التباين الثاني

في حساب التفاضل والتكامل ، يوسع التغير الثاني فكرة اختبار المشتقة الثانية لتشمل الدوال . ^{[ 1 ]} وكما هو الحال بالنسبة للدوال ، عند نقطة ثابتة حيث تكون المشتقة الأولى صفرًا، تحدد المشتقة الثانية طبيعة النقطة الثابتة؛ فقد تكون سالبة (إذا كانت النقطة نقطة عظمى )، أو موجبة (إذا كانت نقطة صغرى )، أو صفرًا (إذا كانت نقطة سرجية ).

من خلال الدالة الثانية، يمكن اشتقاق شروط ضرورية قوية لحل مسائل حساب التفاضل والتكامل، مثل شرط ليجندر-كليبش وشرط جاكوبي الضروري المفصل أدناه. ^{[ 2 ]}

يعتمد جزء كبير من حساب التفاضل والتكامل على التغير الأول ، وهو تعميم للمشتقة الأولى إلى دالة. ^{[ 3 ]} ومن أمثلة فئة مسائل حساب التفاضل والتكامل إيجاد الدالة${\displaystyle y}$مما يقلل التكامل​

$${\displaystyle J[y]=\int _{a}^{b}f(x,y,y')dx}$$

في الفترة${\displaystyle [a,b]}$؛${\displaystyle J}$هنا دالة وظيفية ( دالة تأخذ دالة وتعيد قيمة عددية ). من المعروف أن أي دالة سلسة${\displaystyle y}$والتي تقلل من هذه الدالة تحقق معادلة أويلر-لاغرانج

$${\displaystyle f_{y}-{\frac {d}{dx}}f_{y'}=0.}$$

هذه الحلول ثابتة ، ولكن لا يوجد ما يضمن أنها تمثل نوع القيمة القصوى المطلوبة (تمامًا كما هو الحال مع المشتقة الأولى، قد تكون قيمة صغرى أو عظمى أو نقطة سرجية ). ويمكن التأكد من أن الحل قيمة صغرى عن طريق اختبار باستخدام المتغير الثاني.

اتخذ أقصى${\displaystyle y}$متسلسلة تايلور للدالة التكاملية للدالة التباينية حول نقطة قريبة${\displaystyle y+\varepsilon h}$أين${\displaystyle \varepsilon }$صغير و${\displaystyle h}$هي دالة سلسة تساوي صفرًا عند${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$يكون

$${\displaystyle f(x,y,y')=f(x,y,y')+\varepsilon (hf_{y}+h'f_{y'})+{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}(h^{2}f_{yy}+2hh'f_{yy'}+h'^{2}f_{y'y'})+O(\varepsilon ^ {3}).}$$

الحد الأول من المتسلسلة هو التغير الأول ، والحد الثاني هو التغير الثاني:

$${\displaystyle \delta ^{2}J(h,y):=\int _{a}^{b}h^{2}f_{yy}+2hh'f_{yy'}+f_{y'y'}h'^{2}.}$$

ويمكن بعد ذلك إثبات أن${\displaystyle J}$يوجد حد أدنى محلي عند${\displaystyle y_{0}}$إذا كانت ثابتة (أي أن التغير الأول يساوي صفرًا) و${\displaystyle \delta ^{2}J(h,y_{0})\geq 0}$للجميع${\displaystyle h}$[ ^{4 ]​}

على سبيل المثال، يمكن تمثيل مشكلة إيجاد المسار الجيوديسي (أقصر مسار) بين نقطتين على الكرة على أنها مشكلة تباينية مع دالة ^{[ 3 ].}

$${\displaystyle J[y]=\int _{0}^{b}{\sqrt {\cos ^{2}y+y'^{2}}}dx.}$$

خط استواء الكرة الأرضية،${\displaystyle y=0}$يقلل من هذه الوظيفة مع${\displaystyle f_{y'y'}=1>0}$بالنسبة لهذه المسألة، فإن معادلة جاكوبي التفاضلية هي

$${\displaystyle h''+h=0}$$

والتي لها حلول${\displaystyle h=A\sin(x)+B\cos(x)}$إذا كان الحل يحقق${\displaystyle h(0)=0}$إذن يجب أن يكون له الشكل التالي${\displaystyle h=A\sin(x)}$هذه الدوال لها أصفار عند${\displaystyle k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$وبالتالي، فإن خط الاستواء لا يمثل حلاً إلا إذا${\displaystyle b<\pi }$.

هذا منطقي بديهيًا؛ فإذا رسمنا دائرة عظمى تمر بنقطتين على الكرة، فسيكون هناك مساران بينهما، أحدهما أطول من الآخر.${\displaystyle b>\pi }$ثم نقطع نصف المسافة حول الدائرة للوصول إلى النقطة الأخرى، وسيكون الوصول إلى هناك أسرع في الاتجاه الآخر.