جاذب

في مجال الرياضيات الخاص بالأنظمة الديناميكية ، يُعرف الجاذب بأنه مجموعة من الحالات التي يميل النظام إلى التطور نحوها، ^{[ 2 ]} وذلك لمجموعة واسعة من الشروط الابتدائية للنظام. وتبقى قيم النظام التي تقترب بدرجة كافية من قيم الجاذب قريبة منها حتى لو تعرضت لاضطراب طفيف.

في الأنظمة ذات الأبعاد المحدودة، يمكن تمثيل المتغير المتطور جبريًا كمتجه ذي n بُعد . والمُجتذب هو منطقة في فضاء ذي n بُعد . في الأنظمة الفيزيائية ، قد تكون الأبعاد n ، على سبيل المثال، إحداثيين أو ثلاثة إحداثيات موضعية لكل كيان فيزيائي واحد أو أكثر؛ وفي الأنظمة الاقتصادية ، قد تكون متغيرات منفصلة مثل معدل التضخم ومعدل البطالة .

إذا كان المتغير المتطور ثنائيًا أو ثلاثي الأبعاد، فيمكن تمثيل جاذب العملية الديناميكية هندسيًا في بعدين أو ثلاثة أبعاد (كما هو موضح في الحالة ثلاثية الأبعاد على اليمين). قد يكون الجاذب نقطة ، أو مجموعة نقاط منتهية، أو منحنى ، أو متعدد الشعب ، أو حتى مجموعة معقدة ذات بنية كسورية تُعرف بالجاذب الغريب (انظر الجاذب الغريب أدناه). إذا كان المتغير عددًا قياسيًا ، فإن الجاذب يكون مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية. يُعد وصف جاذبات الأنظمة الديناميكية الفوضوية أحد إنجازات نظرية الفوضى .

لا يشترط أن يخضع مسار النظام الديناميكي في منطقة الجذب لأي قيود خاصة سوى البقاء على منطقة الجذب، مع تقدم الزمن. قد يكون المسار دوريًا أو فوضويًا . إذا كانت مجموعة من النقاط دورية أو فوضوية، ولكن التدفق في الجوار يبتعد عن المجموعة، فإن المجموعة لا تُعتبر منطقة جذب، بل تُسمى منطقة طاردة .

يُوصَف النظام الديناميكي عمومًا بمعادلة تفاضلية أو معادلة فرقية واحدة أو أكثر . تُحدِّد معادلات النظام الديناميكي سلوكه خلال فترة زمنية قصيرة مُحدَّدة. ولتحديد سلوك النظام لفترة أطول، غالبًا ما يكون من الضروري تكامل المعادلات، إما بالطرق التحليلية أو بالتكرار ، وغالبًا بمساعدة الحواسيب.

تنشأ الأنظمة الديناميكية في العالم الفيزيائي عادةً من أنظمة مُبددة للطاقة : فلو لم تكن هناك قوة دافعة، لتوقفت الحركة. (قد ينجم التبدد عن الاحتكاك الداخلي ، أو الفقد الحراري ، أو فقدان المادة، من بين أسباب أخرى كثيرة). يميل التبدد والقوة الدافعة إلى التوازن، مما يقضي على الظواهر العابرة الأولية ويستقر النظام في سلوكه المعتاد. تُعرف مجموعة أجزاء فضاء الطور للنظام الديناميكي، التي تُقابل السلوك المعتاد، باسم الجاذب، أو القسم الجاذب، أو المُستَقطَب.

تتشابه المجموعات الثابتة ومجموعات النهايات مع مفهوم الجاذب. المجموعة الثابتة هي مجموعة تتطور إلى نفسها في ظل الديناميكيات. ^{[ 3 ]} قد تحتوي الجاذبات على مجموعات ثابتة. مجموعة النهايات هي مجموعة من النقاط بحيث توجد حالة ابتدائية ما تنتهي قريبة بشكل تعسفي من مجموعة النهايات (أي إلى كل نقطة من المجموعة) مع مرور الوقت إلى ما لا نهاية. الجاذبات هي مجموعات نهايات، ولكن ليست كل مجموعات النهايات جاذبات: من الممكن أن تتقارب بعض نقاط النظام إلى مجموعة نهايات، ولكن نقاطًا أخرى، عند إزاحتها قليلاً عن مجموعة النهايات، قد تُطرد منها ولا تعود أبدًا إلى جوار مجموعة النهايات.

