الحالة الابتدائية

معادلة فرقية خطية مصفوفية من الشكل المتجانس (بدون حد ثابت)${\displaystyle X_{t+1}=AX_{t}}$له حل مغلق${\displaystyle X_{t}=A^{t}X_{0}}$مبني على المتجه${\displaystyle X_{0}}$من الشروط الأولية على المتغيرات الفردية التي يتم تكديسها في المتجه؛${\displaystyle X_{0}}$يُطلق على هذا اسم متجه الشروط الابتدائية أو ببساطة الشرط الابتدائي، ويحتوي على nk معلومة، حيث n هو بُعد المتجه X و k  =  1 هو عدد الفترات الزمنية في النظام. لا تؤثر الشروط الابتدائية في هذا النظام الخطي على الطبيعة النوعية للسلوك المستقبلي لمتغير الحالة X ؛ إذ يكون هذا السلوك مستقرًا أو غير مستقر بناءً على القيم الذاتية للمصفوفة A وليس بناءً على الشروط الابتدائية.

أو بدلاً من ذلك، فإن العملية الديناميكية في متغير واحد x مع فترات تأخير متعددة هي

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{tk}.}$

هنا، البُعد n  =  1 والرتبة k ، لذا فإن العدد اللازم من الشروط الابتدائية لتتبع النظام عبر الزمن، سواءً بالتكرار أو عبر حل مغلق، هو nk  = k . ومرة ​​أخرى، لا تؤثر الشروط الابتدائية على الطبيعة النوعية للتطور طويل الأمد للمتغير. يُوجد حل هذه المعادلة باستخدام معادلتها المميزة. ${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0}$للحصول على حلول k الأخيرة ، وهي القيم المميزة${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},}$للاستخدام في معادلة الحل

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$

الثوابت هنا${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$يتم إيجادها عن طريق حل نظام من k معادلات مختلفة بناءً على هذه المعادلة، كل منها باستخدام واحدة من k قيم مختلفة لـ t والتي تكون عندها الشروط الأولية المحددة${\displaystyle x_{t}}$معروف.

نظام المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى ذو n متغيرًا مكدسة في متجه X هو

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=AX.}$

يمكن تتبع سلوكها عبر الزمن باستخدام حل مغلق يعتمد على متجه الشروط الأولية${\displaystyle X_{0}}$عدد المعلومات الأولية المطلوبة يساوي بُعد النظام (n) مضروبًا في رتبة النظام (k  = 1)، أي n . لا تؤثر الشروط الأولية على السلوك النوعي (مستقر أو غير مستقر) للنظام. 

معادلة خطية واحدة ^{من الرتبة} k في متغير واحد x هي

${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$

هنا، عدد الشروط الابتدائية اللازمة للحصول على حل مغلق هو البعد n  =  1 مضروبًا في الرتبة k ، أو ببساطة k . في هذه الحالة، لن تكون المعلومات الابتدائية k عادةً قيمًا مختلفة للمتغير x عند نقاط زمنية مختلفة، بل ستكون قيم x ومشتقاته الأولى k  –  1، جميعها عند نقطة زمنية ما، مثل الزمن صفر. لا تؤثر الشروط الابتدائية على الطبيعة النوعية لسلوك النظام. المعادلة المميزة لهذه المعادلة الديناميكية هي${\displaystyle \lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,}$والتي تمثل حلولها القيم المميزة${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k};}$تُستخدم هذه في معادلة الحل

${\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+\cdots +c_{k}e^{\lambda _{k}t}.}$

تشكل هذه المعادلة ومشتقاتها الأولى من الرتبة k – 1 نظامًا من k معادلة يمكن حلها لإيجاد قيم المعاملات k${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k},}$بالنظر إلى الشروط الأولية المعروفة على x وقيم مشتقاتها k – 1 في وقت ما t .