التقييم (الجبر)

التقييم المنفصل على حقل K هو دالة : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$

استيفاء الشروط التالية:

${\displaystyle \nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)}$

${\displaystyle \nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}}$

${\displaystyle \nu (x)=\infty \iff x=0}$

للجميع${\displaystyle x,y\in K}$.

لاحظ أن التقييم البسيط الذي يأخذ القيم فقط غالبًا ما يكون${\displaystyle 0,\infty }$مستبعد صراحةً.

يُطلق على الحقل ذي التقييم المنفصل غير التافه اسم حقل التقييم المنفصل .

لكل مجال${\displaystyle K}$مع التقييم المنفصل${\displaystyle \nu }$يمكننا ربط الحلقة الفرعية

${\displaystyle {\mathcal {O}} _ {\nu }:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}}$

ل${\displaystyle K}$وهي حلقة تقييم منفصلة . وعلى العكس من ذلك، فإن التقييم${\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$على حلقة تقييم منفصلة${\displaystyle A}$يمكن توسيعها بطريقة فريدة إلى تقييم منفصل على حقل القسمة${\displaystyle K={\text{Quot}}(A)}$؛ حلقة التقييم المنفصلة المرتبطة بها${\displaystyle {\mathcal {O}} _ {\nu }}$هو مجرد${\displaystyle A}$.

حلقات تقييم منفصلة${\displaystyle {\mathcal {O}} _ {\nu }}$هي حلقات محلية ذات مثالي أقصى

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\nu }:=\left\{x\in {\mathcal {O}}_{\nu }\mid \nu (x)>0\right\},}$

إذن هناك مفهوم حقل البقايا${\displaystyle \kappa ={\mathcal {O}}_{\nu }/{\mathfrak {m}}_{\nu }}$يُطلق بعض المؤلفين على ذلك اسم${\displaystyle {\mathcal {O}} _ {\nu }}$أحد السكان المحليين${\displaystyle K}$الجبر عندما${\displaystyle \kappa }$و${\displaystyle K}$متماثلة الشكل.

يبدأ المرء بالأشياء التالية:

• حقل K ومجموعته الضربية K ^× ،​
• مجموعة أبيلية مرتبة كليًا (Γ, +, ≥) .

يتم توسيع الترتيب وقانون المجموعة على Γ إلى المجموعة Γ ∪ {∞ } ^{[ a ]} ​​بواسطة القواعد

• ∞ ≥ α للجميع α ∈ Γ ,
• ∞ + α = α + ∞ = ∞ + ∞ = ∞ للجميع α ∈ Γ .

إذن، قيمة K هي أي دالة

v  : K → Γ ∪ {∞}

والتي تحقق الخصائص التالية لجميع قيم a و b في K :

• v ( a ) = ∞ إذا وفقط إذا كان a = 0 ،
• v ( ab ) = v ( a ) + v ( b ) ,
• v ( a + b ) ≥ min( v ( a ), v ( b )) ، مع المساواة إذا كان v ( a ) ≠ v ( b ).

يكون التقييم v تافهاً إذا كان v ( a )  =  0 لجميع a في K ^× ، وإلا فهو غير تافه .

تؤكد الخاصية الثانية أن أي تقييم هو تشاكل زمر على K ^× . أما الخاصية الثالثة فهي صيغة من متباينة المثلث على الفضاءات المترية مُكيَّفة مع أي Γ (انظر قسم  الترميز الضربي أدناه). بالنسبة للتقييمات المستخدمة في التطبيقات الهندسية ، تشير الخاصية الأولى إلى أن أي جرثومة غير فارغة من صنف تحليلي بالقرب من نقطة ما تحتوي على تلك النقطة.

يمكن تفسير التقييم على أنه رتبة الحد الرئيسي . ^{[ ب ]} وتتوافق الخاصية الثالثة مع كون رتبة المجموع هي رتبة الحد الأكبر، ^{[ ج ]} إلا إذا كان للحدين نفس الرتبة، وفي هذه الحالة قد يلغيان بعضهما البعض وقد يكون للمجموع رتبة أكبر.

في العديد من التطبيقات، Γ هي مجموعة فرعية جمعية من الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$^{[ د ]} وفي هذه الحالة، يمكن تفسير ∞ على أنه +∞ فيالأعداد الحقيقية الموسعة؛ لاحظ أن${\displaystyle \min(a,+\infty )=\min(+\infty ,a)=a}$لأي عدد حقيقي a ، وبالتالي فإن +∞ هو الوحدة تحت عملية الحد الأدنى الثنائية. تشكل الأعداد الحقيقية (الممتدة بواسطة +∞) مع عمليتي الحد الأدنى والجمع شبه حلقة ، تسمى شبه الحلقة الاستوائية الدنيا ، ^{[ e ]} والتقييم v هو تقريبًا تشاكل شبه حلقة من K إلى شبه الحلقة الاستوائية، باستثناء أن خاصية التشاكل قد لا تتحقق عند جمع عنصرين لهما نفس التقييم.

على غرار الحالة المنفصلة، ​​هناك العديد من الكائنات المعرفة من تقييم معين v  : K → Γ ∪ {∞} ؛

• مجموعة القيم أو مجموعة التقييم Γ _v = v ( K ^× )، وهي مجموعة فرعية من Γ (على الرغم من أنه يُفترض عادةً أن v شاملة بحيث Γ _v = Γ )،
• حلقة التقييم R v _هي مجموعة (حلقة فرعية) من a ∈ K حيث v ( a )  ≥  0،
• المثالي الأولي m _v هو مجموعة a ∈ K حيث v ( a )  >  0 (وهو في الواقع مثالي أقصى لـ R _v ، وهو الوحيد من نوعه).
• حقل البقايا k _v = R _v / m _v .

تم تطوير هذا المفهوم بواسطة إميل أرتين في كتابه الجبر الهندسي، حيث كتب المجموعة في الترميز الضربي على النحو التالي (Γ, ·, ≥) : ^{[ 2 ]}

بدلاً من ∞، نضيف رمزًا رسميًا O إلى Γ، مع توسيع الترتيب وقانون المجموعة بواسطة القواعد.

• O ≤ α لجميع α ∈ Γ ،
• O · α = α · O = O للجميع α ∈ Γ .

إذن، قيمة K هي أي دالة

| ⋅ | _الخامس  : ك → Γ ∪ { يا }

تحقيق الخصائص التالية لجميع a و b ∈ K :

• | a | _v = O إذا وفقط إذا كان a = 0،
• | ab | _v = | a | _v · | b | _v ,
• | a+b | _v ≤ max( | a | _v , | b | _v ), مع المساواة إذا كان | a | _v ≠ | b | _v .

(لاحظ أن اتجاهات المتباينات معكوسة عن تلك الموجودة في الترميز الجمعي.)

إذا كانت Γ زمرة جزئية من الأعداد الحقيقية الموجبة تحت الضرب، فإن الشرط الأخير هو متباينة فوق مترية ، وهي شكل أقوى من متباينة المثلث | a + b | _v ≤ | a | _v + | b | _v ، و | ⋅ | _v | قيمة مطلقة . في هذه الحالة، يمكننا الانتقال إلى الترميز الجمعي مع زمرة القيم.${\displaystyle \Gamma _{+}\subseteq (\mathbb {R} ,+)}$بأخذ v ₊ ( a ) = − log | a | _v .

يُعرّف كل تقييم على K ترتيبًا خطيًا جزئيًا مُقابلًا : a ≼ b ⇔ | a | _v ≤ | b | _v . وبالعكس، إذا كان لدينا " ≼ " يُحقق الخصائص المطلوبة ، فيمكننا تعريف التقييم | a | _v = { b : b ≼ a ∧ a ≼ b }، مع الضرب والترتيب بناءً على K و ≼ .

في هذه المقالة، نستخدم المصطلحات المعرّفة أعلاه، بالصيغة الجمعية. ومع ذلك، يستخدم بعض المؤلفين مصطلحات بديلة:

• يُطلق على "تقييمنا" (الذي يحقق عدم المساواة فوق المترية) اسم "التقييم الأسي" أو "القيمة المطلقة غير الأرخميدية" أو "القيمة المطلقة فوق المترية"؛
• تُسمى "القيمة المطلقة" الخاصة بنا (التي تحقق متباينة المثلث) "التقييم" أو "القيمة المطلقة الأرخميدية".

يُقال إن _{تقييمين v1 و v2} للمجموعة K ، مع زمرتي التقييم _Γ1 و _Γ2 على _{التوالي ،} متكافئان إذا وُجد تماثل زمر يحافظ على الترتيب φ : Γ1 _→ Γ2 _بحيث يكون _v2 ( a ) = φ ( v1 ₍ a ) ) لكل a في K ^× . هذه علاقة تكافؤ .   

