عدد صحيح غاوسي

في نظرية الأعداد ، العدد الغاوسي هو عدد مركب يكون كل من جزأيه الحقيقي والتخيلي عددًا صحيحًا . تشكل الأعداد الغاوسية، مع الجمع والضرب العاديين للأعداد المركبة ، مجالًا تكامليًا ، يُكتب عادةً على النحو التالي :${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$أو${\displaystyle \mathbb {Z} [i].}$^{[ 1 ]}

تتشابه الأعداد الصحيحة الغاوسية مع الأعداد الصحيحة في العديد من الخصائص: فهي تُشكّل مجالًا إقليديًا ، وبالتالي تخضع للقسمة الإقليدية والخوارزمية الإقليدية ؛ وهذا يستلزم تحليلًا فريدًا إلى عوامله الأولية والعديد من الخصائص ذات الصلة. مع ذلك، لا تمتلك الأعداد الصحيحة الغاوسية ترتيبًا كليًا يحترم العمليات الحسابية.

الأعداد الصحيحة الغاوسية هي أعداد صحيحة جبرية وتشكل أبسط حلقة من الأعداد الصحيحة التربيعية .

سميت الأعداد الصحيحة الغاوسية نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش غاوس .

الأعداد الصحيحة الغاوسية هي المجموعة ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ حيث }}i^{2}=-1.}$

بمعنى آخر، العدد الغاوسي هو عدد مركب يكون كل من جزئه الحقيقي والتخيلي عددًا صحيحًا . ولأن الأعداد الغاوسية مغلقة تحت عمليتي الجمع والضرب، فإنها تُشكّل حلقة تبديلية ، وهي حلقة فرعية من حقل الأعداد المركبة. وبالتالي، فهي مجال تكاملي . وعند النظر إليها ضمن المستوى المركب ، تُشكّل الأعداد الغاوسية الشبكة المربعة ثنائية الأبعاد .

مرافق العدد المركب a + bi هو العدد المركب a − bi . المعيار${\displaystyle N(a+bi)}$بالنسبة لعدد صحيح غاوسي a + bi، فإن حاصل ضربه في مرافقه هو:

${\displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.}$

معيار العدد الصحيح الغاوسي هو مربع قيمته المطلقة كعدد مركب. معيار العدد الصحيح الغاوسي هو عدد صحيح غير سالب، وهو مجموع مربعين . وبحسب نظرية مجموع مربعين ، لا يمكن أن يكون للمعيار عامل.${\displaystyle p^{k}}$في تحللها الأولي حيث${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$و${\displaystyle k}$فردي (على وجه الخصوص، المعيار ليس متطابقًا مع 3 modulo 4).

المعيار ضربي ، أي أن المرء لديه ^{[ 3 ]}

${\displaystyle N(zw)=N(z)N(w),}$

لكل زوج من الأعداد الصحيحة الغاوسية z و w . يمكن إثبات ذلك مباشرة، أو باستخدام خاصية الضرب لمعيار الأعداد المركبة.

وحدات حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية (أي الأعداد الصحيحة الغاوسية التي ^يكون معكوسها الضربي أيضًا عددًا صحيحًا غاوسيًا) هي تحديدًا الأعداد الصحيحة الغاوسية ذات المعيار 1، أي 1، -1، i و -i . ^{[ 4} ]

تتمتع الأعداد الصحيحة الغاوسية بقسمة إقليدية (قسمة مع باقٍ) مشابهة لتلك الخاصة بالأعداد الصحيحة ومتعددات الحدود . وهذا يجعل الأعداد الصحيحة الغاوسية مجالًا إقليديًا ، ويشير إلى أن الأعداد الصحيحة الغاوسية تشترك مع الأعداد الصحيحة ومتعددات الحدود في العديد من الخصائص المهمة، مثل وجود خوارزمية إقليدية لحساب القواسم المشتركة الكبرى ، ومتطابقة بيزو ، وخاصية المثالي الرئيسي ، ومبرهنة إقليدس ، ونظرية التحليل إلى عوامل وحيدة ، ونظرية الباقي الصينية ، وكلها يمكن إثباتها باستخدام القسمة الإقليدية فقط.

