مجموعة زائدية

في نظرية الأنظمة الديناميكية ، يُقال إن مجموعة جزئية Λ من مشعب أملس M هي زائدية أو لها بنية زائدية بالنسبة إلى تطبيق أملس f إذا كان من الممكن تقسيم حزمة المماس الخاصة بها إلى حزمتين فرعيتين ثابتتين ، إحداهما منكمشة والأخرى متوسعة تحت f ، بالنسبة إلى مقياس ريماني ما على M. وينطبق تعريف مماثل على حالة التدفقات .

في الحالة الخاصة عندما يكون الفضاء M بأكمله زائديًا، يُطلق على التطبيق f اسم تماثل أنوسوف . تُظهر ديناميكيات f على مجموعة زائدية، أو الديناميكيات الزائدية ، سمات الاستقرار البنيوي المحلي ، وقد خضعت لدراسات كثيرة، انظر البديهية A.

ليكن M مشعبًا أملسًا مضغوطًا ، و f : M → M تشاكلًا تفاضليًا ، و Df : TM → TM تفاضل f . يُقال إن مجموعة جزئية Λ من M ثابتة تحت تأثير f هي مجموعة زائدية ، أو ذات بنية زائدية ، إذا كان تقييد حزمة المماس لـ M على Λ يسمح بتقسيمها إلى مجموع ويتني لحزمتين جزئيتين ثابتتين تحت تأثير Df ، تُسميان الحزمة المستقرة والحزمة غير المستقرة ، ويُرمز لهما بـ E ^s و E ^u . بالنسبة إلى مقياس ريماني ما على M ، يجب أن يكون تقييد Df على E ^s انكماشًا، ويجب أن يكون تقييد Df على E ^u تمددًا. وبالتالي، توجد ثوابت 0 < λ < 1 و c > 0 بحيث

${\displaystyle T_{\Lambda }M=E^{s}\oplus E^{u}}$

و

${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}}$و${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}}$للجميع${\displaystyle x\in \Lambda }$

و

${\displaystyle \|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$للجميع${\displaystyle v\in E^{s}}$و${\displaystyle n>0}$

و

${\displaystyle \|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$للجميع${\displaystyle v\in E^{u}}$و${\displaystyle n>0}$.

إذا كانت Λ زائدية، فإنه يوجد مقياس ريماني يكون فيه c  =  1 — يسمى هذا المقياس متكيفًا .

• نقطة التوازن الزائدية p هي نقطة ثابتة ، أو نقطة توازن، للدالة f ، بحيث لا يكون لـ ( Df ) _p قيمة ذاتية بقيمة مطلقة تساوي 1. في هذه الحالة، Λ = { p }.
• بشكل عام، يكون المدار الدوري للدالة f ذو الفترة n زائديًا إذا وفقط إذا لم يكن لـ Df ⁿ عند أي نقطة من المدار قيمة ذاتية بقيمة مطلقة 1، ويكفي التحقق من هذا الشرط عند نقطة واحدة من المدار.

• أبراهام، رالف؛ مارسدن، جيرولد إي. (1978). أسس الميكانيكا . ريدينغ، ماساتشوستس: بنجامين/كومينغز. ISBN 0-8053-0102-X.
• برين، مايكل؛ ستوك، غاريت (2002). مقدمة في الأنظمة الديناميكية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-80841-3.

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع Hyperbolic Set على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .