مجال الكسور

في الجبر المجرد ، يُعد حقل الكسور أصغر حقل يمكن تضمينه في مجال تكاملي . ويُبنى حقل الكسور على العلاقة بين المجال التكاملي للأعداد الصحيحة وحقل الأعداد النسبية . وبشكل بديهي، يتكون من نسب بين عناصر المجال التكاملي.

حقل الكسور في مجال تكاملي${\displaystyle R}$يُشار إليه أحيانًا بـ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$أو${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$ويُطلق على هذا التركيب أحيانًا اسم حقل الكسور ، أو حقل القسمة ، أو حقل القسمة لـ${\displaystyle R}$تُستخدم هذه المصطلحات الأربعة بشكل شائع، ولكن لا ينبغي الخلط بينها وبين خارج قسمة حلقة على مثالي ، وهو مفهوم مختلف تمامًا. بالنسبة لحلقة تبديلية ليست مجالًا تكامليًا، يُطلق على البناء المماثل اسم التوطين أو حلقة القسمة.

بالنظر إلى مجال تكاملي${\displaystyle R}$والسماح${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\}}$، نُعرّف علاقة تكافؤ على${\displaystyle R\times R^{*}}$عن طريق السماح${\displaystyle (n,d)\sim (m,b)}$حينما${\displaystyle nb=md}$نرمز إلى فئة التكافؤ لـ${\displaystyle (n,d)}$بواسطة${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$إن مفهوم التكافؤ هذا مستوحى من الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$والتي لها نفس الخاصية فيما يتعلق بالحلقة الأساسية${\displaystyle \mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة.

إذن، حقل الكسور هو المجموعة${\displaystyle {\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim }$مع إضافة ما يلي:

${\displaystyle {\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}}$

والضرب المعطى بواسطة

${\displaystyle {\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.}$

يمكن التحقق من أن هذه العمليات محددة جيدًا، وأنه لأي مجال تكاملي${\displaystyle R}$،${\displaystyle {\text{Frac}}(R)}$هو بالفعل مجال. على وجه الخصوص، بالنسبة لـ${\displaystyle n,d\neq 0}$، المعكوس الضربي لـ${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$كما هو متوقع:${\displaystyle {\frac {d}{n}}\cdot {\frac {n}{d}}=1}$.

تضمين${\displaystyle R}$في${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$كل خريطة${\displaystyle n}$في${\displaystyle R}$إلى الكسر${\displaystyle {\frac {en}{e}}}$لأي قيمة غير صفرية${\displaystyle e\in R}$(فئة التكافؤ مستقلة عن الاختيار)${\displaystyle e}$). هذا مصمم على غرار الهوية${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$.

مجال كسور${\displaystyle R}$تتميز بالخاصية العامة التالية :

لو${\displaystyle h:R\to F}$هو تشاكل حلقي أحادي من${\displaystyle R}$إلى حقل${\displaystyle F}$إذن يوجد تماثل حلقي فريد${\displaystyle g:\operatorname {Frac} (R)\to F}$وهذا يمتد${\displaystyle h}$.

يوجد تفسير قاطع لهذا التركيب. ليكن${\displaystyle \mathbf {C} }$لتكن فئة المجالات التكاملية وتطبيقات الحلقة الحقنية. الدالة من${\displaystyle \mathbf {C} }$إلى فئة الحقول التي تأخذ كل مجال تكاملي إلى حقل كسره وكل تشاكل إلى الخريطة المستحثة على الحقول (التي توجد بواسطة الخاصية الشاملة) هو المرافق الأيسر لدالة التضمين من فئة الحقول إلى${\displaystyle \mathbf {C} }$وبالتالي، فإن فئة الحقول (وهي فئة فرعية كاملة) هي فئة فرعية انعكاسية لـ${\displaystyle \mathbf {C} }$.

لا يُشترط وجود عنصر محايد ضربي لدور المجال التكاملي؛ يمكن تطبيق هذا البناء على أي مولد أرقام عشوائية تبديلي غير صفري${\displaystyle R}$بدون قواسم صفرية غير صفرية . يتم إعطاء التضمين بواسطة${\displaystyle r\mapsto {\frac {rs}{s}}}$لأي قيمة غير صفرية${\displaystyle s\in R}$[ ^{1 ]​}

• حقل الكسور في حلقة الأعداد الصحيحة هو حقل الأعداد النسبية :${\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )}$.
• يترك${\displaystyle R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$لتكن حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية . إذن${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$، مجال الأعداد النسبية الغاوسية .
• حقل كسور الحقل متماثل بشكل قانوني مع الحقل نفسه.
• لأي حقل k ، حقل كسور حلقة كثيرات الحدود ذات المتغير الواحد${\displaystyle k[t]}$هوحقل الدوال الكسرية${\displaystyle k(t)}$[ ^{2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]​}
• لأي حقل k ، حقل كسور حلقة متسلسلة القوى الرسمية${\displaystyle k[\![t]\!]}$هو مجال سلسلة لوران الرسمية${\displaystyle k(\!(t)\!)}$.
• يُنتج حقل كسور حلقة الالتفاف لدوال نصف الخط فضاءً من المؤثرات ، بما في ذلك دالة ديراك دلتا ، والمؤثر التفاضلي ، والمؤثر التكاملي . يوفر هذا البناء تمثيلاً بديلاً لتحويل لابلاس لا يعتمد صراحةً على تحويل تكاملي. ^{[ 6 ]}

• شرط الخام ؛ شرط متعلق بإنشاء الكسور في الحالة غير التبادلية.
• حلقة الكسور الكاملة