مدار إهليلجي

في علم الديناميكا الفلكية أو الميكانيكا السماوية ، يُعرف المدار الإهليلجي أو المدار اللامركزي بأنه مدار ذو انحراف مركزي أقل من 1؛ ويشمل ذلك الحالة الخاصة للمدار الدائري ، حيث يساوي الانحراف المركزي صفرًا. تُوصف بعض المدارات ذات الانحراف المركزي العالي بأنها "مُستطيلة"، لكن هذا الوصف ليس دقيقًا. في مسألة الجسمين البسيطة، تكون جميع المدارات إهليلجية.

في مسألة الجاذبية بين جسمين ، يتبع كلا الجسمين مدارات إهليلجية متشابهة بنفس الفترة المدارية حول مركز ثقلهما المشترك . كما يتبع الموضع النسبي لأحد الجسمين بالنسبة للآخر مدارًا إهليلجيًا.

في النظام الشمسي، تضمن الكتلة المهيمنة للشمس أن تتبع الكواكب مدارات إهليلجية شبه دائرية (قيمة e قريبة من الصفر) مع وجود الشمس في البؤرة الرئيسية، بينما تتخذ المذنبات مثل هالي مدارات شديدة الانحراف أو مستطيلة (قيمة e قريبة من الواحد). ومن أمثلة المدارات الإهليلجية أو مسارات الأقمار الصناعية مدارات هوهمان الانتقالية ، ومدارات مولنيا ، ومدارات التندرا .

في ظل الافتراضات القياسية، لا توجد قوى أخرى مؤثرة باستثناء جسمين متناظرين كرويًا${\displaystyle (m_{1})}$و${\displaystyle (m_{2})}$، ^{[ 1 ]} السرعة المدارية (${\displaystyle v\,}$يمكن حساب ) لجسم واحد يتحرك على طول مدار بيضاوي من معادلة vis-viva على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

أين:

• ${\displaystyle \mu \,}$هو معامل الجاذبية القياسي ،${\displaystyle G(m_{1}+m_{2})}$، وغالبًا ما يتم التعبير عنها على النحو التالي${\displaystyle GM}$عندما يكون أحد الجسمين أكبر بكثير من الآخر.
• ${\displaystyle r\,}$هي المسافة بين مركزي كتلة الجسمين.
• ${\displaystyle a\,\!}$هو طول المحور شبه الرئيسي .

معادلة السرعة لمسار زائدي إما${\displaystyle (+{1 \over {a}})}$أو أن الأمر نفسه ينطبق على الاتفاقية التي تنص على أنه في تلك الحالة${\displaystyle (a)}$سلبي.

في ظل الافتراضات القياسية، تكون الفترة المدارية (${\displaystyle T\,\!}$يمكن حساب ) لجسم يتحرك على طول مدار إهليلجي على النحو التالي: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

أين:

• ${\displaystyle \mu }$هو المعامل القياسي للجاذبية .
• ${\displaystyle a\,\!}$هو طول المحور شبه الرئيسي .

الاستنتاجات:

• الفترة المدارية تساوي الفترة المدارية لمدار دائري نصف قطره يساوي نصف المحور الأكبر (${\displaystyle a\,\!}$)
• بالنسبة لمحور شبه رئيسي معين، فإن الفترة المدارية لا تعتمد على اللامركزية (انظر أيضًا: قانون كبلر الثالث ).

في ظل الافتراضات القياسية، فإن طاقة المدار النوعية (${\displaystyle \epsilon }$) لمدار إهليلجي سالب ويمكن أن تأخذ معادلة حفظ الطاقة المدارية ( معادلة فيس-فيفا ) لهذا المدار الشكل التالي: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

أين:

• ${\displaystyle v\,}$هي السرعة المدارية للجسم الذي يدور في المدار،
• ${\displaystyle r\,}$هي المسافة بين الجسم المداري والجسم المركزي ،
• ${\displaystyle a\,}$هو طول المحور شبه الرئيسي ،
• ${\displaystyle \mu \,}$هو المعامل القياسي للجاذبية .

الاستنتاجات:

• بالنسبة لمحور شبه رئيسي معين، تكون طاقة المدار المحددة مستقلة عن اللامركزية.

باستخدام نظرية فيريال لإيجاد:

• متوسط ​​الطاقة الكامنة النوعية مع الزمن يساوي −2ε
  • المتوسط ​​الزمني لـ r ⁻¹ هو a ⁻¹
• متوسط ​​الطاقة الحركية النوعية مع الزمن يساوي ε

زاوية مسار الطيران هي الزاوية بين متجه سرعة الجسم المداري (المساوي للمتجه المماس للمدار اللحظي) والمستوى الأفقي المحلي. وبافتراضات قياسية لحفظ الزخم الزاوي، فإن زاوية مسار الطيران${\displaystyle \phi }$يحقق المعادلة: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle h\,=r\,v\,\cos \phi }$

أين:

• ${\displaystyle h\,}$يمثل الزخم الزاوي النسبي المحدد للمدار،
• ${\displaystyle v\,}$هي السرعة المدارية للجسم الذي يدور في المدار،
• ${\displaystyle r\,}$هي المسافة الشعاعية للجسم المداري من الجسم المركزي ،
• ${\displaystyle \phi \,}$زاوية مسار الطيران

${\displaystyle \psi }$هي الزاوية بين متجه السرعة المدارية والمحور شبه الرئيسي.${\displaystyle \nu }$هي الشذوذ الحقيقي المحلي .${\displaystyle \phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi }$، لذلك،

${\displaystyle \cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}$

أين${\displaystyle e}$إنها الغرابة.