يكون تقييمان للمجموعة K متكافئين إذا وفقط إذا كان لهما نفس حلقة التقييم. من جهة أخرى، فإن أي حلقة تقييم O للمجموعة K هي حلقة تقييم لتقييم قانوني v  : K → Γ ∪ {∞} ، حيث Γ = K ^× / O ^× ، وهي زمرة تبديلية مرتبة خطيًا حسب xO ^× ≤ yO ^× عندما يكون y / x ∈ O ، و v هي دالة القسمة v ( x ) = xO ^× .

تُسمى فئة التكافؤ لتقييمات حقل ما " مكانًا" . تُقدم نظرية أوستروفسكي تصنيفًا كاملاً لأماكن حقل الأعداد النسبية.${\displaystyle \mathbb {Q}$ هذه هي تحديدًا فئات التكافؤ للتقييمات الخاصة بالإكمالات p -adic لـ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

ليكن v تقييمًا لـ K ، وليكن L امتدادًا حقليًا لـ K. امتداد v (إلى L ) هو تقييم w لـ L بحيث يكون تقييد w على K هو v . تُدرس مجموعة جميع هذه الامتدادات في نظرية التفرع للتقييمات .

ليكن L / K امتدادًا منتهيًا _، وليكن w امتدادًا لـ v إلى L. يُسمى دليل Γv في Γw، أي e(w/v) = [Γw : Γv]، دليل التفرع المُختزل _لـ w على v . وهو يحقق الشرط e ₍ w / v ) ≤ [ _L : K ] ( درجة الامتداد L / K ) . تُعرَّف الدرجة النسبية لـ w على v بأنها f ( w / v ) = [ Rw / mw : Rv / mv _] ( درجة _{امتداد حقول} البقايا ). وهي أيضًا أقل من أو تساوي درجة _L / K . عندما يكون L / K قابلًا للفصل ، يُعرَّف _دليل التفرع لـ w على v بأنه e ( w / v ) pi ، حيث pi هي درجة _{عدم الفصل} للامتداد Rw / mw على Rv ^/ _mv ^.            

عندما تكون المجموعة الأبيلية المرتبة Γ هي المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة ، فإن التقييم المرتبط بها يُكافئ القيمة المطلقة، وبالتالي يُنشئ مقياسًا على الحقل K. إذا كان K كاملًا بالنسبة لهذا المقياس، يُسمى حقلًا كامل القيم . أما إذا لم يكن K كاملًا، فيمكن استخدام هذا المقياس لإنشاء إكمال كوشي الخاص به والحصول على تقييم فريد يُوسّع التقييم الموجود على K ، كما في الأمثلة أدناه؛ إذ يمكن لتقييمات مختلفة أن تُعرّف حقول إكمال مختلفة.

بشكل عام، يُنشئ التقييم بنيةً منتظمةً على K ، ويُسمى K حقلًا كامل القيم إذا كان كاملًا كفضاء منتظم. وهناك خاصية ذات صلة تُعرف بالاكتمال الكروي : وهي تُكافئ الاكتمال إذا${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} ,}$لكنها أقوى بشكل عام.

ومن الأمثلة البسيطة على ذلك التقييم p -adic ν _p المرتبط بعدد صحيح أولي p ، على الأعداد النسبية${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}$مع خاتم التقييم${\displaystyle R=\mathbb {Z} _{(p)},}$أين ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$هو توطين${\displaystyle \mathbb {Z} }$في المثال الأمثل${\displaystyle (p)}$مجموعة التقييم هي الأعداد الصحيحة الجمعية${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z}$ حقل البقايا هو${\displaystyle k=\mathbb {Z} _{(p)}/p\mathbb {Z} _{(p)}\cong \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .}$بالنسبة لعدد صحيح${\displaystyle a\in R=\mathbb {Z} ,}$يقيس التقييم ν _p ( a ) قابلية قسمة a على قوى p :

${\displaystyle \nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ divides }}a\};}$

وبالنسبة للكسر، ν _p ( a / b ) = ν _p ( a ) − ν _p ( b ).

كتابة هذا بشكل ضربي ينتج عنه القيمة المطلقة p -adic ، والتي يكون أساسها تقليديًا${\displaystyle 1/p=p^{-1}}$، لذا${\displaystyle |a|_{p}:=p^{-\nu _{p}(a)}}$.

إتمام${\displaystyle \mathbb {Q} }$بالنسبة إلى ν _p هو المجال${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$من الأعداد p-adic .

