دالة خطية موجبة

في الرياضيات ، وتحديدًا في التحليل الوظيفي ، دالة خطية موجبة على فضاء متجهي مرتب${\displaystyle (V,\leq )}$دالة خطية${\displaystyle f}$على${\displaystyle V}$بحيث يكون ذلك لجميع العناصر الموجبة${\displaystyle v\in V,}$إنه${\displaystyle v\geq 0,}$وهذا يعني أن $${\displaystyle f(v)\geq 0.}$$

بمعنى آخر، يضمن أن تأخذ الدالة الخطية الموجبة قيمًا غير سالبة للعناصر الموجبة. وتكمن أهمية الدوال الخطية الموجبة في نتائج مثل نظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكوتاني .

متى${\displaystyle V}$إذا كان فضاءً متجهيًا معقدًا ، فمن المفترض أن يكون لكل${\displaystyle v\geq 0,}$${\displaystyle f(v)}$حقيقي. كما في الحالة عندما${\displaystyle V}$هي جبر C* مع فضاء جزئي مرتب جزئيًا من العناصر ذاتية الترافق، وفي بعض الأحيان يتم وضع ترتيب جزئي على فضاء جزئي فقط${\displaystyle W\subseteq V,}$ولا يشمل الترتيب الجزئي جميع${\displaystyle V,}$وفي هذه الحالة، العناصر الإيجابية لـ${\displaystyle V}$هي العناصر الإيجابية لـ${\displaystyle W,}$عن طريق إساءة استخدام الترميز. وهذا يعني أنه بالنسبة لجبر C*، فإن الدالة الخطية الموجبة ترسل أي${\displaystyle x\in V}$يساوي${\displaystyle s^{\ast }s}$بالنسبة للبعض${\displaystyle s\in V}$إلى عدد حقيقي، وهو ما يساوي مرافقه المركب، وبالتالي فإن جميع الدوال الخطية الموجبة تحافظ على خاصية الترافق الذاتي لمثل هذا العدد.${\displaystyle x.}$يتم استغلال هذه الخاصية في بناء GNS لربط الدوال الخطية الموجبة على جبر C* بالمنتجات الداخلية .

توجد فئة كبيرة نسبياً من فضاءات المتجهات الطوبولوجية المرتبة التي يكون فيها كل شكل خطي موجب متصلاً بالضرورة. ^{[ 1 ]} ويشمل ذلك جميع شبكات المتجهات الطوبولوجية الكاملة تسلسلياً . ^{[ 1 ]}

نظرية: ليكن${\displaystyle X}$ليكن فضاء متجهي طوبولوجي مرتب ذو مخروط موجب${\displaystyle C\subseteq X}$ودع${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$تشير إلى عائلة جميع المجموعات الجزئية المحدودة من${\displaystyle X.}$ عندئذٍ، يكون كل شرط من الشروط التالية كافياً لضمان أن كل دالة خطية موجبة على${\displaystyle X}$متصل:

1. ${\displaystyle C}$له باطن طوبولوجي غير فارغ (في${\displaystyle X}$). ^{[ 1 ]}
2. ${\displaystyle X}$كاملة وقابلة للقياس و​${\displaystyle X=CC.}$^{[ 1 ]}
3. ${\displaystyle X}$هو علم المواليد و${\displaystyle C}$هو نظام صارم شبه كامل${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-مخروط في${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}
4. ${\displaystyle X}$هو الحد الاستقرائي للعائلة${\displaystyle \left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$فضاءات فريشيه المرتبة بالنسبة إلى عائلة من التطبيقات الخطية الموجبة حيث${\displaystyle X_{\alpha }=C_{\alpha }-C_{\alpha }}$للجميع${\displaystyle \alpha \in A,}$أين${\displaystyle C_{\alpha }}$هو المخروط الموجب لـ${\displaystyle X_{\alpha }.}$^{[ 1 ]}

