سلسلة متصلة غير قابلة للتحلل

في طوبولوجيا المجموعات النقطية ، يُعرف المتصل غير القابل للتحليل بأنه متصل لا يمكن تحليله، أي لا يمكن التعبير عنه كاتحاد أي اثنين من متصلاته الفرعية . في عام 1910، كان إل إي جيه براور أول من وصف المتصل غير القابل للتحليل.

استخدم علماء الطوبولوجيا المتصلات غير القابلة للتحليل كمصدر للأمثلة المضادة . كما أنها تظهر في الأنظمة الديناميكية .

سلسلة متصلة${\displaystyle C}$هو فضاء متري متصل ومضغوط وغير فارغ . القوس ، والكرة ذات البعد n ، ومكعب هيلبرت أمثلة على الأوساط المتصلة مساريًا ؛ ومنحنى الجيب الطوبولوجي مثال على وسط متصل غير متصل مساريًا. دائرة وارسو وسط متصل مساريًا ولكنه غير متصل مساريًا محليًا. وسط فرعي متصل${\displaystyle C'}$من سلسلة متصلة${\displaystyle C}$هي مجموعة فرعية مغلقة ومتصلة من${\displaystyle C}$الفضاء غير منحل إذا لم يكن مساوياً لنقطة واحدة. متصل${\displaystyle C}$تكون قابلة للتحليل إذا وُجدت سلسلتان فرعيتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$ل${\displaystyle C}$بحيث${\displaystyle A\neq C}$و${\displaystyle B\neq C}$لكن${\displaystyle A\cup B=C}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$غير متدهورة. المتصل الذي لا يمكن تحليله هو متصل غير قابل للتحليل . متصل${\displaystyle C}$يُقال إن أي سلسلة فرعية فيها غير قابلة للتحليل هي سلسلة غير قابلة للتحليل وراثيًا .${\displaystyle C}$هي مجموعة قصوى تقع فيها أي نقطتين ضمن مجموعة فرعية متصلة مناسبة من${\displaystyle C}$سلسلة متصلة${\displaystyle C}$لا يمكن اختزاله بين${\displaystyle c}$و${\displaystyle c'}$لو ${\displaystyle c,c'\in C}$ولا يوجد أي نطاق فرعي مناسب يحتوي على كلتا النقطتين. بالنسبة لنطاق متري غير قابل للتحلل وغير متدهور${\displaystyle X}$، توجد مجموعة جزئية غير قابلة للعد${\displaystyle J}$بحيث${\displaystyle X}$لا يمكن اختزاله بين أي نقطتين من${\displaystyle J}$[ ^{1 ]​}

في عام 1910، وصف إل إي جيه بروير سلسلة متصلة غير قابلة للتحليل، مما دحض فرضية طرحها آرثر موريتز شونفليس مفادها أنه إذا${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle X_{2}}$هي مجموعات مفتوحة، متصلة، ومنفصلة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$بحيث${\displaystyle \partial X_{1}=\partial X_{2}}$، ثم${\displaystyle \partial X_{1}=\partial X_{2}}$يجب أن يكون اتحادًا لمجموعتين جزئيتين مغلقتين ومتصلتين. ^{[ 2 ]} وصف زيجمونت يانيشيفسكي المزيد من هذه المتصلات غير القابلة للتحليل، بما في ذلك شكل مقبض الدلو. مع ذلك، ركز يانيشيفسكي على عدم قابلية اختزال هذه المتصلات. في عام 1917، وصف كونيزو يوناياما بحيرات وادا (المسماة على اسم تاكيو وادا ) التي يكون حدها المشترك غير قابل للتحليل. في عشرينيات القرن العشرين، بدأت مدرسة وارسو للرياضيات بدراسة المتصلات غير القابلة للتحليل في كتابها "Fundamenta Mathematicae" لذاتها، وليس كأمثلة مضادة شاذة. كان ستيفان مازوركيويتش أول من قدم تعريفًا لعدم قابلية التحليل. في عام 1922، وصف برونيسواف كناستر القوس الزائف ، وهو أول مثال تم العثور عليه لمتصل غير قابل للتحليل وراثيًا. ^{[ 3 ]}

