مشكلة كوشي

تُعرف مسألة كوشي في الرياضيات بأنها إيجاد حل لمعادلة تفاضلية جزئية تحقق شروطًا معينة مُعطاة على سطح فائق في المجال. ^{[ 1 ]} قد تتضمن مسألة كوشي قيمًا ابتدائية أو حدودية . وقد سُميت نسبةً إلى أوغستين لويس كوشي .

لمعادلة تفاضلية جزئية معرفة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ومشعب أملس${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$من الأبعاد${\displaystyle n}$(${\displaystyle S}$تُسمى هذه المسألة بسطح كوشي ، وتتمثل مسألة كوشي في إيجاد الدوال المجهولة.${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{N}}$المعادلة التفاضلية بالنسبة للمتغيرات المستقلة${\displaystyle t,x_{1},\dots ,x_{n}}$الذي يحقق ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x_{1},\dots ,x_{n},u_{1},\dots ,u_{N},\dots ,{\frac {\partial ^{k}u_{j}}{\partial t^{k_{0}}\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\dots \right)\\&{\text{لـ }}i,j=1,2,\dots ,N;\,k_{0}+k_{1}+\dots +k_{n}=k\leq n_{j};\,k_{0}<n_{j}\end{aligned}}}$$رهناً بالشرط، لقيمة معينة${\displaystyle t=t_{0}}$،

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}=\phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{لـ }}k=0,1,2,\dots ,n_{i}-1}$$

أين${\displaystyle \phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})}$يتم إعطاء الدوال المعرفة على السطح${\displaystyle S}$(وتُعرف مجتمعةً باسم بيانات كوشي للمسألة). المشتقة من الرتبة الصفرية تعني أن الدالة نفسها محددة.

تنص نظرية كوشي -كوفاليفسكايا ، التي سُميت تكريمًا لكوشي وصوفيا كوفاليفسكايا ، على ما يلي: إذا كانت جميع الدوال${\displaystyle F_{i}}$تكون تحليلية في جوار ما من النقطة${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,\phi _{j,k_{0},k_{1},\dots ,k_{n}}^{0},\dots )}$وإذا كانت جميع الوظائف${\displaystyle \phi _{j}^{(ك)}}$تكون تحليلية في جوار ما من النقطة${\displaystyle (x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$إذاً، فإن مسألة كوشي لها حل تحليلي وحيد في جوار ما للنقطة.${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$.

• شرط حدود كوشي
• أفق كوشي

• هيل، إينار (1956)[1954]. بعض جوانب مشكلة كوشي، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات لعام 1954، المجلد الثالث، القسم الثاني (تحليل، خطاب مدعو لمدة نصف ساعة)، ص  109-16.
• سيجيرو ميزوهاتا (溝畑 茂 1965). محاضرات عن مشكلة كوشي. معهد تاتا للبحوث الأساسية.
• سيغيرو ميزوهاتا (1985). حول مسألة كوشي. ملاحظات وتقارير في الرياضيات في العلوم والهندسة. 3. دار النشر الأكاديمية. ISBN 9781483269061
• أرندت، فولفجانج؛ باتي، تشارلز. هيبر، ماتياس. نيوبراندر ، فرانك (2001)، تحويلات لابلاس ذات القيمة المتجهة ومشاكل كوشي، بيركهاوزر.

• مسألة كوشي في عالم الرياضيات .