الاتصال الإسقاطي

في الهندسة التفاضلية ، يُعرَّف الاتصال الإسقاطي بأنه بنية هندسية على مشعب قابل للتفاضل ، تُحدد فئة مميزة من المنحنيات تُسمى الجيوديسيات ، وذلك حتى إعادة التحديد الإسقاطي. وبصورة مكافئة، في إحدى الصيغ الشائعة، يُعطى هذا الاتصال بفئة تكافؤ من الاتصالات الأفينية الخالية من الالتواء والتي لها نفس الجيوديسيات غير المُعَلمة.

تُصاغ الوصلات الإسقاطية على أساس هندسة الفضاء الإسقاطي . وبتعبير حديث، يمكن وصفها بأنها وصلات كارتان مصاغة على أساس الفضاء الإسقاطي؛ وفي الحالة الطبيعية الخالية من الالتواء، يكون هذا الوصف الهندسي الكارتاني مكافئًا للوصف الكلاسيكي بواسطة وصلات أفينية متكافئة إسقاطيًا.

بخلاف الاتصال الريماني أو شبه الريماني، لا يحدد الاتصال الإسقاطي مفهوم الطول أو الزاوية أو المسافة. بل إن مرجعه الهندسي الأساسي هو مفهوم الاستقامة: فهو يحدد أي المنحنيات تُعتبر جيوديسية، متجاهلاً المعامل الأفيني لتلك المنحنيات.

تتمثل الخطوة الأولى في تعريف أي اتصال كارتان في النظر في الحالة المسطحة: حيث يتوافق الاتصال مع شكل ماورر-كارتان على فضاء متجانس .

في الإطار الإسقاطي، يكون التشعب الأساسي${\displaystyle M}$الفضاء المتجانس هو الفضاء الإسقاطي RP ⁿ الذي سنمثله بالإحداثيات المتجانسة${\displaystyle [x_{0},\dots ,x_{n}]}$مجموعة التناظر لـ${\displaystyle M}$هي G = PSL( n + 1, R ). ^{[ 1 ]} ولتكن H مجموعة التناظر للنقطة${\displaystyle [1,0,0,\ldots ,0]}$وبالتالي، فإن M = G / H يمثل${\displaystyle M}$كمساحة متجانسة.

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي لـ G ، و${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ذلك الخاص بـ H. لاحظ أن${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}{\mathfrak {l}}(n+1,{\mathbb {R} })}$. كمصفوفات بالنسبة للأساس المتجانس ،${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتكون من مواد خالية من الآثار${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$المصفوفات:

$\begin{matrix}\lambda \in \mathbb{R}^{1\times n}, \end{matrix}\right), \quad \in \mathbb{R}^{1\times n}, \end{matrix}\right), \quad \in \mathbb{R}^{1\times n}, \end{matrix}\right), \quad \in \mathbb{R}^{1\times n}, \end{mathbb{R}^{n ...$.

و${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$يتكون من جميع هذه المصفوفات مع${\displaystyle (w_{j})=0}$بالنسبة لتمثيل المصفوفة أعلاه، فإن شكل ماورر-كارتان لـ G هو نظام من الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى.${\displaystyle (\xi ,\alpha _{j},\alpha _{j}^{i},\alpha ^{i})}$تحقيق المعادلات الهيكلية (المكتوبة باستخدام اصطلاح جمع أينشتاين ): ^{[ 2 ]}

${\displaystyle d\xi +\alpha ^{i}\wedge \alpha _{i}=0}$

${\displaystyle d\alpha _{j}+\alpha _{j}\wedge \xi +\alpha _{j}^{k}\wedge \alpha _{k}=0}$

${\displaystyle d\alpha _{j}^{i}+\alpha ^{i}\wedge \alpha _{j}+\alpha _{k}^{i}\wedge \alpha _{j}^{k}=0}$

${\displaystyle d\alpha ^{i}+\xi \wedge \alpha ^{i}+\alpha ^{k}\wedge \alpha _{k}^{i}=0}$^{[ 3 ]}

البنية الإسقاطية هي هندسة خطية على متشعب، حيث يتم توصيل نقطتين متجاورتين بخط (أي، مسار جيوديسي غير مُعامل ) بطريقة فريدة. علاوة على ذلك، يتم تزويد جوار متناهي الصغر لكل نقطة بفئة من الأطر الإسقاطية . وفقًا لكارتان (1924)،

التنوع (أو الفضاء) المتصل بالعرض هو نوع رقمي يقدم فورًا كل نقطة من شخصيات مشروع الفضاء المسقط بالإضافة إلى اثنين من قواطع المضرب في مساحة واحدة تعرض اثنين من الحفر الصغيرة التي تحيط بها نقطتان infiniment voisins. ...

التحليل، حسب الاختيار، هو طريقة اختيارية للخيارات، في مساحة إسقاطية ملحقة بكل نقطة على حدة، وهي طريقة تحدد نظامًا منسقًا إسقاطيًا. ... التوافق بين المساحات المسقطة المرفقة في نقطتين لا تنتهي من الأصوات ويتم تحليلها من خلال التحول المتماثل. ... ^{[ 4 ]}

وهذا يشبه مفهوم كارتان للاتصال الأفيني ، حيث يتم ربط النقاط القريبة ولها إطار مرجعي أفيني يتم نقله من نقطة إلى أخرى (كارتان، 1923):

سيكون التنوع بمثابة "اتصال تقاربي" عندما يتم تحديد هالة، من خلال طريقة تحكيمية للتحركات، وهي طريقة تسمح بإعادة العلاقات على قدم المساواة مع جميع المساحات الملحقة بنقطتين لا نهاية لأصواتهما م وآخرين من لا متنوعة؛ هذا القانون يسمح لك بأن تكون نقطة الفضاء المرتبطة بالنقطة m متوافقة مع نقطة الفضاء القريبة المرتبطة بالنقطة m ، وأن ناقل الفضاء الأول موازي أو متساوٍ لمتجه الفضاء الثاني. ^{[ 5 ]}

بلغة العصر الحديث، يُعرَّف البناء الإسقاطي على متعدد الشعب ذي البعد n، M، بأنه هندسة كارتان مُنمذجة على فضاء إسقاطي، حيث يُنظر إلى الأخير على أنه فضاء متجانس لـ PSL( n +1, R ). بعبارة أخرى، هو حزمة PSL( n +1, R ) مزودة بـ

• اتصال PSL( n +1, R ) ( اتصال كارتان )
• اختزال مجموعة البنية إلى مُثبِّت نقطة في الفضاء الإسقاطي

بحيث يكون شكل اللحام الناتج عن هذه البيانات متماثلاً.

• لوميست (2001) [1994]، "الاتصال الإسقاطي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS