مجموعة الحدود

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 39 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وخاصةً في دراسة الأنظمة الديناميكية ، تُعرف مجموعة النهايات بأنها الحالة التي يصل إليها النظام الديناميكي بعد مرور فترة زمنية لا نهائية، سواءً بالتقدم أو التراجع في الزمن. تكتسب مجموعات النهايات أهميةً بالغةً لأنها تُستخدم لفهم السلوك طويل الأمد للنظام الديناميكي. ويُقال إن النظام الذي يصل إلى مجموعة نهاياته يكون في حالة توازن .

الأنواع

بشكل عام، يمكن أن تكون مجموعات الحدود معقدة للغاية كما هو الحال في حالة الجاذبات الغريبة ، ولكن بالنسبة للأنظمة الديناميكية ثنائية الأبعاد، توفر نظرية بوانكاريه-بنديكسون توصيفًا بسيطًا لجميع المجموعات غير الفارغة والمتراصة.ω{\displaystyle \omega }- مجموعات الحد التي تحتوي على عدد محدود من النقاط الثابتة على الأكثر كنقطة ثابتة، أو مدار دوري، أو اتحاد من النقاط الثابتة والمدارات المتماثلة أو غير المتماثلة التي تربط تلك النقاط الثابتة.

تعريف الدوال المتكررة

يتركX{\displaystyle X}ليكن فضاءً متريًا ، وليكن و:X→X{\displaystyle f:X\rightarrow X}أن تكون دالة متصلة .ω{\displaystyle \omega }مجموعة حدودية منx∈X{\displaystyle x\in X}، ويرمز إليه بـω(x،و){\displaystyle \omega (x,f)}، هي مجموعة نقاط التجمع للمدار الأمامي{ون(x)}ن∈شمال{\displaystyle \{f^{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} }}من الدالة المتكررةو{\displaystyle f}[ 1 ] ومن ثم ،y∈ω(x،و){\displaystyle y\in \omega (x,f)}إذا وفقط إذا كانت هناك متتالية متزايدة تمامًا من الأعداد الطبيعية {نك}ك∈شمال{\displaystyle \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}بحيث ونك(x)→y{\displaystyle f^{n_{k}}(x)\rightarrow y}مثلك→∞{\displaystyle k\rightarrow \infty }وهناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك وهي

ω(x،و)=⋂ن∈شمال{وك(x):ك>ن}¯،{\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{f^{k}(x):k>n\}}},}

أينS¯{\displaystyle {\overline {S}}}يشير إلى إغلاق المجموعةS{\displaystyle S}النقاط الموجودة في مجموعة النهاية غير متجولة (لكنها قد لا تكون نقاطًا متكررة ). ويمكن صياغة ذلك أيضًا على أنه النهاية الخارجية ( limsup ) لتسلسل من المجموعات، بحيث

ω(x،و)=⋂ن=1∞⋃ك=ن∞{وك(x)}¯.{\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\overline {\bigcup _{k=n}^{\infty }\{f^{k}(x)\}}}.}

لوو{\displaystyle f}إذا كان تماثلًا شكليًا (أي تقابلًا ثنائي الاستمرارية)، فإنα{\displaystyle \alpha }يتم تعريف مجموعة الحدود بطريقة مماثلة، ولكن بالنسبة للمدار العكسي؛ أيα(x،و)=ω(x،و-1){\displaystyle \alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})}.

كلا المجموعتين هماو{\displaystyle f}ثابت، وإذاX{\displaystyle X}مضغوطة ، فهي مضغوطة وغير فارغة.

تعريف التدفقات

بالنظر إلى نظام ديناميكي حقيقي(تي،X،φ){\displaystyle (T,X,\varphi )}مع التدفقφ:R×X→X{\displaystyle \varphi نقطة ​x{\displaystyle x}نسمي هذه النقطةy{\displaystyle y}أنω{\displaystyle \omega }- نقطة الحد لـx{\displaystyle x}إذا كان هناك تسلسل(تن)ن∈شمال{\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}فيR{\displaystyle \mathbb {R} }لهذا السبب.

ليمن→∞تن=∞{\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=\infty }
ليمن→∞φ(تن،x)=y{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}.

بالنسبة للمدارγ{\displaystyle \gamma }ل(تي،X،φ){\displaystyle (T,X,\varphi )}نقول ذلكy{\displaystyle y}هوω{\displaystyle \omega }- نقطة الحد لـγ{\displaystyle \gamma }، إذا كانω{\displaystyle \omega }- نقطة النهاية لنقطة ما على المدار.

وبالمثل نسميy{\displaystyle y}أنα{\displaystyle \alpha }- نقطة الحد لـx{\displaystyle x}إذا كان هناك تسلسل(تن)ن∈شمال{\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}فيR{\displaystyle \mathbb {R} }لهذا السبب.

ليمن→∞تن=-∞{\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=-\infty }
ليمن→∞φ(تن،x)=y{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}.

بالنسبة للمدارγ{\displaystyle \gamma }ل(تي،X،φ){\displaystyle (T,X,\varphi )}نقول ذلكy{\displaystyle y}هوα{\displaystyle \alpha }- نقطة الحد لـγ{\displaystyle \gamma }، إذا كانα{\displaystyle \alpha }- نقطة النهاية لنقطة ما على المدار.

مجموعة الكلω{\displaystyle \omega }- نقاط الحد (α{\displaystyle \alpha }(نقاط الحد) لمدار معينγ{\displaystyle \gamma }يُطلق عليه اسم ω{\displaystyle \omega }- مجموعة الحدود (α{\displaystyle \alpha }- مجموعة الحدود ) لـγ{\displaystyle \gamma }ورمزت إلىليمωγ{\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }(ليمαγ{\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }).

إذاω{\displaystyle \omega }- تم تحديد الحد (α{\displaystyle \alpha }مجموعة الحدود (-limit set) منفصلة عن المدارγ{\displaystyle \gamma }، إنهليمωγ∩γ=∅{\displaystyle \lim _{\omega }\gamma \cap \gamma =\varnothing }(ليمαγ∩γ=∅{\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma \cap \gamma =\varnothing }نسميليمωγ{\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }(ليمαγ{\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }) دورة ω-الحد ( دورة α-الحد ).

أو يمكن تعريف مجموعات الحدود على النحو التالي:

ليمωγ:=⋂s∈R{φ(x،ت):ت>s}¯{\displaystyle \lim _{\omega }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t>s\}}}}

و

ليمαγ:=⋂s∈R{φ(x،ت):ت<s}¯.{\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t<s\}}}.}

أمثلة

  • لأي مدار دوريγ{\displaystyle \gamma }لنظام ديناميكي،ليمωγ=ليمαγ=γ{\displaystyle \lim _{\omega }\gamma =\lim _{\alpha }\gamma =\gamma }
  • لأي نقطة ثابتةx0{\displaystyle x_{0}}لنظام ديناميكي،ليمωx0=ليمαx0=x0{\displaystyle \lim _{\omega }x_{0}=\lim _{\alpha }x_{0}=x_{0}}

ملكيات

  • ليمωγ{\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }وليمαγ{\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }مغلق​
  • لوX{\displaystyle X}مضغوطة إذنليمωγ{\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }وليمαγ{\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }غير فارغة ، ومضغوطة ، ومتصلة
  • ليمωγ{\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }وليمαγ{\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }نكونφ{\displaystyle \varphi }ثابت، أيφ(R×ليمωγ)=ليمωγ{\displaystyle \varphi (\mathbb {R} \times \lim _{\omega }\gamma )=\lim _{\omega }\gamma }وφ(R×ليمαγ)=ليمαγ{\displaystyle \varphi (\mathbb {R} \times \lim _{\alpha }\gamma )=\lim _{\alpha }\gamma }

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أليغود، كاثلين ت.؛ ساور، تيم د.؛ يورك، جيمس أ. (1996). الفوضى، مقدمة في الأنظمة الديناميكية . سبرينغر.

للمزيد من القراءة

تتضمن هذه المقالة مواد من مجموعة Omega-limit على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .