نظام هاميلتوني

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 20 صور
الموسوعة الحرة

النظام الهاميلتوني هو نظام ديناميكي تحكمه معادلات هاميلتون . في الفيزياء ، يصف هذا النظام الديناميكي تطور نظام فيزيائي ، مثل نظام كوكبي أو إلكترون في مجال كهرومغناطيسي . يمكن دراسة هذه الأنظمة في كل من ميكانيكا هاميلتون ونظرية الأنظمة الديناميكية .

ملخص

بشكل غير رسمي، يُعدّ النظام الهاميلتوني صيغة رياضية طورها ويليام روان هاميلتون لوصف معادلات تطور نظام فيزيائي. وتكمن ميزة هذا الوصف في أنه يُقدّم رؤى مهمة حول الديناميكيات، حتى وإن تعذّر حلّ مسألة القيمة الابتدائية تحليليًا. ومن الأمثلة على ذلك حركة ثلاثة أجسام كوكبية : فبينما لا يوجد حلّ مغلق للمسألة العامة، أثبت هنري بوانكاريه لأول مرة أنها تُظهر فوضى حتمية .

بصورة رسمية، النظام الهاميلتوني هو نظام ديناميكي يتميز بالدالة العدديةح(q،ص،ت){\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)}، والمعروف أيضًا باسم الهاميلتوني. [ 1 ] حالة النظام،ر{\displaystyle {\boldsymbol {r}}}يتم وصفها بواسطة الإحداثيات المعممةص{\displaystyle {\boldsymbol {p}}}وq{\displaystyle {\boldsymbol {q}}}، بما يتوافق مع الزخم العام والموقع على التوالي. كلاهماص{\displaystyle {\boldsymbol {p}}}وq{\displaystyle {\boldsymbol {q}}}هي متجهات حقيقية ذات بُعد N. وبالتالي، يتم وصف الحالة بالكامل بواسطة المتجه ذي البُعد N. 

ر=(q،ص){\displaystyle {\boldsymbol {r}}=({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}

وتُعطى معادلات التطور بواسطة معادلات هاميلتون :

دصدت=-∂ح∂q،دqدت=+∂ح∂ص.\begin{aligned} \displaystyle \begin{aligned} \frac {d\boldsymbol {p}}{dt} \=- \frac {\partial H}{\partial \boldsymbol {q} \} \, \end{aligned} \displaystyle \begin{aligned} \frac {d\boldsymbol {q}}{dt} \=+ \frac {\partial H}{\partial \boldsymbol {p} \} \end{aligned ...

المسارر(ت){\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}يمثل حل مسألة القيمة الابتدائية المحددة بمعادلات هاميلتون والشرط الابتدائير(ت=0)=ر0∈R2شمال{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t=0)={\boldsymbol {r}}_{0}\in \mathbb {R} ^{2N}}.

أنظمة هاميلتونية غير معتمدة على الزمن

إذا لم يكن الهاميلتوني معتمدًا على الزمن بشكل صريح، أي إذاح(q،ص،ت)=ح(q،ص){\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)=H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}، عندئذٍ لا يتغير الهاميلتوني مع الزمن على الإطلاق: [ 1 ]

الاشتقاق
دحدت=∂ح∂ص⋅دصدت+∂ح∂q⋅دqدت+∂ح∂ت{\displaystyle {\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}+{\frac {\partial H}{\partial t}}}
دحدت=∂ح∂ص⋅(-∂ح∂q)+∂ح∂q⋅∂ح∂ص+0=0{\displaystyle {\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot \left(-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}+0=0}

وبالتالي فإن الهاميلتوني هو ثابت الحركة ، وثابته يساوي الطاقة الكلية للنظام:ح=هـ{\displaystyle H=E}ومن أمثلة هذه الأنظمة البندول غير المخمد ، والمذبذب التوافقي ، والبلياردو الديناميكي .

مثال

من الأمثلة على نظام هاميلتوني غير معتمد على الزمن المذبذب التوافقي. لنفترض النظام المحدد بالإحداثياتص=مx˙{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\dot {x}}}وq=x{\displaystyle {\boldsymbol {q}}=x}ثم يُعطى الهاميلتوني بالصيغة التالية

ح=ص22م+كq22.{\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kq^{2}}{2}}.}

لا يعتمد الهاميلتوني لهذا النظام على الزمن، وبالتالي فإن طاقة النظام محفوظة.

بنية تبسيطية

إحدى الخصائص المهمة لنظام ديناميكي هاميلتوني هي أنه يمتلك بنية تماثلية . [ 1 ] كتابة

∇رح(ر)=[∂ح(q،ص)∂q∂ح(q،ص)∂ص]{\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\\{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\\\end{bmatrix}}}

يمكن كتابة معادلة تطور النظام الديناميكي على النحو التالي

دردت=مشمال∇رح(ر){\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})}

أين

مشمال=[0أناشمال-أناشمال0]{\displaystyle M_{N}={\begin{bmatrix}0&I_{N}\\-I_{N}&0\\\end{bmatrix}}}

و I N هي مصفوفة الوحدة من الرتبة N × N.

إحدى النتائج المهمة لهذه الخاصية هي الحفاظ على حجم متناهٍ الصغر في فضاء الطور. [ 1 ] ومن نتائج ذلك نظرية ليوفيل ، التي تنص على أنه في نظام هاميلتوني، يُحفظ حجم فضاء الطور لسطح مغلق تحت تأثير التطور الزمني. [ 1 ]

ددت∮∂Vدر=∮∂Vدردت⋅دن^∂V=∮∂V(مشمال∇رح(ر))⋅دن^∂V=∫V∇ر⋅(مشمال∇رح(ر))دV=∫V∑أنا=1شمال∑ج=1شمال(∂2ح∂qأنا∂صج-∂2ح∂صأنا∂qج)دV=0{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\oint _{\partial V}d{\boldsymbol {r}}&=\oint _{\partial V}{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\oint _{\partial V}\left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\int _{V}\nabla _{\boldsymbol {r}}\cdot \left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\,dV\\&=\int _{V}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{j}}}\right)\,dV\\&=0\end{aligned}}}

حيث تأتي المساواة الثالثة من نظرية التباعد .