يرتبط الزخم الزاوي بالضرب الاتجاهي للموضع والسرعة، وهو يتناسب مع جيب الزاوية بين هذين المتجهين.${\displaystyle \phi }$يتم تعريفها على أنها الزاوية التي تختلف بمقدار 90 درجة عن هذه الزاوية، لذلك يظهر جيب التمام بدلاً من الجيب.

تُحدد حالة جسم يدور في مداره في أي لحظة معينة بموقعه وسرعته بالنسبة للجسم المركزي، ويمكن تمثيل ذلك بالإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد (موقع الجسم المداري ممثل بـ x و y و z) ومركبات السرعة الديكارتية المماثلة. تُسمى هذه المجموعة من المتغيرات الستة، بالإضافة إلى الزمن، متجهات الحالة المدارية . وبمعرفة كتل الجسمين، تُحدد هذه المتجهات المدار الكامل. الحالتان الأكثر عمومية مع درجات الحرية الست هما المدار الإهليلجي والمدار الزائدي. أما الحالتان الخاصتان بدرجات حرية أقل فهما المدار الدائري والمدار المكافئ.

بما أن ستة متغيرات على الأقل ضرورية لتمثيل مدار إهليلجي تمثيلاً كاملاً بهذه المجموعة من المعاملات، فإن ستة متغيرات مطلوبة لتمثيل أي مدار بأي مجموعة من المعاملات. وهناك مجموعة أخرى من ستة معاملات شائعة الاستخدام تُعرف بالعناصر المدارية .

في النظام الشمسي ، تدور الكواكب والكويكبات ومعظم المذنبات وبعض قطع الحطام الفضائي حول الشمس في مدارات إهليلجية تقريبًا. من الناحية النظرية، يدور كلا الجسمين حول نفس بؤرة الإهليلج، وهي البؤرة الأقرب إلى الجسم الأكبر كتلةً. ولكن عندما يكون أحد الجسمين أكبر كتلةً بشكل ملحوظ، كالشمس بالنسبة للأرض، قد تقع بؤرة الإهليلج داخل الجسم الأكبر، وبالتالي يُقال إن الجسم الأصغر يدور حوله. يوضح الرسم البياني التالي نقطتي الحضيض والأوج للكواكب والكواكب القزمة ومذنب هالي ، مُبينًا تباين انحراف مداراتها الإهليلجية. بالنسبة للمسافات المتشابهة من الشمس، تشير الأعمدة الأعرض إلى انحراف أكبر. لاحظ الانحراف شبه المعدوم للأرض والزهرة مقارنةً بالانحراف الهائل لمذنب هالي وإيريس .

Distances of selected bodies of the Solar System from the Sun. The left and right edges of each bar correspond to the perihelion and aphelion of the body, respectively, hence long bars denote high orbital eccentricity. The radius of the Sun is 0.7 million km, and the radius of Jupiter (the largest planet) is 0.07 million km, both too small to resolve on this image.

A radial trajectory can be a double line segment, which is a degenerate ellipse with semi-minor axis = 0 and eccentricity = 1. Although the eccentricity is 1, this is not a parabolic orbit. Most properties and formulas of elliptic orbits apply. However, the orbit cannot be closed. It is an open orbit corresponding to the part of the degenerate ellipse from the moment the bodies touch each other and move away from each other until they touch each other again. In the case of point masses one full orbit is possible, starting and ending with a singularity. The velocities at the start and end are infinite in opposite directions and the potential energy is equal to minus infinity.

The radial elliptic trajectory is the solution of a two-body problem with at some instant zero speed, as in the case of dropping an object (neglecting air resistance).

The Babylonians were the first to realize that the Sun's motion along the ecliptic was not uniform, though they were unaware of why this was; it is today known that this is due to the Earth moving in an elliptic orbit around the Sun, with the Earth moving faster when it is nearer to the Sun at perihelion and moving slower when it is farther away at aphelion.^[8]

In the 17th century, Johannes Kepler discovered that the orbits along which the planets travel around the Sun are ellipses with the Sun at one focus, and described this in his first law of planetary motion. Later, Isaac Newton explained this as a corollary of his law of universal gravitation.

• Apsis
• Characteristic energy
• Ellipse
• List of orbits
• Orbital eccentricity
• Orbit equation
• Parabolic trajectory

• دي إليسيو، ماوريتسيو م. (2007). "معادلة المدار من الدرجة الأولى". المجلة الأمريكية للفيزياء . 75 (4): 352-355 . Bibcode : 2007AmJPh..75..352D . doi : 10.1119/1.2432126 .
• ديليسيو، ماوريتسيو م.؛ ميرونوف، سيرجي ف. (2009). "القطع الناقص الجاذبي". مجلة الفيزياء الرياضية . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Bibcode : 2009JMP....50a2901M . doi : 10.1063/1.3078419 .
• كورتيس، هوارد د. (2019). ميكانيكا المدارات لطلاب الهندسة (  الطبعة الرابعة). باتروورث-هاينمان . ISBN 978-0-08-102133-0.

• مقارنة بين نقطتي الأوج والحضيض في صور القمر
• مقارنة بين نقطتي الأوج والحضيض في الصور الشمسية
• المركز الكندي لعلم الفلك وتتبع الأقمار الصناعية والبحوث البصرية (CASTOR)