مؤثر خطي موجب

في الرياضيات ، وتحديداً في التحليل الوظيفي ، هو مؤثر خطي موجب من فضاء متجهي مرتب مسبقاً${\displaystyle (X,\leq )}$إلى فضاء متجهي مرتب مسبقًا${\displaystyle (Y,\leq )}$هو مؤثر خطي${\displaystyle f}$على${\displaystyle X}$داخل${\displaystyle Y}$بحيث يكون ذلك لجميع العناصر الموجبة${\displaystyle x}$ل${\displaystyle X,}$إنه${\displaystyle x\geq 0,}$وهذا يعني أن${\displaystyle f(x)\geq 0.}$ بمعنى آخر، يقوم عامل خطي موجب بتحويل المخروط الموجب للمجال إلى المخروط الموجب للمجال المقابل .

كل دالة خطية موجبة هي نوع من أنواع المؤثرات الخطية الموجبة. وتكمن أهمية المؤثرات الخطية الموجبة في نتائج مثل نظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكوتاني .

دالة خطية${\displaystyle f}$يُطلق على الفضاء المتجهي المرتب مسبقًا اسم موجب إذا استوفى أحد الشرطين المتكافئين التاليين:

1. ${\displaystyle x\geq 0}$يشير إلى${\displaystyle f(x)\geq 0.}$
2. لو${\displaystyle x\leq y}$ثم${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$^{[ 1 ]}

مجموعة جميع الأشكال الخطية الموجبة على فضاء متجهي ذي مخروط موجب${\displaystyle C,}$يُطلق عليه اسم المخروط المزدوج ويُرمز إليه بـ${\displaystyle C^{*},}$هو مخروط يساوي القطب لـ${\displaystyle -C.}$ الترتيب المسبق الناتج عن المخروط المزدوج على فضاء الدوال الخطية على${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسمطلب مسبق مزدوج . ^{[ 1 ]}

الفضاء الثنائي المرتب لفضاء متجهي مرتب${\displaystyle X}$هي المجموعة، ويرمز لها بـ${\displaystyle X^{+},}$محدد بواسطة${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}$

يترك${\displaystyle (X,\leq )}$و${\displaystyle (Y,\leq )}$لتكن فضاءات متجهة مرتبة مسبقًا ولتكن${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$ليكن فضاء جميع التحويلات الخطية من${\displaystyle X}$داخل${\displaystyle Y.}$ المجموعة${\displaystyle H}$من بين جميع المؤثرات الخطية الموجبة في${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$هو مخروط في${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$هذا يحدد الطلب المسبق على${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$. لو${\displaystyle M}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$وإذا${\displaystyle H\cap M}$إذا كان مخروطًا صحيحًا، فإن هذا المخروط الصحيح يُعرّفالترتيب الجزئي المتعارف عليه${\displaystyle M}$تحضير${\displaystyle M}$إلى فضاء متجهي مرتب جزئياً. ^{[ 2 ]}

لو${\displaystyle (X,\leq )}$و${\displaystyle (Y,\leq )}$هي فضاءات متجهة طوبولوجية مرتبة، وإذا${\displaystyle {\mathcal {G}}}$هي عائلة من المجموعات الجزئية المحدودة من${\displaystyle X}$يشمل اتحاده${\displaystyle X}$ثم المخروط الموجب${\displaystyle {\mathcal {H}}}$في${\displaystyle L(X;Y)}$، وهو فضاء جميع التحويلات الخطية المتصلة من${\displaystyle X}$داخل${\displaystyle Y,}$مغلق في${\displaystyle L(X;Y)}$متى${\displaystyle L(X;Y)}$يتمتع بـ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-الطوبولوجيا . ^{[ 2 ]} لـ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ليكون مخروطًا مناسبًا في${\displaystyle L(X;Y)}$يكفي أن يكون المخروط الموجب لـ${\displaystyle X}$كن كاملا في${\displaystyle X}$(أي مدى المخروط الموجب لـ${\displaystyle X}$كن كثيفًا في${\displaystyle X}$). لو${\displaystyle Y}$إذا كان الفضاء محدبًا محليًا وله بُعد أكبر من صفر، فإن هذا الشرط ضروري أيضًا. ^{[ 2 ]} وبالتالي، إذا كان المخروط الموجب لـ${\displaystyle X}$إجمالي في${\displaystyle X}$وإذا${\displaystyle Y}$إذا كان الفضاء محدبًا محليًا، فإن الترتيب الكنسي لـ${\displaystyle L(X;Y)}$محدد بواسطة${\displaystyle {\mathcal {H}}}$هو طلب عادي. ^{[ 2 ]}

الفرضية : لنفترض أن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي فضاءات متجهة طوبولوجية محدبة محليًا مرتبة مع${\displaystyle X}$كونها فضاء ماكي الذي تكون فيه كل دالة خطية موجبة متصلة. إذا كان المخروط الموجب لـ${\displaystyle Y}$هو مخروط طبيعي ضعيف في${\displaystyle Y}$ثم كل مؤثر خطي موجب من${\displaystyle X}$داخل${\displaystyle Y}$متصلة. ^{[ 2 ]}

الفرضية : لنفترض${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي طوبولوجي مرتب ذو شكل برميلي (TVS) مع مخروط موجب${\displaystyle C}$ذلك يرضي${\displaystyle X=CC}$و${\displaystyle Y}$هو جهاز TVS شبه انعكاسي مرتب ذو مخروط موجب${\displaystyle D}$هذا مخروط طبيعي . أعطِ${\displaystyle L(X;Y)}$ترتيبها القانوني ودع${\displaystyle {\mathcal {U}}}$أن تكون مجموعة جزئية من${\displaystyle L(X;Y)}$أي موجه للأعلى، ويكون إما مهيمناً (أي محدوداً من الأعلى بعنصر ما من${\displaystyle L(X;Y)}$) أو ببساطة محدودة. ثم${\displaystyle u=\sup {\mathcal {U}}}$موجود وفلتر القسم${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {U}})}$يتقارب إلى${\displaystyle u}$بشكل موحد على كل مجموعة فرعية مضغوطة مسبقًا من${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]}

• مشبع بالمخروط
• دالة خطية موجبة
• شبكة المتجهات – فضاء متجهات مرتب جزئيًا، مرتب كشبكة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 

• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 

• المؤثرات الخطية الموجبة وخصائص التقريب

• فئة من المؤثرات الخطية الموجبة وتطبيقاتها على مسائل القيم الحدية غير الخطية

• ملاحظة حول المؤثرات الخطية الموجبة