تأخذ خوارزمية القسمة الإقليدية، في حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية، المقسوم a والمقسوم عليه b ≠ 0 ، وتنتج ناتج قسمة q وباقي قسمة r بحيث

${\displaystyle a=bq+r\quad {\text{و}}\quad N(r)<N(b).}$

في الواقع، يمكن للمرء أن يجعل الباقي أصغر:

${\displaystyle a=bq+r\quad {\text{و}}\quad N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.}$

حتى مع هذا التفاوت الأفضل، فإن ناتج القسمة والباقي ليسا بالضرورة فريدين، ولكن يمكن للمرء تحسين الاختيار لضمان التفرد.

لإثبات ذلك، يمكن النظر في خارج قسمة الأعداد المركبة x + iy = a / b . يوجد عددان صحيحان وحيدان m و n بحيث يكون − 1 / 2 < x − m ≤ 1 / 2 و − 1 / 2 < y − n ≤ 1 / 2 ، وبالتالي N ( x − m + i ( y − n ) ) ≤ 1 / 2. بأخذ q = m + in ، نحصل على

${\displaystyle a=bq+r,}$

مع

${\displaystyle r=b{\bigl (}x-m+i(yn){\bigr )},}$

و

${\displaystyle N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.}$

يُشترط اختيار x − m و y − n في فترة شبه مفتوحة لضمان التفرد. يمكن تفسير هذا التعريف للقسمة الإقليدية هندسيًا في المستوى المركب ( انظر الشكل)، بملاحظة أن المسافة من عدد مركب ξ إلى أقرب عدد صحيح غاوسي هي على ^الأكثر √2 / 2 . ^[ 5 ^]

بما أن حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية G هي مجال إقليدي، فإن G هي مجال مثالي رئيسي ، مما يعني أن كل مثالي في G هو مثالي رئيسي . وبالتحديد، المثالي I هو مجموعة جزئية من حلقة R بحيث ينتمي كل مجموع لعناصر I وكل حاصل ضرب عنصر من I في عنصر من R إلى I. ويكون المثالي رئيسيًا إذا كان يتكون من جميع مضاعفات عنصر واحد g ، أي أنه يأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \{gx\mid x\in G\}.}$

في هذه الحالة، يقول المرء أن المثال يتم توليده بواسطة g أو أن g هو مولد للمثال.

كل مثالي I في حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية هو مثالي رئيسي، لأنه إذا اخترنا في I عنصرًا غير صفري g ذو معيار أدنى، فلكل عنصر x من I ، فإن باقي قسمة x على g إقليديًا ينتمي أيضًا إلى I وله معيار أصغر من معيار g ؛ وبسبب اختيار g ، يكون هذا المعيار صفرًا، وبالتالي يكون الباقي صفرًا أيضًا. أي أن x = qg ، حيث q هو ناتج القسمة.

لأي عنصر g ، فإن المثالي الناتج عن g يكون أيضًا ناتجًا عن أي عنصر مرافق له ، أي g ، gi ، −g ، −gi ؛ ولا يوجد عنصر آخر يُولّد نفس المثالي. ولأن جميع مولدات المثالي لها نفس المعيار، فإن معيار المثالي هو معيار أي من مولداته.

في بعض الحالات، يكون من المفيد اختيار مولد لكل مثالي بشكل نهائي. هناك طريقتان كلاسيكيتان للقيام بذلك، وكلاهما ينظر أولاً إلى المثاليات ذات المعيار الفردي. إذا كان للمُولِّد g = a + bi معيار فردي a² + b² ، فإن أحد a أو b يكون فرديًا، والآخر زوجيًا. وبالتالي، ^{فإن g} له مُرافق واحد فقط بجزء حقيقي a فردي وموجب. في ورقته البحثية الأصلية، اتخذ غاوس خيارًا آخر، باختيار المُرافق الوحيد الذي يكون باقي قسمته على 2 + 2i هو واحد. في الواقع، بما أن N (2 + 2i ) = 8 ، فإن معيار الباقي لا يزيد عن 4. ولأن هذا المعيار فردي، و3 ليس معيار عدد صحيح غاوسي، فإن معيار الباقي هو واحد، أي أن الباقي هو وحدة. بضرب g في مقلوب هذه الوحدة، نجد مُرافقًا يكون باقي قسمته على 2 + 2i هو واحد .

