مشكلة القيمة الأولية

تتضمن هذه المقالة قائمة مراجع أو قراءات ذات صلة أو روابط خارجية ، لكن مصادرها تظل غير واضحة لأنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( مايو 2024 ) ( تعرف على كيفية ومتى تزيل هذه الرسالة )

في حساب متعدد المتغيرات ، تعد مشكلة القيمة الأولية ^[a] ( IVP ) معادلة تفاضلية عادية مع شرط أولي يحدد قيمة الدالة المجهولة عند نقطة معينة في المجال . غالبًا ما يرقى نمذجة نظام في الفيزياء أو العلوم الأخرى إلى حل مشكلة القيمة الأولية. في هذا السياق، تكون القيمة الأولية التفاضلية معادلة تحدد كيفية تطور النظام بمرور الوقت مع مراعاة الظروف الأولية للمشكلة.

مشكلة القيمة الأولية هي معادلة تفاضلية

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$ مع حيث تكون مجموعة مفتوحة من ،${\displaystyle f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \أوميغا }$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$

مع نقطة في مجال${\displaystyle f}$

${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \أوميغا،}$

تسمى الحالة الأولية .

الحل لمشكلة القيمة الأولية هو دالة تمثل حلاً للمعادلة التفاضلية وتلبي الشروط ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$

في الأبعاد الأعلى، يتم استبدال المعادلة التفاضلية بعائلة من المعادلات ، ويُنظر إليها على أنها المتجه ، المرتبط عادةً بالموضع في الفضاء. وبشكل عام، يمكن للدالة المجهولة أن تأخذ قيمًا في فضاءات ذات أبعاد لا نهائية، مثل فضاءات باناخ أو فضاءات التوزيعات . ${\displaystyle y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle (y_{1}(t),\dotsc ,y_{n}(t))}$${\displaystyle y}$

يتم توسيع مشاكل القيمة الأولية إلى مستويات أعلى من خلال معالجة المشتقات بنفس الطريقة التي يتم بها التعامل مع الدالة المستقلة، على سبيل المثال . ${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}$

تضمن نظرية بيكارد -ليندلوف حلاً فريدًا لبعض الفواصل التي تحتوي على t ₀ إذا كانت f متصلة على منطقة تحتوي على t ₀ و y ₀ وتلبي شرط ليبشيتز على المتغير y . يتم إثبات هذه النظرية بإعادة صياغة المشكلة كمعادلة تكاملية مكافئة . يمكن اعتبار التكامل عاملًا يربط دالة بأخرى، بحيث يكون الحل نقطة ثابتة للعامل. ثم يتم استدعاء نظرية النقطة الثابتة لباناخ لإظهار وجود نقطة ثابتة فريدة، وهي حل مشكلة القيمة الأولية.

يتضمن أحد البراهين القديمة لنظرية بيكارد-ليندلوف إنشاء سلسلة من الدوال التي تتقارب إلى حل المعادلة التكاملية، وبالتالي حل مشكلة القيمة الأولية. يُطلق على مثل هذا البناء أحيانًا "طريقة بيكارد" أو "طريقة التقريبات المتتالية". هذه النسخة هي في الأساس حالة خاصة من نظرية النقطة الثابتة لباناخ.

توصل هيروشي أوكامورا إلى شرط ضروري وكافٍ لكي يكون حل مشكلة القيمة الأولية فريدًا. ويتعلق هذا الشرط بوجود دالة ليابونوف للنظام.

في بعض المواقف، لا تكون الدالة f من الفئة C ¹ ، أو حتى Lipschitz ، لذا فإن النتيجة المعتادة التي تضمن الوجود المحلي لحل فريد لا تنطبق. ومع ذلك، تثبت نظرية وجود Peano أنه حتى بالنسبة لـ f المستمرة فقط، فإن الحلول مضمونة الوجود محليًا في الوقت؛ المشكلة هي أنه لا يوجد ضمان للتفرد. يمكن العثور على النتيجة في Coddington & Levinson (1955، النظرية 1.3) أو Robinson (2001، النظرية 2.6). وهناك نتيجة أكثر عمومية وهي نظرية وجود Carathéodory ، والتي تثبت الوجود لبعض الدوال غير المستمرة f .

مثال بسيط هو حل و . نحن نحاول إيجاد صيغة تلبي هاتين المعادلتين. ${\displaystyle y'(t)=0.85y(t)}$${\displaystyle y(0)=19}$${\displaystyle y(t)}$

أعد ترتيب المعادلة بحيث تكون على الجانب الأيسر ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {y'(t)}{y(t)}}=0.85}$

الآن قم بتكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى (هذا يقدم ثابتًا غير معروف ). ${\displaystyle t}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \int {\frac {y'(t)}{y(t)}}\,dt=\int 0.85\,dt}$

${\displaystyle \ln |y(t)|=0.85t+B}$

إزالة اللوغاريتم مع الأس على كلا الجانبين

${\displaystyle |y(t)|=e^{B}e^{0.85t}}$

ليكن ثابتًا جديدًا غير معروف، لذا ${\displaystyle C}$${\displaystyle C=\pm e^{B}}$

${\displaystyle y(t)=Ce^{0.85t}}$

الآن نحتاج إلى إيجاد قيمة لـ . استخدم ما هو مذكور في البداية واستبدل 0 بـ و19 بـ${\displaystyle C}$${\displaystyle y(0)=19}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}$

${\displaystyle C=19}$

وهذا يعطي الحل النهائي لـ . ${\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}$

المثال الثاني

الحل

${\displaystyle y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

يمكن العثور عليها لتكون

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,}$

بالفعل،

${\displaystyle {\begin{align}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1) \\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{محاذاة}}}$

المثال الثالث

الحل

${\displaystyle y'=y^{\frac {2}{3}},\qquad y(0)=0}$

${\displaystyle \int {\frac {y'}{y^{\frac {2}{3}}}}\,dt=\int y^{-{\frac {2}{3}}}\,dy=\int 1\,dt}$

${\displaystyle 3(y(t))^{\frac {1}{3}}=t+B}$

بتطبيق الشروط الأولية نحصل على ، ومن ثم الحل: ${\displaystyle B=0}$

${\displaystyle y(t)={\frac {t^{3}}{27}}}$.

ومع ذلك، فإن الدالة التالية هي أيضًا حل لمشكلة القيمة الأولية:

${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{array}{lll}{\frac {(t-t_{1})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t\leq t_{1}\\0&{\text{if}}&t_{1}\leq x\leq t_{2}\\{\frac {(t-t_{2})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t_{2}\leq t\\\end{array}}\right.}$

الدالة قابلة للاشتقاق في كل مكان ومتصلة، مع تلبية معادلة التفاضل وكذلك مشكلة القيمة الأولية. وبالتالي، فإن هذا مثال على مثل هذه المشكلة مع عدد لا نهائي من الحلول.

• مشكلة القيمة الحدية
• ثابت التكامل
• المنحنى التكاملي
• قبة نورتون