تعود النظرية التالية إلى هـ. باور، وبشكل مستقل، إلى ناميوكا. ^{[ 1 ]}

النظرية : ^{[ 1 ]} ليكن${\displaystyle X}$ليكن فضاء متجهي طوبولوجي مرتب (TVS) ذو مخروط موجب${\displaystyle C,}$يترك${\displaystyle M}$ليكن فضاءً متجهيًا جزئيًا من${\displaystyle E,}$ودع${\displaystyle f}$ليكن شكلاً خطياً على${\displaystyle M.}$ثم${\displaystyle f}$لها امتداد إلى شكل خطي موجب مستمر على${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا وُجدت جوار محدب${\displaystyle U}$ل${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle \operatorname {Re} f}$يحدها من الأعلى${\displaystyle M\cap (UC).}$

النتيجة : ^{[ 1 ]} ليكن${\displaystyle X}$ليكن فضاء متجهي طوبولوجي مرتب ذو مخروط موجب${\displaystyle C,}$يترك${\displaystyle M}$ليكن فضاءً متجهيًا جزئيًا من${\displaystyle E.}$لو${\displaystyle C\cap M}$يحتوي على نقطة داخلية من${\displaystyle C}$ثم كل شكل خطي موجب مستمر على${\displaystyle M}$لها امتداد إلى شكل خطي موجب مستمر على${\displaystyle X.}$

النتيجة : ^{[ 1 ]} ليكن${\displaystyle X}$ليكن فضاء متجهي مرتب ذو مخروط موجب${\displaystyle C,}$يترك${\displaystyle M}$ليكن فضاءً متجهيًا جزئيًا من${\displaystyle E,}$ودع${\displaystyle f}$ليكن شكلاً خطياً على${\displaystyle M.}$ثم${\displaystyle f}$لها امتداد إلى شكل خطي موجب على${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا وُجدت مجموعة جزئية محدبة ماصة${\displaystyle W}$في${\displaystyle X}$يحتوي على أصل${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle \operatorname {Re} f}$يحدها من الأعلى${\displaystyle M\cap (WC).}$

الدليل: يكفي أن تُمنح${\displaystyle X}$بفضل أفضل طوبولوجيا محدبة محليًا${\displaystyle W}$إلى حي من${\displaystyle 0\in X.}$

لنأخذ مثالاً على${\displaystyle V,}$الجبر C* للمصفوفات المربعة المركبة ، حيث تكون العناصر الموجبة هي المصفوفات الموجبة المحددة . دالة الأثر المعرفة على هذا الجبر C* هي دالة موجبة، لأن القيم الذاتية لأي مصفوفة موجبة محددة موجبة، وبالتالي فإن أثرها موجب.

ضع في اعتبارك فضاء ريز${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X)}$جميع الدوال المركبة المستمرة ذات الدعم المدمج على فضاء هاوسدورف المدمج محليًا${\displaystyle X.}$لنفترض مقياس بوريل المنتظم${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle X,}$ووظيفي${\displaystyle \psi }$محدد بواسطة$${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad {\text{ لكل }}f\in \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X).}$$إذن، هذه الدالة موجبة (تكامل أي دالة موجبة هو عدد موجب). علاوة على ذلك، فإن أي دالة موجبة على هذا الفضاء تأخذ هذا الشكل، كما يتضح من نظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكوتاني .

يترك${\displaystyle M}$أن تكون جبر C* (بشكل أعم، نظام مؤثرات في جبر C*)${\displaystyle A}$) مع الهوية${\displaystyle 1.}$يترك${\displaystyle M^{+}}$يرمز إلى مجموعة العناصر الموجبة في${\displaystyle M.}$

دالة خطية${\displaystyle \rho }$على${\displaystyle M}$يُقال إنها إيجابية إذا${\displaystyle \rho (a)\geq 0,}$للجميع${\displaystyle a\in M^{+}.}$

نظرية. دالة خطية${\displaystyle \rho }$على${\displaystyle M}$تكون النتيجة موجبة إذا وفقط إذا${\displaystyle \rho }$محدد و${\displaystyle \|\rho \|=\rho (1).}$^{[ 2 ]}

مساحة معينة${\displaystyle C}$يمكن النظر إلى نظام الأسعار على أنه دالة خطية موجبة مستمرة على${\displaystyle C}$.

• عنصر إيجابي – مجموعة ذات ترتيب جزئي متوافق ، صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• المؤثر الخطي الموجب – مفهوم في التحليل الوظيفي 

• كاديسون، ريتشارد ، أساسيات نظرية جبر المؤثرات، المجلد الأول  : النظرية الأولية ، الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0821808191.
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .