جاذب خفي

بالنسبة للمُستقطِب المُثار ذاتيًا، ترتبط منطقة جاذبيته بحالة توازن غير مستقرة، وبالتالي، يُمكن إيجاد المُستقطِبات المُثارة ذاتيًا عدديًا باستخدام إجراء حسابي قياسي، حيث ينجذب مسار، بعد عملية انتقالية، يبدأ من جوار حالة توازن غير مستقرة، إلى حالة التذبذب ثم يتبعها (انظر، على سبيل المثال، عملية التذبذب الذاتي ). وهكذا، يُمكن بسهولة الكشف عن المُستقطِبات المُثارة ذاتيًا، حتى تلك التي تتعايش في حالة تعدد الاستقرار ، وتصويرها عدديًا. في نظام لورنز ، بالنسبة للمعاملات الكلاسيكية، يكون المُستقطِب مُثارًا ذاتيًا بالنسبة لجميع حالات التوازن الموجودة، ويمكن تصويره بواسطة أي مسار من جوارها؛ ومع ذلك، بالنسبة لبعض قيم المعاملات الأخرى، يوجد مُستقطِبان تافهان يتعايشان مع مُستقطِب فوضوي، وهو مُستقطِب مُثار ذاتيًا بالنسبة لحالة التوازن الصفرية فقط. الجاذبون الكلاسيكيون في الأنظمة الديناميكية فان دير بول ، بيلوسوف-زابوتينسكي ، روسلر ، تشوا ، وهينون متحمسون ذاتيًا.

يفترض أن بُعد ليابونوف لجاذب ذاتي الإثارة لا يتجاوز بُعد ليابونوف لأحد التوازنات غير المستقرة، والتي يتقاطع مشعبها غير المستقر مع حوض الجذب ويصور الجاذب. ^{[ 8 ]}

تتميز الجاذبات الخفية بمناطق جذب غير متصلة بنقاط التوازن، وتكون "مخفية" في مكان ما ضمن فضاء الطور. على سبيل المثال، توجد الجاذبات الخفية في الأنظمة التي لا تحتوي على نقاط توازن، مثل الأنظمة الديناميكية الكهروميكانيكية الدوارة مع تأثير سومرفيلد (1902)، وفي الأنظمة التي تحتوي على نقطة توازن واحدة فقط، وهي مستقرة، مثل الأمثلة المضادة لتخمين آيزرمان (1949) وتخمين كالمان (1957) حول أحادية استقرار أنظمة التحكم غير الخطية. من أوائل المشكلات النظرية ذات الصلة الجزء الثاني من مسألة هيلبرت السادسة عشرة حول عدد وتوزيع الدورات الحدية في أنظمة متعددة الحدود ثنائية الأبعاد، حيث تمثل الدورات الحدية المستقرة المتداخلة جاذبات دورية خفية. وقد أصبح مفهوم الجاذب الخفي حافزًا لاكتشاف الجاذبات الخفية في العديد من النماذج الديناميكية التطبيقية. ^{[ 1 ] [ 9 ] [ 10 ]}

بشكل عام، تكمن مشكلة الجاذبات الخفية في عدم وجود طرق عامة مباشرة لتتبع أو التنبؤ بهذه الحالات في ديناميكيات النظام (انظر، على سبيل المثال، ^{[ 11 ]} ). في حين أنه يمكن دراسة التذبذبات الخفية في الأنظمة ثنائية الأبعاد باستخدام الطرق التحليلية (انظر، على سبيل المثال، نتائج الجزء الثاني من مسألة هيلبرت السادسة عشرة )، فإن دراسة الاستقرار والتذبذبات في الأنظمة غير الخطية المعقدة متعددة الأبعاد تعتمد غالبًا على الطرق العددية. في حالة الأنظمة متعددة الأبعاد، من غير المرجح أن يوفر تكامل المسارات مع بيانات أولية عشوائية تحديدًا لموقع الجاذب الخفي، نظرًا لأن حوض الجذب قد يكون صغيرًا جدًا، وقد يكون بُعد الجاذب نفسه أقل بكثير من بُعد النظام المدروس. لذا، يتطلب التحديد العددي لمواقع الجاذبات الخفية في الفضاء متعدد الأبعاد تطوير إجراءات حسابية تحليلية-عددية خاصة، ^{[ 1 ] [ 12 ] [ 8 ]} تسمح باختيار البيانات الأولية في نطاق جاذبية التذبذب الخفي (الذي لا يحتوي على جوارات نقاط التوازن)، ثم إجراء حساب المسار. توجد طرق فعالة مقابلة تعتمد على التماثل والاستمرار العددي : حيث يتم بناء سلسلة من الأنظمة المتشابهة، بحيث يمكن الحصول على البيانات الأولية للحساب العددي لحل متذبذب (التذبذب الابتدائي) للنظام الأول (الابتدائي) تحليليًا، ثم يتم تتبع تحول هذا التذبذب الابتدائي عدديًا عند الانتقال من نظام إلى آخر.