البديهية أ

في الرياضيات ، تُعرّف بديهية سميل A فئةً من الأنظمة الديناميكية التي دُرست على نطاق واسع، والتي تُفهم ديناميكيتها بشكل جيد نسبيًا. ومن الأمثلة البارزة على ذلك خريطة سميل على شكل حدوة حصان . يعود مصطلح "البديهية A" إلى ستيفن سميل . ^{[ 1 ] [ 2 ]} وتتجلى أهمية هذه الأنظمة في فرضية الفوضى ، التي تنص على أنه، "لجميع الأغراض العملية"، يُمكن تقريب نظام متعدد الأجسام مُنظّم حراريًا بنظام أنوسوف . ^{[ 3 ]}

ليكن M متعدد شعب أملس مع تماثل تفاضلي f : M → M. عندئذٍ يكون f تماثلًا تفاضليًا بديهيًا إذا تحقق الشرطان التاليان:

1. إن المجموعة غير المتجولة لـ f ، Ω ( f )، هي مجموعة زائدية ومضغوطة .
2. مجموعة النقاط الدورية لـ f كثيفة في Ω ( f ).

بالنسبة للأسطح، فإن خاصية القطع الزائد للمجموعة غير المتجولة تعني كثافة النقاط الدورية، لكن هذا لا ينطبق في الأبعاد الأعلى. ومع ذلك، تُسمى التشاكلات التفاضلية للبديهية A أحيانًا بالتشاكلات القطعية الزائدية ، لأن الجزء من M الذي تحدث فيه الديناميكيات المهمة، أي Ω ( f )، يُظهر سلوكًا قطعيًا زائديًا.

تُعمم التحويلات التفاضلية وفقًا للبديهية أ أنظمة مورس-سميل ، التي تُحقق قيودًا إضافية (عدد محدود من النقاط الدورية وتقاطعية الفضاءات الفرعية المستقرة وغير المستقرة). تُعد خريطة حدوة الحصان لسميل تحويلًا تفاضليًا وفقًا للبديهية أ مع عدد لا نهائي من النقاط الدورية وإنتروبيا طوبولوجية موجبة .

أي تماثل تفاضلي أنوسوف يحقق البديهية A. في هذه الحالة، يكون المشعب M بأكمله زائديًا (على الرغم من أنه سؤال مفتوح ما إذا كانت المجموعة غير المتجولة Ω ( f ) تشكل M بأكملها ).

أظهر روفوس بوين أن المجموعة غير المتجولة Ω ( f ) لأي تماثل تفاضلي لبديهية A تدعم تجزئة ماركوف . ^{[ 2 ] [ 4 ]} وبالتالي فإن تقييد f على مجموعة فرعية عامة معينة من Ω ( f ) يرتبط بإزاحة من النوع المحدود .

تُشير كثافة النقاط الدورية في المجموعة غير المتجولة إلى قيمتها القصوى المحلية: يوجد جوار مفتوح U لـ Ω ( f ) بحيث

${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {Z} }f^{n}(U)=\Omega (f).}$

من الخصائص المهمة لأنظمة البديهية أ استقرارها البنيوي في مواجهة الاضطرابات الطفيفة. ^{[ 5 ]} أي أن مسارات النظام المضطرب تبقى متطابقة طوبولوجيًا (1-1) مع النظام غير المضطرب. تكمن أهمية هذه الخاصية في أنها تُظهر أن أنظمة البديهية أ ليست استثنائية، بل هي "متينة" بمعنى ما.

وبشكل أدق، لكل اضطراب من النوع C ¹ ، f _ε، للدالة f ، تتكون مجموعتها غير المتجولة من مجموعتين جزئيتين مضغوطتين، ثابتتين تحت تأثير f _ε ، وهما Ω ₁ و Ω _2. المجموعة الجزئية الأولى متماثلة شكليًا مع Ω ( f ) عبر تماثل شكلي h يربط تقييد f على Ω ( f ) بتقييد f _ε على Ω ₁ .

${\displaystyle f_{\epsilon }\circ h(x)=h\circ f(x),\quad \forall x\in \Omega (f).}$

إذا كانت Ω² فارغة، فإن _h دالة شاملة لـ Ω ( fε ₎ . إذا كان هذا هو الحال لكل اضطراب fε _، فإن f تُسمى مستقرة أوميغا . يكون التشاكل التفاضلي f مستقرًا أوميغا إذا وفقط إذا حقق البديهية A وشرط عدم وجود دورة (أي أن المدار، بمجرد مغادرته مجموعة جزئية متعدية من Ω ( f )، لا يعود).

• التدفق الإرجودي

• رويل، ديفيد (1978). الصياغة الديناميكية الحرارية. البنى الرياضية للتوازن الكلاسيكي . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  5. ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-13504-3. Zbl 0401.28016 . 
• رويل، ديفيد (1989). التطور الفوضوي والمُجتذبات الغريبة. التحليل الإحصائي للسلاسل الزمنية للأنظمة غير الخطية الحتمية . محاضرات لينسي. ملاحظات أعدها ستيفانو إيزولا. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-36830-8. Zbl 0683.58001 .