كثير الحدود التربيعي المركب

منذ${\displaystyle f_{c}(x)}$إذا كان مترافقًا خطيًا مع الشكل العام لكثير الحدود التربيعي ، فإنه غالبًا ما يستخدم لدراسة الديناميكيات المعقدة ولإنشاء صور لمجموعات ماندلبروت وجوليا وفاتو .

عندما يرغب المرء في التغيير من${\displaystyle \theta }$ ل${\displaystyle c}$: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle c=c(\theta )={\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\left(1-{\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\right).}$

عندما يرغب المرء في التغيير من${\displaystyle r}$ل${\displaystyle c}$، تحويل المعلمة هو ^{[ 5 ]}

${\displaystyle c=c(r)={\frac {1-(r-1)^{2}}{4}}=-{\frac {r}{2}}\left({\frac {r-2}{2}}\right)}$

والتحويل بين المتغيرات في${\displaystyle z_{t+1}=z_{t}^{2}+c}$و${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t})}$يكون

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right).}$

هناك شبه اقتران بين التحويل الثنائي (خريطة المضاعفة) وحالة كثير الحدود التربيعي لـ c = –2.

هنا${\displaystyle f^{n}}$يشير إلى التكرار رقم n للدالة${\displaystyle f}$:

${\displaystyle f_{c}^{n}(z)=f_{c}^{1}(f_{c}^{n-1}(z))}$

لذا

${\displaystyle z_{n}=f_{c}^{n}(z_{0}).}$

بسبب احتمال حدوث لبس مع عملية الأسس، يكتب بعض المؤلفين${\displaystyle f^{\circ n}}$للتكرار رقم n من${\displaystyle f}$.

الشكل الأحادي والمركزي${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$يمكن تمييزها بواسطة:

• المعلمة${\displaystyle c}$
• الزاوية الخارجية${\displaystyle \theta }$من الشعاع الذي يسقط:
  • عند النقطة c في مجموعة ماندلبروت على مستوى المعلمات
  • حول القيمة الحرجة: z = c في مجموعة جوليا على المستوى الديناميكي

لذا  :

${\displaystyle f_{c}=f_{\theta }}$

${\displaystyle c=c({\theta })}$

أمثلة:

• النقطة c هي نقطة هبوط الشعاع الخارجي 1/6 لمجموعة ماندلبروت ، وهي${\displaystyle z\to z^{2}+i}$(حيث i^2=-1)
• ج هي نقطة هبوط الشعاع الخارجي 5/14 وهي${\displaystyle z\to z^{2}+c}$مع${\displaystyle c=-1.23922555538957+0.412602181602004*i}$

• 
  1/4
• 
  1/6
• 
  9/56
• 
  129/16256

يُستخدم الشكل الأحادي والمركزي، والذي يُطلق عليه أحيانًا عائلة دوادي-هوبارد لكثيرات الحدود التربيعية ، ^{[ 6 ] عادةً مع متغير}${\displaystyle z}$المعامل​${\displaystyle c}$:

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.}$

عند استخدامها كدالة تطور للنظام الديناميكي غير الخطي المنفصل ،

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})}$

وتسمى هذه الخريطة بالخريطة التربيعية : ^{[ 7 ]}

${\displaystyle f_{c}:z\to z^{2}+c.}$

مجموعة ماندلبروت هي مجموعة قيم المعامل c التي لا يؤدي الشرط الأولي z ₀ = 0 إلى تباعد التكرارات إلى ما لا نهاية.

قيمة حاسمة${\displaystyle z_{cv}}$ل${\displaystyle f_{c}}$هي صورة لنقطة حرجة:

${\displaystyle z_{cv}=f_{c}(z_{cr})}$

منذ

${\displaystyle z_{cr}=0}$

لدينا

${\displaystyle z_{cv}=c}$

إذن، المعامل${\displaystyle c}$القيمة الحاسمة لـ${\displaystyle f_{c}(z)}$.

منحنى المستوى الحرج هو منحنى المستوى الذي يحتوي على النقطة الحرجة. وهو بمثابة هيكل أساسي ^{[ 10 ]} للمستوى الديناميكي

مثال: تتقاطع منحنيات المستوى عند نقطة السرج ، وهي نوع خاص من النقاط الحرجة.

• 
  جذب
• 
  جذب
• 
  جذب
• 
  القطع المكافئ
• فيديو لـ c على طول الشعاع الداخلي 0

مجموعة الحدود الحرجة هي مجموعة المدار الأمامي لجميع النقاط الحرجة

يُطلق على المسار الأمامي لنقطة حرجة اسم المسار الحرج . وتُعدّ المسارات الحرجة بالغة الأهمية لأن كل مسار دوري جاذب يجذب نقطة حرجة، لذا فإن دراسة المسارات الحرجة تُساعدنا على فهم الديناميكيات في مجموعة فاتو . ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{1}=f_{c}(z_{0})=c}$

${\displaystyle z_{2}=f_{c}(z_{1})=c^{2}+c}$

${\displaystyle z_{3}=f_{c}(z_{2})=(c^{2}+c)^{2}+c}$

${\displaystyle \ \vdots }$

يقع هذا المدار ضمن دورة دورية جاذبة إن وجدت.

القطاع الحرج هو قطاع من المستوى الديناميكي يحتوي على النقطة الحرجة.