التقييم p -adic على${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$يمتد بشكل فريد إلى إغلاقه الجبري${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$، والتي تضم مجموعة تقييم${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Q} }$والإغلاق المتكامل لـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$باعتبارها حلقة تقييمها. ومن ثم،${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$، إتمام${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$(وهي مغلقة جبريًا أيضًا )، ولها أيضًا مجموعة تقييم${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{3 ]​}

بالنظر إلى سطح ريمان${\displaystyle X}$، يمكننا أن ننظر إلى المجال${\displaystyle K=M(X)}$من الدوال الميرومورفية${\displaystyle X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$بالنسبة لنقطة ثابتة${\displaystyle p\in X}$، نُعرّف تقييمًا منفصلاً على${\displaystyle K}$على النحو التالي:${\displaystyle \nu (f)=j}$إذا وفقط إذا${\displaystyle j}$هو أكبر عدد صحيح بحيث تكون الدالة${\displaystyle f(z)/(z-p)^{j}}$يمكن توسيعها إلى دالة هولومورفية عند${\displaystyle p}$وهذا يعني: إذا${\displaystyle \nu (f)=j>0}$ثم${\displaystyle f}$له جذر النظام${\displaystyle j}$عند النقطة${\displaystyle p}$؛ لو${\displaystyle \nu (f)=j<0}$ثم${\displaystyle f}$يوجد عمود من النظام${\displaystyle -j}$في${\displaystyle p}$وبالمثل، يُعرَّف أيضًا تقييم منفصل على حقل الدالة لمنحنى جبري لكل نقطة منتظمة${\displaystyle p}$على المنحنى.

ليكن K = F (x)، وهي الدوال الكسرية على الخط الأفيني X = F1 ^، ولنأخذ نقطة a ∈ X. بالنسبة لكثير الحدود${\displaystyle f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}}$مع${\displaystyle a_{k}\neq 0}$إذا عرّفنا v _{_a} ( f ) = k، وهو رتبة التلاشي عند x = a ؛ و v _{_a} ( f / g ) = v_{_a} ( f ) - v_{_a} ( g )، فإن حلقة التقييم R تتكون من دوال كسرية ليس لها قطب عند x = a ، وإكمالها هو حلقة متسلسلات لوران الرسمية F (( x - a )). يمكن تعميم ذلك على حقل متسلسلات بويزو K _t (القوى الكسرية)، وحقل ليفي-سيفيتا (إكماله كوشي)، وحقل متسلسلات هان ، حيث يُعيد التقييم في جميع الحالات أصغر أس لـ t يظهر في المتسلسلة.

بتعميم الأمثلة السابقة، ليكن R مجالًا مثاليًا رئيسيًا ، و K حقل كسوره ، و π عنصرًا غير قابل للاختزال في R. بما أن كل مجال مثالي رئيسي هو مجال تحليل فريد ، فإن كل عنصر غير صفري a في R يمكن كتابته (بشكل أساسي) بشكل فريد على النحو التالي:

${\displaystyle a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}}$

حيث تمثل eᵢ أعدادًا _صحيحة غير سالبة، _وتمثل pᵢ عناصر غير قابلة للاختزال من R لا ترتبط بـ π . وعلى وجه الخصوص، يتم تحديد العدد الصحيح _eᵢ بشكل فريد بواسطة a .

يُعطى التقييم π-adic لـ K بالصيغة التالية

• ${\displaystyle v_{\pi }(0)=\infty }$
• ${\displaystyle v_{\pi }(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{ for }}a,b\in R,a,b\neq 0.}$

إذا كان π' عنصرًا غير قابل للاختزال آخر في R بحيث يكون (π')  =  (π) (أي أنهما يولدان نفس المثالي في R )، فإن التقييم π-adic والتقييم π'-adic متساويان. وبالتالي، يمكن تسمية التقييم π-adic بالتقييم P -adic، حيث P  =  (π). وحلقة تقييمه هي R _P.

يمكن تعميم المثال السابق على نطاقات ديديكيند . ليكن R نطاق ديديكيند، وK حقل كسوره، وليكن P مثاليًا أوليًا غير صفري في R. عندئذٍ، يكون توضع R عند P ، ويرمز له بـ R _{_P} ، نطاقًا مثاليًا رئيسيًا حقل كسوره هو K. بتطبيق بناء القسم السابق على المثالي الأولي PR _{_P} في R_{_P،} نحصل على التقييم P -adic لـ K.

على سبيل المثال، إذا كانت R هي حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي جبري K ، فإن إكمال K بالنسبة لتقييم P -adic هو امتداد محدود لـ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$بالنسبة للعدد الأولي p مع${\displaystyle P\cap \mathbb {Q} =(p)}$، حقل محلي (غير أرخميدسي) .