فضاء بورنولوجي

لو${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$و${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$إذا كانت المجموعات البورنولوجية دالة${\displaystyle f:X\to Y}$يُقال إنها خريطة محدودة محليًا أو خريطة محدودة (بالنسبة لهذه البورنولوجيات) إذا كانت تُسقط${\displaystyle {\mathcal {B}}}$المجموعات الفرعية المحدودة من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$المجموعات الفرعية المحدودة من${\displaystyle Y;}$أي إذا${\displaystyle f({\mathcal {B}})\subseteq {\mathcal {C}}.}$^{[ 2 ]} إذا بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle f}$هي دالة تقابلية و${\displaystyle f^{-1}}$إذن يكون محدودًا أيضًا${\displaystyle f}$يُطلق عليه اسم التماثل البورنولوجي .

مجموعة فرعية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم "مُستقبِل للحدود" أو "مُستقبِل للحدود" إذا كان يستوعب كل مجموعة محدودة.

في علم ولادة النواقل،${\displaystyle A}$تكون هذه العملية آكلة للأجسام إذا استوعبت كل مجموعة متوازنة محدودة وفي علم بورنولوجيا متجه محدب${\displaystyle A}$يُعتبر حيواناً آكلاً للحوم إذا امتص كل قرص محدود.

تتشابه المجموعات الجزئية المحدودة لبنيتين من طوبولوجيات TVS على نفس الفضاء المتجهي إذا وفقط إذا كان لهما نفس الكائنات الأولية. ^{[ 3 ]}

كل مجموعة فرعية من نوع بورنيفوروس في فضاء متجهي طوبولوجي قابل للقياس محليًا محدب هي جوار للأصل. ^{[ 4 ]}

كل فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X,}$على الأقل في حقل ذي قيم غير منفصلة ، ​​يعطي علم البورنولوجيا على${\displaystyle X}$عن طريق تحديد مجموعة فرعية${\displaystyle B\subseteq X}$تكون محدودة (أو محدودة فون نيومان)، إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا لجميع المجموعات المفتوحة${\displaystyle U\subseteq X}$يحتوي على الصفر، يوجد${\displaystyle r>0}$مع${\displaystyle B\subseteq rU.}$ لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاء متجه طوبولوجي محدب محليًا${\displaystyle B\subseteq X}$تكون محدودة إذا وفقط إذا كانت جميع المعايير شبه المستمرة على${\displaystyle X}$محصورة على${\displaystyle B.}$

مجموعة جميع المجموعات الجزئية المحدودة لفضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم علم البورنولوجيا أو علم بورنولوجيا فون نيومان${\displaystyle X.}$

لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا محدبًا محليًا ، فإنه قرص ماص${\displaystyle D}$في${\displaystyle X}$يكون الكائن آكلاً للحوم (أو آكلاً للحوم من تحته) إذا وفقط إذا كانت دالة مينكوفسكي الخاصة به محدودة محلياً (أو محدودة من تحته). ^{[ 4 ]}

لو${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هي علم بورنولوجيا متجه محدب على فضاء متجهي${\displaystyle X,}$ثم المجموعة${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {B}}(0)}$من جميع المجموعات الفرعية المحدبة المتوازنة لـ${\displaystyle X}$تشكل هذه العناصر، التي تُعرف باسم "العناصر المتغذية على البذور"، أساسًا للجوار عند نقطة الأصل لطوبولوجيا محدبة محليًا على${\displaystyle X}$تُسمى الطوبولوجيا الناتجة عن${\displaystyle {\mathcal {B}}}$[ ^{4 ]​}

لو${\displaystyle (X,\tau )}$إذا كان TVS، فإن الفضاء البورنولوجي المرتبط به${\displaystyle X}$الفضاء المتجهي${\displaystyle X}$مزودة بالطوبولوجيا المحدبة محليًا الناتجة عن بورنولوجيا فون نيومان لـ${\displaystyle (X,\tau ).}$^{[ 4 ]}

في التحليل الوظيفي، يعتبر الفضاء المتجهي الطوبولوجي المحدب محليًا فضاءً بورنولوجيًا إذا كان من الممكن استعادة طوبولوجيته من بورنولوجيته بطريقة طبيعية.

كل فضاء شبه بورنولوجي محدب محلياً هو فضاء بورنولوجي، ولكن توجد فضاءات بورنولوجية ليست شبه بورنولوجية. ^{[ 6 ]}

فضاء متجهي طوبولوجي ( TVS)${\displaystyle (X,\tau )}$مع ثنائي مستمر${\displaystyle X^{\prime }}$يُطلق عليه اسم الفضاء البورنولوجي إذا كان محدبًا محليًا وتحققت أي من الشروط المكافئة التالية:

1. كل مجموعة محدبة ومتوازنة ومتغذية على الحبوب${\displaystyle X}$هي جوار الصفر. ^{[ 4 ]}
2. كل مؤثر خطي محدود من${\displaystyle X}$[ ⁴ ]​^​​
   • تذكر أن التطبيق الخطي يكون محدودًا إذا وفقط إذا كان يحوّل أي متتالية تتقارب إلى${\displaystyle 0}$في المجال إلى مجموعة جزئية محدودة من المجال المقابل. ^{[ 4 ]} على وجه الخصوص، أي تطبيق خطي متصل تسلسليًا عند نقطة الأصل يكون محدودًا.
3. كل مؤثر خطي محدود من${\displaystyle X}$[ 4 ]^​​​
4. كل مؤثر خطي محدود من${\displaystyle X}$[ 4 ]^​​​

لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاء هاوسدورف محدبًا محليًا، فيمكننا إضافة ما يلي إلى هذه القائمة: ^{[ 7 ]}

5. الطوبولوجيا المحدبة محليًا الناتجة عن بورنولوجيا فون نيومان على${\displaystyle X}$هو نفسه${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle X}$الطوبولوجيا المعطاة.
6. كل شبه معيار محدود على${\displaystyle X}$متصلة. ^{[ 4 ]}
7. أي طوبولوجيا أخرى لفضاء المتجهات الطوبولوجي المحدب محليًا من نوع هاوسدورف على${\displaystyle X}$التي لها نفس  علم المواليد (فون نيومان) مثل${\displaystyle (X,\tau )}$بالضرورة يكون أكثر خشونة من${\displaystyle \tau .}$
8. ${\displaystyle X}$^{[ 4 ]} هو الحد الاستقرائي للفضاءات المعيارية.
9. ${\displaystyle X}$هي الحد الاستقرائي للفضاءات المعيارية${\displaystyle X_{D}}$مثل${\displaystyle D}$يختلف ذلك على الأقراص المغلقة والمحدودة لـ${\displaystyle X}$(أو كما)${\displaystyle D}$يختلف على الأقراص المحدودة لـ${\displaystyle X}$). ^{[ 4 ]}
10. ${\displaystyle X}$يحمل بنية ماكي${\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}$وجميع الدوال الخطية المحدودة على${\displaystyle X}$متصلة. ^{[ 4 ]}
11. ${\displaystyle X}$يمتلك كلا الخاصيتين التاليتين:
    • ${\displaystyle X}$هي متسلسلة محدبة أو متسلسلة من النوع C ، مما يعني أن كل مجموعة فرعية مفتوحة متسلسلة محدبة من${\displaystyle X}$مفتوح،
    • ${\displaystyle X}$هي متسلسلة بورنولوجي أو بورنولوجي-S ، مما يعني أن كل مجموعة فرعية محدبة وبورنيفورية من${\displaystyle X}$يتم فتحها بالتتابع.

    حيث مجموعة جزئية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle X}$يُطلق عليها اسم "مفتوحة تسلسليًا" إذا كانت كل متتالية تتقارب إلى${\displaystyle 0}$في النهاية ينتمي إلى${\displaystyle A.}$

كل مؤثر خطي متصل تسلسليًا من فضاء بورنولوجي محدب محليًا إلى فضاء TVS محدب محليًا يكون متصلًا، ^{[ 4 ]} حيث يُذكر أن المؤثر الخطي يكون متصلًا تسلسليًا إذا وفقط إذا كان متصلًا تسلسليًا عند نقطة الأصل. وبالتالي، بالنسبة للتطبيقات الخطية من فضاء بورنولوجي إلى فضاء محدب محليًا، فإن الاتصال يكافئ الاتصال التسلسلي عند نقطة الأصل. وبشكل أعم، لدينا ما يلي:

• أي خريطة خطية${\displaystyle F:X\to Y}$من فضاء بورنولوجي محدب محليًا إلى فضاء محدب محليًا${\displaystyle Y}$التي تحدد التسلسلات الفارغة في${\displaystyle X}$إلى مجموعات فرعية محدودة من${\displaystyle Y}$هو بالضرورة متصل.

ونتيجة لنظرية ماكي-أولام، "لجميع الأغراض العملية، فإن ناتج الفضاءات البورنولوجية هو بورنولوجية." ^{[ 9 ]}

جميع فضاءات المتجهات الطوبولوجية التالية هي فضاءات بورنولوجي:

• أي نظام TVS قابل للقياس الزائف محليًا ومحدب هو نظام بورنولوجي. ^{[ 4 ] [ 10 ]}
  • وبالتالي فإن كل فضاء معياري وفضاء فريشيه هو فضاء بورنولوجي.
• أي حد استقرائي صارم للفضاءات البورنولوجية، وخاصة أي فضاء LF صارم ، هو فضاء بورنولوجي.
  • هذا يدل على وجود مساحات بورنولوجية غير قابلة للقياس.
• إن حاصل الضرب القابل للعد للفضاءات البورنولوجية المحدبة محليًا هو فضاء بورنولوجي. ^{[ 11 ] [ 10 ]}
• فضاءات القسمة البورنولوجية المحدبة محليًا لهاوسدورف هي فضاءات بورنولوجية. ^{[ 10 ]}
• إن المجموع المباشر والحد الاستقرائي للفضاءات البورنولوجية المحدبة محليًا لهاوسدورف هو فضاء بورنولوجي. ^{[ 10 ]}
• تتميز فضاءات فريشيه مونتيل بثنائيات قوية بورنولوجية .
• إن الثنائية القوية لكل فضاء فريشيه انعكاسي هي بورنولوجية. ^{[ 12 ]}
• إذا كان الفضاء الثنائي القوي لفضاء محدب محليًا وقابل للقياس قابلًا للفصل ، فإنه يكون فضاءً بورنولوجيًا. ^{[ 12 ]}
• فضاء متجهي فرعي من فضاء بورنولوجيا محدب محليًا من نوع هاوسدورف${\displaystyle X}$التي لها بُعد مشترك محدود في${\displaystyle X}$هو علم المواليد. ^{[ 4 ] [ 10 ]}
• أفضل طوبولوجيا محدبة محليًا على فضاء متجهي هي طوبولوجيا بورنولوجي. ^{[ 4 ]}

أمثلة مضادة

يوجد فضاء LB بورنولوجي لا يكون ثنائيه القوي بورنولوجيًا. ^{[ 13 ]}

ليس بالضرورة أن يكون الفضاء المتجهي المغلق في فضاء بورنولوجي محدب محليًا فضاءً بورنولوجيًا. ^{[ 4 ] [ 14 ]} يوجد فضاء متجهي مغلق في فضاء بورنولوجي محدب محليًا يكون كاملًا (وبالتالي كاملًا تسلسليًا) ولكنه ليس أسطوانيًا ولا بورنولوجيًا. ^{[ 4 ]}

لا يشترط أن تكون الفضاءات البورنولوجية أسطوانية الشكل ، ولا يشترط أن تكون الفضاءات الأسطوانية الشكل بورنولوجيًا. ^{[ 4 ]} ولأن كل فضاء بورنولوجي فائق محدب محليًا يكون أسطواني الشكل، ^{[ 4 ]} فإنه يترتب على ذلك أن الفضاء البورنولوجي ليس بالضرورة بورنولوجيًا فائقًا.

• الفضاء الثنائي القوي للفضاء البورنولوجي المحدب محليًا كامل . ^{[ 4 ]}
• كل فضاء بورنولوجي محدب محليًا يكون أسطوانيًا داخليًا . ^{[ 4 ]}
• كل تسلسل كامل متسلسل لـ Hausdorff TVS هو تسلسل فائق البورنولوجيا . ^{[ 4 ]}
  • وبالتالي فإن كل فضاء بورنولوجي كامل من فضاءات هاوسدورف هو فضاء بورنولوجي فائق.
  • على وجه الخصوص، كل فضاء فريشيه هو فضاء فوق بورنولوجي. ^{[ 4 ]}
• إن حاصل الضرب المحدود للفضاءات فوق البورنولوجية المحدبة محليًا هو فضاء فوق بورنولوجي. ^{[ 4 ]}
• كل فضاء بورنولوجي من نوع هاوسدورف هو شبه برميلي . ^{[ 15 ]}
• بالنظر إلى فضاء بورنولوجي${\displaystyle X}$مع ثنائي مستمر${\displaystyle X^{\prime },}$طوبولوجيا${\displaystyle X}$يتطابق مع طوبولوجيا ماكي${\displaystyle \tau (X,X^{\prime }).}$
  • على وجه الخصوص، تعتبر الفضاءات البورنولوجية فضاءات ماكي .
• كل فضاء بورنولوجي شبه كامل (أي أن جميع المجموعات الفرعية المغلقة والمحدودة كاملة) يكون أسطوانيًا . ومع ذلك، توجد فضاءات بورنولوجية ليست أسطوانية.
• كل فضاء بورنولوجي هو الحد الاستقرائي للفضاءات المعيارية (وفضاءات باناخ إذا كان الفضاء شبه كامل أيضًا).
• يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً متريًا محدبًا محليًا مع فضاء ثنائي متصل${\displaystyle X^{\prime }.}$إذن، ما يلي متكافئ:
  1. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$هو علم المواليد.
  2. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$شبه برميلي الشكل .
  3. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$مُعبأ في برميل .
  4. ${\displaystyle X}$هو مكان مميز .
• لو${\displaystyle L:X\to Y}$هي دالة خطية بين فضاءات محدبة محليًا، وإذا${\displaystyle X}$إذا كان الأمر متعلقاً بعلم الولادة، فإن ما يلي متكافئ:
  1. ${\displaystyle L:X\to Y}$متصل.
  2. ${\displaystyle L:X\to Y}$متصلة تسلسلياً. ^{[ 4 ]}
  3. لكل مجموعة${\displaystyle B\subseteq X}$هذا محصور في${\displaystyle X,}$${\displaystyle L(B)}$محدود.
  4. لو${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$هي سلسلة فارغة في${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$هي سلسلة فارغة في${\displaystyle Y.}$
  5. لو${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$هي متتالية صفرية متقاربة من نوع ماكي في${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$هي مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle Y.}$
• لنفترض أن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي فضاءات TVS محدبة محليًا ، وهي فضاءات من الخرائط الخطية المتصلة${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$تتمتع بطوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الجزئية المحدودة من${\displaystyle X.}$لو${\displaystyle X}$هو فضاء بيولوجي، وإذا${\displaystyle Y}$يكتمل بعد ذلك${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$هو جهاز تلفزيون كامل. ^{[ 4 ]}
  • على وجه الخصوص، فإنّ الفضاء الثنائي القوي للفضاء البورنولوجي المحدب محليًا يكون كاملاً. ^{[ 4 ]} ومع ذلك، ليس بالضرورة أن يكون بورنولوجيًا.

المجموعات الفرعية

• في فضاء بورنولوجي محدب محليًا، كل مجموعة بورنيفوروس محدبة${\displaystyle B}$هو حي من${\displaystyle 0}$(${\displaystyle B}$(ليس من الضروري أن يكون قرصًا). ^{[ 4 ]}
• كل مجموعة فرعية من نوع بورنيفوروس في فضاء متجهي طوبولوجي قابل للقياس محليًا محدب هي جوار للأصل. ^{[ 4 ]}
• لا يشترط أن تكون الفضاءات المتجهة المغلقة للفضاء البورنولوجي بورنولوجيًا. ^{[ 4 ]}

الناتج النهائي للفضاءات فوق البورنولوجي هو فضاء فوق بورنوجي. النهايات الاستقرائية للفضاءات فوق البورنولوجي هي فضاءات فوق بورنولوجي.