^{إذا كان} معيار g زوجيًا، فإن g إما يساوي 2kh ^أو يساوي 2kh ( 1 + i ) ، حيث k عدد صحيح موجب، و N ( h ) عدد فردي. وبالتالي، يتم اختيار العنصر المرافق لـ g للحصول على h الذي يتوافق مع اختيار العناصر المرافقة ذات المعيار الفردي.

بما أن الأعداد الصحيحة الغاوسية تشكل مجالًا مثاليًا رئيسيًا ، فإنها تشكل أيضًا مجالًا فريدًا للتحليل إلى عوامل . وهذا يعني أن العدد الصحيح الغاوسي غير قابل للاختزال (أي أنه ليس حاصل ضرب عددين غير وحديين ) إذا وفقط إذا كان أوليًا (أي أنه يولد مثاليًا أوليًا ).

تُعرف العناصر الأولية في Z[i] أيضًا بالأعداد الأولية الغاوسية . والعدد المرافق للعدد الأولي الغاوسي هو أيضًا عدد أولي غاوسي. وهذا يعني أن الأعداد الأولية الغاوسية متناظرة حول المحورين الحقيقي والتخيلي.

يكون العدد الصحيح الموجب عددًا أوليًا غاوسيًا إذا وفقط إذا كان عددًا أوليًا يطابق 3 بتردد 4 (أي، يمكن كتابته على الصورة 4n + 3 ، حيث n عدد صحيح غير سالب) (المتتالية A002145 في OEIS ) . أما الأعداد الأولية الأخرى فليست أعدادًا أولية غاوسية، ولكن كل منها هو حاصل ضرب عددين أوليين غاوسيين مترافقين.

يكون العدد الصحيح الغاوسي a + bi عددًا أوليًا غاوسيًا إذا وفقط إذا كان أحد الأمرين التاليين صحيحًا:

• أحد العددين a و b يساوي صفرًا، والقيمة المطلقة للعدد الآخر عدد أولي على الصورة 4n + 3 (حيث n عدد صحيح غير سالب)، أو
• كلاهما غير صفري و a ² + b ² هو عدد أولي (والذي لن يكون أبدًا على شكل 4 n + 3 ).

بمعنى آخر، يكون العدد الصحيح الغاوسي m عددًا أوليًا غاوسيًا إذا وفقط إذا كان معياره عددًا أوليًا، أو كان m هو ناتج ضرب وحدة ( ±1، ± i ) وعدد أولي من الشكل 4 n + 3 .

ويترتب على ذلك وجود ثلاث حالات لتحليل العدد الطبيعي الأولي p إلى عوامله الأولية في مجموعة الأعداد الصحيحة الغاوسية:

• إذا كان p متطابقًا مع 3 modulo 4، فإنه عدد أولي غاوسي؛ في لغة نظرية الأعداد الجبرية ، يقال إن p خامل في الأعداد الصحيحة الغاوسية.
• إذا كان العدد p متطابقًا مع 1 بتردد 4، فإنه يكون حاصل ضرب عدد أولي غاوسي في مرافقه، وكلاهما عددان أوليان غاوسيان غير مرتبطين (أي أن أياً منهما ليس حاصل ضرب الآخر في وحدة). ويُقال إن p عدد أولي مُفكك في الأعداد الصحيحة الغاوسية. على سبيل المثال، 5 = (2 + i )(2 − i ) و 13 = (3 + 2i ) (3 − 2i ) .
• إذا كان p = 2 ، فإن 2 = (1 + i )(1 − i ) = i (1 − i ) ² ؛ أي أن 2 هو حاصل ضرب مربع عدد أولي غاوسي في وحدة؛ وهو العدد الأولي المتفرع الوحيد في الأعداد الصحيحة الغاوسية.

أما بالنسبة لكل مجال تحليل فريد ، فيمكن تحليل كل عدد صحيح غاوسي كحاصل ضرب عدد أولي وعدد أولي غاوسي، ويكون هذا التحليل فريدًا حتى ترتيب العوامل، واستبدال أي عدد أولي بأي من العوامل المرتبطة به (مع تغيير مماثل في عامل الوحدة).

إذا تم اختيار عدد أولي غاوسي ثابت لكل فئة تكافؤ من الأعداد الأولية المرتبطة به، واقتصر التحليل على هذه الأعداد الأولية المختارة فقط، فسيتم الحصول على تحليل أولي فريد من نوعه حتى رتبة العوامل. وبالاختيارات المذكورة أعلاه ، يكون التحليل الفريد الناتج على الشكل التالي:

${\displaystyle u(1+i)^{e_{0}}{p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},}$

حيث u هو عنصر وحدة (أي u ∈ {1, −1, i , − i } )، و e ₀ و k أعداد صحيحة غير سالبة، و e ₁ , …, e _k أعداد صحيحة موجبة، و p ₁ , …, p _k أعداد أولية غاوسية مختلفة بحيث، اعتمادًا على اختيار العناصر المرتبطة المختارة،

• إما p _k = a _k + ib _k حيث a فردي وموجب، و b زوجي،
• أو باقي القسمة الإقليدية لـ p _k على 2 + 2 i يساوي 1 (هذا هو اختيار جاوس الأصلي ^{[ 6 ]} ).

تتمثل إحدى مزايا الخيار الثاني في أن العناصر المختارة تتصرف بشكل جيد عند ضرب الأعداد الصحيحة الغاوسية ذات المعيار الفردي. من ناحية أخرى، فإن العناصر المختارة للأعداد الأولية الغاوسية الحقيقية هي أعداد صحيحة سالبة. على سبيل المثال، تحليل العدد 231 إلى عوامله الأولية في الأعداد الصحيحة، مع الخيار الأول للعناصر المختارة، هو 3 × 7 × 11 ، بينما يكون (−1) × (−3) × (−7) × (−11) مع الخيار الثاني.

حقل الأعداد النسبية الغاوسية هو حقل الكسور في حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية. ويتكون من الأعداد المركبة التي يكون كل من جزئها الحقيقي والتخيلي أعدادًا نسبية .

حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية هي الإغلاق التكاملي للأعداد الصحيحة في الأعداد النسبية الغاوسية.

هذا يعني أن الأعداد الصحيحة الغاوسية هي أعداد صحيحة تربيعية ، وأن العدد النسبي الغاوسي هو عدد صحيح غاوسي، إذا وفقط إذا كان حلاً لمعادلة

${\displaystyle x^{2}+cx+d=0,}$

حيث c و d عددان صحيحان. في الواقع ، a + bi هو حل المعادلة

${\displaystyle x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2},}$

وهذه المعادلة لها معاملات صحيحة إذا وفقط إذا كان كل من a و b عددين صحيحين.

بالنسبة لأي مجال تحليل فريد ، فإن القاسم المشترك الأكبر (gcd) لعددين صحيحين غاوسيين a و b هو عدد صحيح غاوسي d يشترك في القاسم المشترك بين a و b ، ويكون قاسمه المشترك هو جميع القواسم المشتركة بين a و b . أي (حيث | يرمز إلى علاقة قابلية القسمة ).

• د | أ و د | ب ، و
• ج | أ و ج | ب يستلزم ج | د .

وبالتالي، فإن كلمة "الأكبر" تعني بالنسبة لعلاقة القسمة، وليس لترتيب الحلقة (بالنسبة للأعداد الصحيحة، يتطابق كلا معنيي كلمة "الأكبر" ).

من الناحية الفنية، فإن القاسم المشترك الأكبر لـ a و b هو مولد للمثالي الناتج عن a و b (هذا التوصيف صالح لمجالات المثالي الرئيسي ، ولكن ليس بشكل عام لمجالات التحليل الفريدة).

القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين يتبعان التوزيع الطبيعي ليس فريدًا، بل يُعرَّف حتى الضرب في 1. أي ، إذا كان لدينا قاسم مشترك أكبر d للعددين a و b ، فإن القواسم المشتركة الأكبر لهما هي d ، و -d ، و id ، و -id .