على سبيل المثال، يمتلك البندول المخمد نقطتين ثابتتين: النقطة x₀ ذات الارتفاع الأدنى _، والنقطة x₁ ذات الارتفاع الأقصى. تُعدّ النقطة _x₀ مجموعة حدية، إذ تتقارب المسارات إليها؛ بينما لا تُعدّ النقطة _{x₁ مجموعة} حدية . وبسبب التبديد الناتج عن مقاومة الهواء، تُعتبر النقطة x₀ جاذبة. لو لم يكن هناك تبديد، لما كانت _{x₀ جاذبة. اعتقد أرسطو أن} الأجسام لا تتحرك إلا طالما دُفعت، وهو ما يُعدّ صياغة مبكرة للجاذب التبديدي _.

من المعروف أن بعض الجاذبات فوضوية (انظر الجاذب الغريب )، وفي هذه الحالة يؤدي تطور أي نقطتين متميزتين من الجاذب إلى مسارات متباعدة أُسّيًا ، مما يعقد التنبؤ حتى عند وجود أدنى قدر من الضوضاء في النظام. ^{[ 4 ]}

يترك${\displaystyle t}$يمثل الزمن و...${\displaystyle f(t,\cdot )}$لتكن دالة تحدد ديناميكيات النظام. أي، إذا${\displaystyle a}$هي نقطة في${\displaystyle n}$فضاء الطور ذو الأبعاد n، الذي يمثل الحالة الأولية للنظام، ثم${\displaystyle f(0,a)=a}$وبالنسبة لقيمة موجبة لـ${\displaystyle t}$،${\displaystyle f(t,a)}$وهي نتيجة تطور هذه الحالة بعد${\displaystyle t}$وحدات زمنية. على سبيل المثال، إذا كان النظام يصف تطور جسيم حر في بُعد واحد، فإن فضاء الطور هو المستوى${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$مع الإحداثيات${\displaystyle (x,v)}$، أين${\displaystyle x}$هو موضع الجسيم،${\displaystyle v}$سرعتها،${\displaystyle a=(x,v)}$ويتم تحديد التطور بواسطة

${\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }$

الجاذب هو مجموعة جزئية${\displaystyle A}$من فضاء الطور الذي يتميز بالشروط الثلاثة التالية:

• ${\displaystyle A}$ثابت للأمام تحت${\displaystyle f}$: لو${\displaystyle a}$هو عنصر من${\displaystyle A}$إذن كذلك${\displaystyle f(t,a)}$للجميع${\displaystyle t>0}$.
• يوجد حي من${\displaystyle A}$، والتي تسمى حوض الجذب لـ${\displaystyle A}$ورمزت إلى${\displaystyle B(A)}$، والتي تتكون من جميع النقاط${\displaystyle b}$ذلك "الدخول"${\displaystyle A}$في الحد${\displaystyle t\to \infty }$وبشكل أكثر رسمية،${\displaystyle B(A)}$هي مجموعة جميع النقاط${\displaystyle b}$في فضاء الطور بالخاصية التالية:

لأي حي مفتوح${\displaystyle N}$ل${\displaystyle A}$يوجد ثابت موجب${\displaystyle T}$بحيث${\displaystyle f(t,b)\in N}$لكل حقيقي${\displaystyle t>T}$.

• لا توجد مجموعة جزئية فعلية (غير فارغة) من${\displaystyle A}$امتلاك الخاصيتين الأوليين.