فوضى هاملتونية

تُظهر بعض الأنظمة الهاميلتونية سلوكًا فوضويًا . فعندما يكون تطور النظام الهاميلتوني شديد الحساسية للشروط الأولية، وتبدو الحركة عشوائية وغير منتظمة، يُقال إن النظام يُظهر فوضى هاميلتونية.

الأصول

يعود مفهوم الفوضى في الأنظمة الهاميلتونية إلى أعمال هنري بوانكاريه ، الذي قدم في أواخر القرن التاسع عشر إسهامات رائدة في فهم مسألة الأجسام الثلاثة في علم الميكانيكا السماوية . أظهر بوانكاريه أن حتى نظامًا جاذبيًا بسيطًا مكونًا من ثلاثة أجسام يمكن أن يُظهر سلوكًا معقدًا لا يمكن التنبؤ به على المدى الطويل. ويُعتبر عمله من أوائل الدراسات التي استكشفت السلوك الفوضوي في الأنظمة الفيزيائية . [ 2 ]

صفات

تتميز الفوضى الهاميلتونية بالخصائص التالية: [ 1 ]

الحساسية للظروف الأولية : سمة مميزة للأنظمة الفوضوية، حيث يمكن أن تؤدي الاختلافات الطفيفة في الظروف الأولية إلى مسارات مختلفة تمامًا. يُعرف هذا بتأثير الفراشة. [ 3 ]

الخلط : بمرور الوقت، تتوزع أطوار النظام بشكل منتظم في فضاء الطور. [ 4 ]

التكرار : على الرغم من أنه لا يمكن التنبؤ به، إلا أن النظام يعود في النهاية إلى حالات قريبة بشكل تعسفي من حالته الأولية، وهو ما يُعرف باسم تكرار بوانكاريه .

ترتبط الفوضى الهاميلتونية أيضًا بوجود ثوابت فوضوية مثل أس ليابونوف وإنتروبيا كولموغوروف -سيناي ، والتي تحدد معدل تباعد المسارات القريبة وتعقيد النظام، على التوالي. [ 1 ]

التطبيقات

تنتشر الفوضى الهاميلتونية في العديد من مجالات الفيزياء، لا سيما في الميكانيكا الكلاسيكية والميكانيكا الإحصائية. فعلى سبيل المثال، في فيزياء البلازما ، قد يُظهر سلوك الجسيمات المشحونة في مجال مغناطيسي فوضى هاميلتونية، وهو ما له آثار على الاندماج النووي وبلازما الفيزياء الفلكية . علاوة على ذلك، في ميكانيكا الكم ، تُدرس الفوضى الهاميلتونية من خلال الفوضى الكمومية ، التي تسعى إلى فهم النظائر الكمومية للسلوك الفوضوي الكلاسيكي. كما تلعب الفوضى الهاميلتونية دورًا في الفيزياء الفلكية ، حيث تُستخدم لدراسة ديناميكيات التجمعات النجمية واستقرار البنى المجرية . [ 5 ]

أمثلة

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 7 أوت، إدوارد (1994). الفوضى في الأنظمة الديناميكية . مطبعة جامعة كامبريدج.
  2. ↑ بوانكاريه، هنري. "أساليب جديدة في الميكانيكا السماوية." (1892)
  3. ↑ لورنز، إدوارد ن . (1963-03-01). "التدفق غير الدوري الحتمي" . مجلة علوم الغلاف الجوي . 20 (2): 130-141 . doi : 10.1175/1520-0469(1963)020 < 0130:DNF > 2.0.CO ; 2. ISSN 0022-4928 . 
  4. ^ كورنفيلد ، إسحاق ب. فومين، سيرجي V.؛ سيناج، ياكوف ج. (1982). النظرية الأرجودية . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، سلسلة من الدراسات الشاملة في الرياضيات. نيويورك، نيويورك هايدلبرغ برلين: سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4615-6929-9.
  5. ↑ ريغيف، أوديد (2009)، "الفيزياء الفلكية والفوضى والتعقيد في" ، في مايرز، روبرت أ. (محرر)، موسوعة التعقيد وعلوم الأنظمة ، نيويورك، نيويورك: سبرينغر، ص 381-399 ، doi : 10.1007/978-0-387-30440-3_26 ، ISBN  978-0-387-30440-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 يونيو 2023

للمزيد من القراءة

  • ألميدا، أ.م. (1992). الأنظمة الهاميلتونية: الفوضى والتكميم . سلسلة دراسات كامبريدج في الفيزياء الرياضية. كامبريدج (UA: مطبعة جامعة كامبريدج ).
  • أودين، م. (2008). الأنظمة الهاميلتونية وقابليتها للتكامل . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-4413-7
  • ديكي، إل إيه (2003). معادلات السوليتون وأنظمة هاميلتون . سلسلة متقدمة في الفيزياء الرياضية، المجلد 26. ريفر إيدج، نيوجيرسي: وورلد ساينتيفيك .
  • تريشيف، د.، وزوبيليفيتش، أ. (2010). مقدمة في نظرية الاضطراب للأنظمة الهاميلتونية . هايدلبرغ: سبرينغر
  • زاسلافسكي، جي إم (2007). فيزياء الفوضى في الأنظمة الهاميلتونية . لندن: مطبعة إمبريال كوليدج .