خط متساوي الخواص

في هندسة الأشكال التربيعية ، يُعرف الخط المتساوي الخواص أو الخط الصفري بأنه خط يكون فيه متجه الإزاحة بين أي نقطتين على طوله مساوياً للصفر عند تطبيق الشكل التربيعي عليه. ولا يوجد خط متساوي الخواص إلا مع شكل تربيعي متساوي الخواص ، ولا يوجد أبداً مع شكل تربيعي محدد .

باستخدام الهندسة المعقدة ، اقترح إدموند لاغير لأول مرة وجود خطين متساويي الخواص يمران بالنقطة ( α ، β ) ويعتمدان على الوحدة التخيلية i : ^{[ 1 ]}

النظام الأول:${\displaystyle (y-\beta )=(x-\alpha )i,}$

الأنظمة الثانية:${\displaystyle (y-\beta )=-i(x-\alpha ).}$

ثم فسر لاغير هذه الخطوط على أنها خطوط جيوديسية :

من الخصائص الأساسية للخطوط المتناحية، والتي يمكن استخدامها لتعريفها، ما يلي: المسافة بين أي نقطتين على خط متناحٍ تقعان على مسافة محدودة في المستوى تساوي صفرًا. بعبارة أخرى، تحقق هذه الخطوط المعادلة التفاضلية d s ² = 0. على أي سطح، يمكن دراسة المنحنيات التي تحقق هذه المعادلة التفاضلية؛ هذه المنحنيات هي الخطوط الجيوديسية للسطح، ونسميها أيضًا خطوطًا متناحية . ^{[ 1 ] : 90}

في المستوى الإسقاطي المركب ، تُمثل النقاط بإحداثيات متجانسة${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$والخطوط ذات الإحداثيات المتجانسة${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$. الخط المتساوي الخواص في المستوى الإسقاطي المركب يحقق المعادلة: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle a_{3}(x_{2}\pm ix_{1})=(a_{2}\pm ia_{1})x_{2}.}$

بالنسبة للفضاء الجزئي الأفيني x ₃ = 1 ، فإن الخط المتساوي الخواص المار بنقطة الأصل هو

${\displaystyle x_{2}=\pm ix_{1}.}$

في الهندسة الإسقاطية، تكون الخطوط المتساوية الخواص هي تلك التي تمر عبر النقاط الدائرية عند اللانهاية .

في الهندسة المتعامدة الحقيقية لإميل أرتين ، تظهر الخطوط المتساوية الخواص في أزواج:

يُطلق على المستوى غير المنفرد الذي يحتوي على متجه متساوي الخواص اسم المستوى الزائدي . ويمكن دائمًا توليده بواسطة زوج من المتجهات n و m التي تحقق${\displaystyle {\mathbf {n}}^{2}={\mathbf {m}}^{2}=0,\quad {\mathbf {nm}}=1.}$

سنُطلق على أي زوج مرتب من هذا القبيل n ، m اسم الزوج الزائدي. إذا كان V مستوىً غير شاذ ذو هندسة متعامدة، وكان n ≠ 0 متجهًا متناحٍ في V ، فإنه يوجد متجه m واحد فقط في V بحيث يكون n ، m زوجًا زائديًا. عندئذٍ، يكون المتجهان x_n و y_m هما المتجهان المتناحيان الوحيدان في V. ^{[ 3 ]}

استُخدمت الخطوط المتناحية في الكتابات الكونية لنقل الضوء. فعلى سبيل المثال، في موسوعة رياضية، يتكون الضوء من فوتونات : " خط العالم لكتلة سكون صفرية (مثل نموذج غير كمي للفوتون وجسيمات أولية أخرى كتلتها صفر) هو خط متناحٍ." ^{[ 4 ]} بالنسبة للخطوط المتناحية التي تمر بنقطة الأصل، تُعتبر أي نقطة متجهًا صفريًا ، وتشكل مجموعة جميع هذه الخطوط المتناحية مخروط الضوء عند نقطة الأصل.

قام إيلي كارتان بتوسيع مفهوم الخطوط المتناحية إلى المتجهات المتعددة في كتابه عن السبينورات في ثلاثة أبعاد . ^{[ 5 ]}

• بيت إل. كلارك، الأشكال التربيعية الفصل الأول: نظرية ويتس من جامعة ميامي في كورال جابلز، فلوريدا .
• أو. تيموثي أوميرا (1963، 2000) مقدمة في الأشكال التربيعية ، صفحة 94