بما أن حوض الجذب يحتوي على مجموعة مفتوحة تحتوي على${\displaystyle A}$، كل نقطة قريبة بما فيه الكفاية من${\displaystyle A}$ينجذب إلى${\displaystyle A}$يعتمد تعريف الجاذب على مقياس في فضاء الطور، لكن المفهوم الناتج يعتمد عادةً على طوبولوجيا فضاء الطور فقط. في حالة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، وعادة ما يتم استخدام المعيار الإقليدي.

توجد تعريفات أخرى عديدة لمفهوم الجاذب في الأدبيات. على سبيل المثال، يشترط بعض المؤلفين أن يكون للجاذب مقياس موجب (مما يمنع نقطة ما من أن تكون جاذبًا)، بينما يخفف آخرون من هذا الشرط.${\displaystyle B(A)}$أن يكون حيًا. ^{[ 5 ]}

تُعرَّف الجاذبات بأنها أجزاء أو مجموعات فرعية من فضاء الطور لنظام ديناميكي . وحتى ستينيات القرن العشرين، كان يُعتقد أن الجاذبات عبارة عن مجموعات هندسية بسيطة من فضاء الطور، مثل النقاط والخطوط والأسطح والمناطق البسيطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد . وكانت هناك جاذبات أكثر تعقيدًا لا يمكن تصنيفها كمجموعات هندسية بسيطة، مثل المجموعات ذات البنية الطوبولوجية غير المنتظمة ، ولكن كان يُعتقد أنها حالات شاذة هشة. وقد تمكن ستيفن سميل من إثبات أن خريطته على شكل حدوة حصان متينة ، وأن جاذبها يمتلك بنية مجموعة كانتور .

من أبسط أنواع الجاذبات النقطة الثابتة والدورة الحدية . يمكن أن تتخذ الجاذبات أشكالًا هندسية أخرى عديدة (مجموعات فرعية من فضاء الطور). ولكن عندما يتعذر وصف هذه المجموعات (أو الحركات داخلها) بسهولة كتركيبات بسيطة (مثل التقاطع والاتحاد ) لأشكال هندسية أساسية (مثل الخطوط ، والأسطح ، والكرات ، والأشكال الحلقية ، والمتشعبات )، يُطلق على الجاذب حينها اسم الجاذب الغريب .

نقطة ثابتة

النقطة الثابتة لدالة أو تحويل هي نقطة تُسقط عليها الدالة أو التحويل نفسها. إذا اعتبرنا تطور نظام ديناميكي سلسلة من التحويلات، فقد توجد أو لا توجد نقطة ثابتة تحت كل تحويل. الحالة النهائية التي يتطور إليها النظام الديناميكي تُقابل نقطة ثابتة جاذبة لدالة تطور ذلك النظام، مثل مركز قاع بندول مُخمد ، أو مستوى الماء المسطح في كوب، أو مركز قاع وعاء يحتوي على كرة رخامية متدحرجة. لكن النقطة الثابتة (أو النقاط الثابتة) لنظام ديناميكي ليست بالضرورة نقطة جاذبة للنظام. على سبيل المثال، إذا قُلبت الكرة الرخامية المتدحرجة ووُضعت الكرة في قاع الوعاء، فإن مركز قاع الوعاء (الذي أصبح الآن في الأعلى) يُعد حالة ثابتة، ولكنه ليس نقطة جاذبة. وهذا يُعادل الفرق بين التوازن المستقر والتوازن غير المستقر . في حالة وجود كرة زجاجية فوق وعاء مقلوب (تل)، فإن تلك النقطة في أعلى الوعاء (التل) هي نقطة ثابتة (توازن)، ولكنها ليست نقطة جذب (توازن غير مستقر).

