بحيرات وادا

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة
لمحة عن العملية التي تتقارب نحو بحيرات وادا

في الرياضيات ، تُعرف بحيرات وادا (和田の湖، Wada no mizuumi ) بأنها ثلاث مجموعات مفتوحة متصلة منفصلة في المستوى أو المربع المفتوح ذي الوحدة، وتتميز بخاصية غير بديهية، وهي أن لها جميعًا نفس الحدود . بعبارة أخرى، لأي نقطة مختارة على حدود إحدى البحيرات، فإن حدود البحيرتين الأخريين تحتوي أيضًا على تلك النقطة.

يُقال إن أكثر من مجموعتين لهما نفس الحدود تتمتعان بخاصية وادا ؛ ومن الأمثلة على ذلك أحواض وادا في الأنظمة الديناميكية . هذه الخاصية نادرة في الأنظمة الواقعية.

تم تقديم مفهوم بحيرات وادا بواسطة كونيزو يوناياما ( 1917 ، صفحة 60) ، الذي نسب الاكتشاف إلى تاكيو وادا . يشبه بناؤه بناء براور (1910) للمتصل غير القابل للتحليل ، وفي الواقع، من الممكن أن يكون الحد المشترك للمجموعات الثلاث متصلاً غير قابل للتحليل. 

إنشاء بحيرات وادا

رسوم متحركة لعملية حفر البحيرات حتى اليوم الخامس

تتشكل بحيرات وادا من خلال البدء بوحدة مربعة مغلقة من الأرض الجافة، ثم حفر 3 بحيرات وفقًا للقاعدة التالية:

  • في اليوم ن = ١، ٢، ٣، ...، قم بتمديد البحيرة ن mod ٣ (=  ٠، ١، ٢) بحيث تكون مفتوحة ومتصلة وتمر على مسافة ١/ ن من جميع الأراضي الجافة المتبقية. يجب القيام بذلك بحيث تظل الأراضي الجافة المتبقية متماثلة الشكل مع مربع مغلق طول ضلعه وحدة واحدة.

بعد عدد لا نهائي من الأيام، تظل البحيرات الثلاث مجموعات مفتوحة متصلة ومنفصلة، ​​والأرض الجافة المتبقية هي حدود كل من البحيرات الثلاث.

على سبيل المثال، قد تكون الأيام الخمسة الأولى (انظر الصورة على اليمين):

  1. احفر بحيرة زرقاء بعرض 1/3 تمر داخل √ 2 /3 من جميع الأراضي الجافة.
  2. احفر بحيرة حمراء بعرض 1/3 2 تمر داخل √ 2 /3 2 من جميع الأراضي الجافة.
  3. احفر بحيرة خضراء بعرض 1/3 3 تمر داخل √ 2 /3 3 من جميع الأراضي الجافة.
  4. قم بتمديد البحيرة الزرقاء بقناة عرضها 1/3 4 تمر ضمن مسافة √ 2 /3 4 من جميع اليابسة. (تربط القناة الصغيرة البحيرة الزرقاء الرقيقة بالبحيرة السميكة، بالقرب من منتصف الصورة).
  5. قم بتمديد البحيرة الحمراء بقناة عرضها 1/3 5 تمر ضمن مسافة √ 2 /3 5 من جميع اليابسة. (تربط القناة الصغيرة البحيرة الحمراء الرقيقة بالبحيرة السميكة، بالقرب من أعلى يسار الصورة).

يمكن أن ينتج عن أحد أشكال هذا البناء عدد لا نهائي قابل للعد من البحيرات المتصلة بنفس الحدود: بدلاً من تمديد البحيرات بالترتيب 1، 2، 0، 1، 2، 0، 1، 2، 0، ....، قم بتمديدها بالترتيب 0، 0، 1، 0، 1، 2، 0، 1، 2، 3، 0، 1، 2، 3، 4، ... وهكذا.

أحواض وادا

تشكل كسور نيوتن أحواض جذب وادا عندما يكون z 3 − 1 = 0؛ جميع الأحواض المفتوحة الثلاثة المنفصلة لها نفس الحدود.

أحواض وادا هي أحواض جذب خاصة تُدرس في رياضيات الأنظمة غير الخطية . يُطلق على الحوض الذي يتميز بأن كل جوار لكل نقطة على حدوده يتقاطع مع ثلاثة أحواض على الأقل اسم حوض وادا ، أو يُقال إنه يتمتع بخاصية وادا . وعلى عكس بحيرات وادا، غالبًا ما تكون أحواض وادا منفصلة.

يُعطى مثال على أحواض وادا بواسطة كسور نيوتن التي تصف أحواض الجذب لطريقة نيوتن-رافسون لإيجاد جذور متعددة الحدود التكعيبية ذات الجذور المتميزة، مثل z 3 − 1؛ انظر الصورة.

أحواض وادا في نظرية الفوضى

في نظرية الفوضى ، تظهر أحواض وادا بشكل متكرر. عادةً ما تُلاحظ خاصية وادا في حوض جذب الأنظمة الديناميكية المبددة للطاقة . لكن أحواض الخروج في الأنظمة الهاميلتونية قد تُظهر أيضًا خاصية وادا. في سياق التشتت الفوضوي للأنظمة ذات المخارج المتعددة، تُظهر أحواض الخروج خاصية وادا. وقد بيّن ماف سان خوان وآخرون [ 1 ] أن أحواض الخروج في نظام هينون-هايلز تتمتع بهذه الخاصية.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ أغيري، جاكوبو؛ فاليجو، خوان سي؛ Sanjuán، Miguel AF (27 نوفمبر 2001)، “أحواض وادا والمجموعات الثابتة الفوضوية في نظام Henon-Heiles، Phys. Rev. E 64، 066208 (2001)” ، Physical Review E ، vol. 64، لا. 6، ص. 066208، دوى : 10.1103/PhysRevE.64.066208 ، HDL : 10261/342147 ، PMID 11736269    

للمزيد من القراءة