أي وقت آخر.

الخطوة الأولى هي تحديد الثابت $w$ . استخدم إشارة $w$ لتحديد نوع المدار. $w={\frac {1}{x_{0}}} - {\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}$ أين ${\textstyle x_{0}}$ و ${\textstyle v_{0}}$ يمثلان المسافة الفاصلة والسرعة النسبية في أي وقت.

مسار مكافئ

$t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}}$ حيث $t$ هو الوقت من أو حتى الوقت الذي ستتطابق فيه الكتلتان، إذا كانتا كتلتين نقطيتين، و $x$ هو المسافة الفاصلة.

تنطبق هذه المعادلة فقط على المسارات المكافئة الشعاعية، أما بالنسبة للمسارات المكافئة العامة، فانظر معادلة باركر .

المسار الإهليلجي

$t(x,w)={\frac {\arcsin \left({\sqrt {w\,x}}\right)-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,w^{3}}}}$ حيث $t$ هو الوقت من أو حتى الوقت الذي ستتطابق فيه الكتلتان، إذا كانتا كتلتين نقطيتين، و $x$ هو المسافة الفاصلة.

هذه هي معادلة كبلر الشعاعية . ^{[ 2 ]}

مسار زائدي

$t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln \left({\sqrt {|w|x}}+{\sqrt {1+|w|x}}\right)}{\sqrt {2\mu \,|w|^{3}}}}$ حيث t هو الوقت من أو حتى الوقت الذي ستتطابق فيه الكتلتان، إذا كانتا كتلتين نقطيتين، و x هو المسافة الفاصلة.

الشكل العالمي (أي مسار)

يمكن جعل معادلة كبلر الشعاعية "عامة" (قابلة للتطبيق على جميع المسارات): $t(x,w)=\lim _{u\to w}{\frac {\arcsin \left({\sqrt {u\,x}}\right)-{\sqrt {u\,x\ (1-u\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,u^{3}}}}$ أو عن طريق التوسع في متسلسلة قوى: $t(x,w) = 1/√2μ (2/3 x^(3/2) + 1/5 wx^(5/2) + 3/28 w^(2) x^(7/2) + 5/72 w^(3) x^(9/2) + 35/704 w^(4) x^(11/2) ...) |-1<w·x<1$

مسألة كبلر الشعاعية (المسافة كدالة للزمن)

تُعرف مسألة إيجاد المسافة الفاصلة بين جسمين في لحظة زمنية معينة، بمعلومية المسافة الفاصلة بينهما وسرعتهما في لحظة زمنية أخرى، بمسألة كبلر . ويتناول هذا القسم حل مسألة كبلر للمدارات الشعاعية.

الخطوة الأولى هي تحديد الثابت ${\textstyle w}$ استخدم علامة ${\textstyle w}$ لتحديد نوع المدار. $w={\frac {1}{x_{0}}} - {\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}$ أين ${\textstyle x_{0}}$ و ${\textstyle v_{0}}$ يمثلان المسافة والسرعة في أي وقت.

مسار مكافئ

$x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}$

الشكل العالمي (أي مسار)

يتم استخدام كميتين وسيطتين: $w$ ، والمسافة الفاصلة في الوقت $t$ التي ستكون بين الأجسام إذا كانت على مسار مكافئ، $p$ . $w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}\quad {\text{and}}\quad p=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{1/3}$

حيث يمثل $t$ الوقت، $x_{0}$ هو الوضع الابتدائي، $v_{0}$ هي السرعة الابتدائية، و $\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$ .

معادلة كبلر الشعاعية العكسية هي حل لمسألة كبلر الشعاعية: $x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{r\to 0}\left[{\frac {w^{n-1}p^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} r^{n-1}}}\left(r^{n}\left[{\frac {3}{2}}\left(\arcsin \left[{\sqrt {r}}\right]-{\sqrt {rr^{2}}}\right)\right]^{-{\frac {2}{3}}n}\right)\right]\right)$

ويؤدي تقييم هذا إلى: $x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23}{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w^{5}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots$

يمكن اشتقاق متسلسلات القوى بسهولة حدًا حدًا. ويؤدي الاشتقاق المتكرر إلى الحصول على صيغ السرعة والتسارع والارتجاج والانعطاف المفاجئ، وما إلى ذلك.

مدار داخل عمود شعاعي

يكون المدار داخل عمود شعاعي في جسم كروي منتظم ^{[ 3 ]} حركة توافقية بسيطة ، لأن الجاذبية داخل هذا الجسم تتناسب طرديًا مع المسافة إلى المركز. إذا دخل الجسم الصغير الجسم الكبير أو خرج منه عند سطحه، يتغير المدار من أو إلى أحد المدارات المذكورة سابقًا. على سبيل المثال، إذا امتد العمود من سطح إلى آخر، فمن الممكن تكوين مدار مغلق يتألف من أجزاء من دورتين من الحركة التوافقية البسيطة وأجزاء من مدارين إهليلجيين شعاعيين مختلفين (لكنهما متناظران).

انظر أيضاً

مراجع

كويل، بيتر (1993)، حل معادلة كبلر على مدى ثلاثة قرون، ويليام بيل.

↑ تومسون، ويليام تيريل؛ مقدمة في ديناميكيات الفضاء ، دوفر، 1986
↑ براون، كيفن؛ صفحات الرياضيات
↑ هذا تناقضٌ من الناحية النظرية. ومع ذلك، يُفترض أن للعمود تأثيراً ضئيلاً على الجاذبية.

روابط خارجية

معادلة كبلر في موقع ماث وورلد

[1] تومسون، ويليام تيريل؛ مقدمة في ديناميكيات الفضاء ، دوفر، 1986

[2] براون، كيفن؛ صفحات الرياضيات

[3] هذا تناقضٌ من الناحية النظرية. ومع ذلك، يُفترض أن للعمود تأثيراً ضئيلاً على الجاذبية.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	20 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