بالإضافة إلى ذلك، فإن الأنظمة الديناميكية الفيزيائية التي تحتوي على نقطة ثابتة واحدة على الأقل، تمتلك حتمًا نقاطًا ثابتة وجاذبات متعددة، وذلك نظرًا لطبيعة الديناميكيات في العالم الفيزيائي، بما في ذلك الديناميكيات غير الخطية للالتصاق ، والاحتكاك ، وخشونة السطح ، والتشوه ( المرن واللدن ) ، وحتى ميكانيكا الكم . ^{[ 6 ]} في حالة كرة زجاجية موضوعة فوق وعاء مقلوب، حتى لو بدا الوعاء نصف كروي تمامًا ، فإن شكل الكرة الزجاجية كروي أيضًا، إلا أنهما سطحان أكثر تعقيدًا عند فحصهما تحت المجهر، وتتغير أشكالهما أو تتشوه أثناء التلامس. يمكن ملاحظة أن أي سطح فيزيائي له تضاريس وعرة تتكون من قمم ووديان ونقاط سرجية وتلال وأخاديد وسهول متعددة. ^{[ 7 ]} هناك العديد من النقاط في هذه التضاريس السطحية (والنظام الديناميكي لكرة زجاجية خشنة مماثلة تتدحرج على هذه التضاريس المجهرية) التي تُعتبر نقاطًا ثابتة ، ويُصنف بعضها على أنها جاذبات.

دورة حدية

الدورة الحدية هي مدار دوري لنظام ديناميكي مستمر معزول . وهي تتعلق بجاذب دوري . من الأمثلة عليها تأرجحات ساعة البندول ، ونبضات القلب أثناء الراحة. لا تُعد الدورة الحدية للبندول المثالي مثالًا على جاذب الدورة الحدية لأن مداراته غير معزولة: ففي فضاء الطور للبندول المثالي، توجد بالقرب من أي نقطة في مدار دوري نقطة أخرى تنتمي إلى مدار دوري مختلف، لذا فإن المدار الأول لا يجذب. بالنسبة للبندول الفيزيائي الخاضع للاحتكاك، ستكون حالة الراحة جاذبًا بنقطة ثابتة. ويكمن الاختلاف مع بندول الساعة في أن آلية الإفلات تضخ الطاقة للحفاظ على الدورة.

جاذب غريب

يُطلق على الجاذب اسم "غريب" إذا كان ذا بنية كسورية ؛ أي إذا كان بُعد هاوسدورف الخاص به غير صحيح . غالبًا ما يكون هذا هو الحال عندما تكون الديناميكيات عليه فوضوية ، ولكن توجد أيضًا جاذبات غريبة غير فوضوية . إذا كان الجاذب الغريب فوضويًا، ويُظهر اعتمادًا حساسًا على الشروط الابتدائية ، فإن أي نقطتين ابتدائيتين بديلتين متقاربتين بشكل عشوائي على الجاذب، بعد أي عدد من التكرارات، ستؤديان إلى نقاط متباعدة بشكل عشوائي (ضمن حدود الجاذب)، وبعد أي عدد آخر من التكرارات ستؤديان إلى نقاط متقاربة بشكل عشوائي. وبالتالي، فإن النظام الديناميكي ذو الجاذب الفوضوي يكون غير مستقر محليًا ولكنه مستقر عالميًا: بمجرد دخول بعض المتتاليات إلى الجاذب، تتباعد النقاط القريبة عن بعضها البعض ولكنها لا تغادر الجاذب أبدًا. ^{[ 8 ]}

صاغ ديفيد رويل وفلوريس تاكنز مصطلح "الجاذب الغريب" لوصف الجاذب الناتج عن سلسلة من التشعبات في نظام يصف تدفق السوائل. ^{[ 9 ]} غالبًا ما تكون الجاذبات الغريبة قابلة للتفاضل في اتجاهات قليلة، لكن بعضها يشبه غبار كانتور ، وبالتالي غير قابل للتفاضل. يمكن أيضًا العثور على الجاذبات الغريبة في وجود الضوضاء، حيث يمكن إثبات أنها تدعم مقاييس احتمالية عشوائية ثابتة من نوع سيناء-رويل-بوين. ^{[ 10 ]}

ومن أمثلة الجاذبات الغريبة جاذب اللفة المزدوجة ، وجاذب هينون ، وجاذب روسلر ، وجاذب لورنز .