المجموعة الحرجة هي مجموعة من النقاط الحرجة

${\displaystyle P_{n}(c)=f_{c}^{n}(z_{cr})=f_{c}^{n}(0)}$

لذا

${\displaystyle P_{0}(c)=0}$

${\displaystyle P_{1}(c)=c}$

${\displaystyle P_{2}(c)=c^{2}+c}$

${\displaystyle P_{3}(c)=(c^{2}+c)^{2}+c}$

تُستخدم هذه كثيرات الحدود من أجل:

• إيجاد مراكز مكونات مجموعة ماندلبروت هذه ذات الدورة n . المراكز هي جذور كثيرات الحدود الحرجة من الرتبة n

${\displaystyle {\text{centers}}=\{c:P_{n}(c)=0\}}$

• إيجاد جذور مجموعة ماندلبروت، مكونات الدورة n ( الحد الأدنى المحلي لـ${\displaystyle P_{n}(c)}$)
• نقاط ميسوريفيتش

${\displaystyle M_{n,k}=\{c:P_{k}(c)=P_{k+n}(c)\}}$

تُسمى مخططات كثيرات الحدود الحرجة بالمنحنيات الحرجة . ^{[ 14 ]}

تُشكل هذه المنحنيات الهيكل الأساسي (الخطوط الداكنة) لمخطط التشعب . ^{[ 15 ] [ 16 ]}

يمكن استخدام فضاء جوليا-ماندلبروت رباعي الأبعاد (4D) لإجراء تحليل شامل لهذا النظام الديناميكي. ^{[ 17 ]}

يوجد في هذا الفضاء نوعان أساسيان من المستويات ثنائية الأبعاد:

• المستوى الديناميكي (الديناميكي)،${\displaystyle f_{c}}$-المستوى أو ج -المستوى
• مستوى المعلمة أو المستوى z

يوجد أيضًا مستوى آخر يستخدم لتحليل هذه الأنظمة الديناميكية، وهو المستوى w :

• مستوى الاقتران ^{[ 18 ]}
• الطائرة النموذجية ^{[ 19 ]}

مستوى المعلمات ثنائي الأبعاد

• أنواع مستوى المعلمات
• 
  مستوى المعامل r (الخريطة اللوجستية)
• 
  مستوى المعامل c

يُطلق على فضاء الطور للدالة التربيعية اسم مستوى المعاملات . هنا:

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}}$ثابت و${\displaystyle c}$متغير.

لا توجد ديناميكيات ولا مدارات على مستوى المعلمات. ومع ذلك، توجد مجموعة من قيم المعلمات.

يتكون مستوى المعلمات من:

• مجموعة ماندلبروت
  • موضع التشعب = حدود مجموعة ماندلبروت ذات النقاط الجذرية
  • المكونات الزائدية المحدودة لمجموعة ماندلبروت = الجزء الداخلي من مجموعة ماندلبروت ^{[ 20 ]} مع الأشعة الداخلية
• الجزء الخارجي من مجموعة ماندلبروت مع
  • الأشعة الخارجية
  • خطوط تساوي الجهد

إلى جانب المجموعة المذكورة آنفاً، توجد أنواع فرعية عديدة مختلفة لمستوى المعلمات. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

انظر أيضاً  :

• خريطة بوتشر التي ترسم خريطة خارجية لمجموعة ماندلبروت على السطح الخارجي للقرص الوحدوي
• خريطة المضاعف التي تربط الجزء الداخلي للمكون الزائدي لمجموعة ماندلبروت بالجزء الداخلي لقرص الوحدة

المستوى المركب الممتد بالإضافة إلى نقطة عند اللانهاية

• كرة ريمان

على مستوى المعلمات:

• ${\displaystyle c}$متغير
• ${\displaystyle z_{0}=0}$ثابت

المشتق الأول لـ${\displaystyle f_{c}^{n}(z_{0})}$بالنسبة إلى c هو

${\displaystyle z_{n}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0}).}$

يمكن إيجاد هذه المشتقة عن طريق التكرار بدءًا من

${\displaystyle z_{0}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{0}(z_{0})=1}$

ثم استبدالها في كل خطوة متتالية

${\displaystyle z_{n+1}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n+1}(z_{0})=2\cdot {}f_{c}^{n}(z)\cdot {\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0})+1=2\cdot z_{n}\cdot z_{n}'+1.}$

يمكن التحقق من ذلك بسهولة باستخدام قاعدة السلسلة للمشتقة.

تُستخدم هذه المشتقة في طريقة تقدير المسافة لرسم مجموعة ماندلبروت .

على المستوى الديناميكي:

• ${\displaystyle z}$هو متغير؛
• ${\displaystyle c}$ثابت.

عند نقطة ثابتة${\displaystyle z_{0}}$،

${\displaystyle f_{c}'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}(z_{0})=2z_{0}.}$

عند نقطة دورية z ₀ ذات دورة p، تكون المشتقة الأولى لدالة

${\displaystyle (f_{c}^{p})'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}^{p}(z_{0})=\prod _{i=0}^{p-1}f_{c}'(z_{i})=2^{p}\prod _{i=0}^{p-1}z_{i}=\lambda }$

غالباً ما يتم تمثيله بواسطة${\displaystyle \lambda }$ويُشار إليه باسم المُضاعِف أو رقم ليابونوف المميز. ويُعرف لوغاريتمه باسم مُؤَسِّس ليابونوف. وتُستخدم القيمة المطلقة للمُضاعِف للتحقق من استقرار النقاط الدورية (والثابتة أيضًا) .

عند نقطة غير دورية ، تكون المشتقة، التي يُرمز لها بـ${\displaystyle z'_{n}}$يمكن إيجادها من خلال التكرار بدءًا من

${\displaystyle z'_{0}=1,}$

ثم استخدام

${\displaystyle z'_{n}=2*z_{n-1}*z'_{n-1}.}$

تُستخدم هذه المشتقة لحساب المسافة الخارجية إلى مجموعة جوليا.

مشتقة شوارز (SD اختصارًا) للدالة f هي: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle (Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$