غالبًا ما تُبنى المتصلات غير القابلة للتحليل كحدٍّ لتسلسل من التقاطعات المتداخلة، أو (بشكل أعم) كحدٍّ عكسي لتسلسل من المتصلات. يُعتبر متصل براور-جانيشيفسكي-كناستر، أو ما يُعرف بمتصل مقبض الدلو، أبسط مثال على المتصل غير القابل للتحليل، ويمكن بناؤه بهذه الطريقة (انظر أعلى اليمين). أو بدلاً من ذلك، خذ مجموعة كانتور الثلاثية .${\displaystyle {\mathcal {C}}}$تم إسقاطها على الفترة${\displaystyle [0,1]}$التابع${\displaystyle x}$المحور السيني في المستوى. ليكن${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$لتكن عائلة أنصاف الدوائر فوق${\displaystyle x}$المحور السيني مع المركز${\displaystyle (1/2,0)}$ومع نقاط النهاية على${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(وهو متناظر حول هذه النقطة). ليكن${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$لتكن عائلة أنصاف الدوائر الموجودة أسفل${\displaystyle x}$المحور السيني مع مركز نقطة منتصف الفترة${\displaystyle [2/3,1]}$وبنقاط نهاية في${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3,1]}$. يترك${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$لتكن عائلة أنصاف الدوائر الموجودة أسفل${\displaystyle x}$المحور السيني مع مركز نقطة منتصف الفترة${\displaystyle [2/3^{i},3/3^{i}]}$وبنقاط نهاية في${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3^{i},3/3^{i}]}$ثم اتحاد كل هؤلاء${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$هو مقبض الدلو. ^{[ 4 ]}

لا يسمح مقبض الدلو بأي تقاطع بوريل، أي لا توجد مجموعة بوريل تحتوي على نقطة واحدة بالضبط من كل مكون.

بمعنى ما، فإن معظم الأوساط المتصلة غير قابلة للتحليل. لنفترض${\displaystyle M}$كن${\displaystyle n}$-خلية ذات مقياس${\displaystyle d}$،${\displaystyle 2^{M}}$مجموعة جميع المجموعات الفرعية المغلقة غير الفارغة من${\displaystyle M}$، و${\displaystyle C(M)}$الفضاء الفائق لجميع الأعضاء المتصلين بـ${\displaystyle 2^{M}}$مزود بنظام هاوسدورف المتري${\displaystyle H_{d}}$محدد بواسطة${\displaystyle H_{d}(A,B)=\max\{\sup\{d(a,B):a\in A\},\sup\{d(b,A):b\in B\}\}}$ثم مجموعة المتصلات الفرعية غير المنحلة وغير القابلة للتحليل من${\displaystyle M}$كثيف في​${\displaystyle C(M)}$.

في عام ١٩٣٢، وصف جورج بيركوف "منحناه المغلق المذهل"، وهو تماثل شكلي للحلقة يحتوي على متصل ثابت. بيّنت ماري شاربنتييه أن هذا المتصل غير قابل للتحليل، وهو أول رابط بين المتصلات غير القابلة للتحليل والأنظمة الديناميكية. المجموعة الثابتة لخريطة حدوة حصان سميل معينة هي مقبض الدلو. وقد درست مارسي بارج وآخرون المتصلات غير القابلة للتحليل في الأنظمة الديناميكية بشكل موسع. ^{[ ٥ ]}

• عدم قابلية التفكيك (الرياضيات البنائية)
• بحيرات وادا ، ثلاث مجموعات فرعية مفتوحة من المستوى الذي تشكل حدوده سلسلة متصلة غير قابلة للتحليل
• الملف اللولبي
• سجادة سيربينسكي

• سوليكي، س. (2002). "نظرية المجموعات الوصفية في الطوبولوجيا". في: هوسيك، م.؛ فان ميل، ج. (محرران). التقدم الحديث في الطوبولوجيا العامة II . إلسيفير. ص 506-508 . ISBN  978-0-444-50980-2.
• كاسلمان، بيل (2014)، "حول الغلاف" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 61 : 610، 676يشرح ذلك صورة براور لسلسلة متصلة غير قابلة للتحلل تظهر على الغلاف الأمامي للمجلة.