قد يتأثر سلوك النظام الديناميكي بمعاملاته أو باختيار الشروط الابتدائية. الخريطة اللوجستية ، المعرفة على النحو التالي:${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$، هو مثال مدروس جيدًا لنظام يعتمد على مُعامل واحد${\displaystyle r}$جاذباتها لقيم مختلفة من${\displaystyle r}$تظهر في الشكل. بالنسبة للصغيرة${\displaystyle r}$نقطة الجذب هي نقطة ثابتة واحدة ، تظهر على مخطط التشعب كخط واحد. أما بالنسبة للاختيارات الأخرى لـ${\displaystyle r}$، أكثر من قيمة واحدة لـ${\displaystyle x}$قد يصبح جذابًا: في${\displaystyle r\approx 3}$تنقسم النقطة الثابتة إلى قسمين، مما يُنشئ دورة دورية مدتها 2 خلال عملية تشعب مضاعفة الدورة .${\displaystyle r}$مع ازدياد عدد النقاط، تظهر الفوضى من خلال سلسلة من مضاعفة الفترة، مما يعني أن الجاذب يتكون من عدد لا نهائي من النقاط.${\displaystyle r\approx 3.83}$يمكن إيجاد مدار ذي دورة 3. ويترتب على ذلك، وفقًا لنظرية شاركوفسكي، وجود مدارات ذات دورات طبيعية في النظام. وبالتالي، يمكن لمعادلة ديناميكية واحدة أن تمتلك جاذبات مختلفة تمامًا اعتمادًا على اختيار المعاملات.

حوض الجذب هو منطقة في فضاء الطور تُعرَّف عليها التكرارات، بحيث تُحوَّل أي نقطة (أي شرط ابتدائي ) في تلك المنطقة بشكل تقاربي إلى الجاذب. بالنسبة لنظام خطي مستقر ، تقع كل نقطة في فضاء الطور ضمن حوض الجذب. مع ذلك، في الأنظمة غير الخطية ، قد تُحوَّل بعض النقاط مباشرةً أو تقاربياً إلى اللانهاية، بينما قد تقع نقاط أخرى في حوض جذب مختلف وتُحوَّل تقاربياً إلى جاذب مختلف؛ وقد تقع شروط ابتدائية أخرى في نقطة أو دورة غير جاذبة أو تُحوَّل إليها مباشرةً. ^{[ 11 ]}

معادلة أو نظام غير خطي

يمكن للمعادلات أو الأنظمة غير الخطية أن تُنتج تنوعًا أكبر في السلوك مقارنةً بالأنظمة الخطية. ومن الأمثلة على ذلك طريقة نيوتن للتكرار للوصول إلى جذر تعبير غير خطي. إذا كان للتعبير أكثر من جذر حقيقي ، فإن بعض نقاط البداية للخوارزمية التكرارية ستؤدي إلى أحد الجذور بشكل تقاربي، بينما ستؤدي نقاط بداية أخرى إلى جذر آخر. ولا تكون مناطق الجذب لجذور التعبير بسيطة عمومًا، فليس الأمر مجرد أن النقاط الأقرب إلى جذر ما تُسقط جميعها عليه، مما يُعطي منطقة جذب تتكون من النقاط المجاورة. بل يمكن أن تكون مناطق الجذب لا نهائية العدد وصغيرة بشكل تعسفي. على سبيل المثال، ^{[ 12 ]} للدالة${\displaystyle f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12}$، وتكون الشروط الأولية التالية في أحواض الجذب المتتالية:

2.35287527 يتقارب إلى 4؛

2.35284172 يتقارب إلى -3؛

2.35283735 يتقارب إلى 4؛

2.352836327 يتقارب إلى -3؛

2.352836323 يتقارب إلى 1.

يمكن تطبيق طريقة نيوتن أيضًا على الدوال المركبة لإيجاد جذورها. لكل جذر منطقة جذب في المستوى المركب ؛ ويمكن تمثيل هذه المناطق كما في الصورة الموضحة. وكما هو واضح، قد تحتوي منطقة الجذب الكلية لجذر معين على العديد من المناطق المنفصلة. بالنسبة للعديد من الدوال المركبة، تكون حدود مناطق الجذب عبارة عن أشكال كسورية .

قد تمتلك المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة جاذبات ذات أبعاد محدودة. يعمل الجزء الانتشارى من المعادلة على تخميد الترددات العالية، وفي بعض الحالات يؤدي إلى جاذب عالمي. ومن المعروف أن معادلات جينزبورغ-لانداو ، وكوراموتو-سيفاشينسكي ، ومعادلات نافيير-ستوكس ثنائية الأبعاد القسرية، جميعها تمتلك جاذبات عالمية ذات أبعاد محدودة.

بالنسبة لمعادلة نافيير-ستوكس ثلاثية الأبعاد وغير القابلة للانضغاط مع شروط حدودية دورية ، إذا كان لها جاذب عالمي، فسيكون هذا الجاذب ذا أبعاد محدودة. ^{[ 13 ]}

• الكشف عن الدورة
• مجموعة زائدية
• مشعب مستقر
• حالة مستقرة
• حوض وادا
• التذبذب الخفي
• جاذب روسلر
• توزيع مستقر
• التطور التقاربي

• جون ميلنور (محرر). "الجاذب" . سكولاربيديا .
• ديفيد رويل ؛ فلوريس تاكنز (1971). "حول طبيعة الاضطراب". مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 20 (3): 167-192 . رمز Bibcode : 1971CMaPh..20..167R . doi : 10.1007/BF01646553 . S2CID 17074317 . 
• د. رويل (1981). "الاضطرابات العشوائية الصغيرة للأنظمة الديناميكية وتعريف الجاذبات" (ملف PDF) . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 82 (1): 137-151 . Bibcode : 1981CMaPh..82..137R . doi : 10.1007/BF01206949 . S2CID 55827557 . 
• ديفيد رويل (1989). عناصر الديناميكا التفاضلية ونظرية التشعب . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-12-601710-6.
• رويل، ديفيد (أغسطس 2006). "ما هو... الجاذب الغريب؟" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 53 (7): 764-765 . تاريخ الاسترجاع: 16 يناير 2008 .
• سيلسو غريبوجي ؛ إدوارد أوت ؛ بيليكان؛ يورك (1984). "جاذبات غريبة غير فوضوية". فيزيكا د . 13 ( 1-2 ): 261-268 . رمز Bibcode : 1984PhyD...13..261G . doi : 10.1016/0167-2789(84)90282-3 .
• شكرون، دكتور في الطب؛ إ. سيمونيه؛ م. غيل (2011). "ديناميكيات المناخ العشوائية: جاذبات عشوائية ومقاييس ثابتة تعتمد على الزمن". فيزيكا د . 240 (21): 1685-1700 . Bibcode : 2011PhyD..240.1685C . CiteSeerX 10.1.1.156.5891 . doi : 10.1016/j.physd.2011.06.005 . 
• إدوارد ن. لورنز (1996) جوهر الفوضى ISBN 0-295-97514-8
• جيمس جليك (1988) الفوضى: صناعة علم جديد ISBN 0-14-009250-1

• حوض الجذب على موقع سكولاربيديا
• معرض لجذبات غريبة مثلثية
• محاكاة دائرة تشوا لجاذب اللفائف المزدوجة
• معرض لجاذبات غريبة متعددة الحدود
• Chaoscope، برنامج مجاني لعرض جاذبات غريبة ثلاثية الأبعاد
• ملخص بحثي ومختبر برمجيات. مؤرشف بتاريخ 28 يونيو 2022 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• مولد جاذبات غريبة عبر الإنترنت
• مولد تفاعلي لجاذبات المثلثات
• عامل جذب اقتصادي