توجد عدة طرق لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين غاوسيين a و b . عندما يعرف المرء التحليل إلى العوامل الأولية لـ a و b ،

${\displaystyle a=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}},\quad b=i^{n}\prod _{m}{p_{m}}^{\mu _{m}},}$

عندما تكون الأعداد الأولية p و _m غير مرتبطة مثنى مثنى، والأسس μ _{و m} غير مرتبطة، فإن القاسم المشترك الأكبر هو

${\displaystyle \prod _{m}{p_{m}}^{\lambda _{m}},}$

مع

${\displaystyle \lambda _{m}=\min(\nu _{m},\mu _{m}).}$

لسوء الحظ، باستثناء الحالات البسيطة، يصعب حساب التحليل إلى العوامل الأولية، وتؤدي خوارزمية إقليدس إلى حساب أسهل وأسرع بكثير. تتألف هذه الخوارزمية من استبدال المدخلات ( a , b ) بـ ( b , r ) ، حيث r هو باقي قسمة a على b باستخدام الإقليدس ، وتكرار هذه العملية حتى الحصول على باقي قسمة يساوي صفرًا، أي الزوج ( d , 0) . تتوقف هذه العملية، لأنه في كل خطوة، يتناقص معيار العدد الصحيح الثاني في التوزيع الغاوسي. يمثل d الناتج قاسمًا مشتركًا أكبر، لأن b و r = a − bq (في كل خطوة) لهما نفس قواسم a و b ، وبالتالي لهما نفس القاسم المشترك الأكبر.

تنجح هذه الطريقة الحسابية دائمًا، لكنها ليست بنفس بساطة طريقة حساب الأعداد الصحيحة لأن القسمة الإقليدية أكثر تعقيدًا. لذلك، يُفضّل غالبًا استخدام طريقة ثالثة في الحسابات اليدوية. وتتلخص هذه الطريقة في ملاحظة أن معيار N ( d ) للقاسم المشترك الأكبر للعددين a و b هو قاسم مشترك لـ N ( a ) و N ( b ) و N ( a + b ) . عندما يكون للقاسم المشترك الأكبر D لهذه الأعداد الثلاثة عدد قليل من العوامل، يصبح من السهل اختبار جميع الأعداد الصحيحة الغاوسية التي يقسم معيارها D ، بحثًا عن قاسم مشترك .

على سبيل المثال، إذا كان a = 5 + 3i و b = 2 − 8i ، فإن N ( a ) = 34 و N ( b ) = 68 و N ( a + b ) = 74. وبما أن القاسم المشترك الأكبر للمعايير الثلاثة هو 2، فإن القاسم المشترك الأكبر لـ a و b يكون معياره 1 أو 2. وبما أن العدد الصحيح الغاوسي ذو المعيار 2 يرتبط بالضرورة بـ 1 + i ، وبما أن 1 + i يقسم a و b ، فإن القاسم المشترك الأكبر هو 1 + i .

إذا استُبدل b بمرافقه b = 2 + 8 i ، فإن القاسم المشترك الأكبر للمعايير الثلاثة هو 34، وهو معيار a ، وبالتالي يمكن التخمين بأن القاسم المشترك الأكبر هو a ، أي أن a يقسم b . في الواقع، لدينا 2 + 8 i = (5 + 3 i )(1 + i ) .

_{بفرض عدد صحيح} غاوسي z₀ _، يُسمى المعامل ، يكون عددان صحيحان غاوسيان z₁ _و z₂ متطابقين بتردد z₀ _{، إذا كان} الفرق بينهما من مضاعفات z₀ _، أي إذا وُجد عدد صحيح غاوسي q بحيث يكون z₁ - z₂ = qz₀ _. بعبارة أخرى ، _يكون عددان صحيحان غاوسيان متطابقين بتردد z₀ _، إذا كان الفرق بينهما ينتمي إلى المثالي المُوَلَّد بواسطة z₀ _. ويُرمز إلى ذلك _بـ z₁ ≡ z₂ ( mod _{z₀ )} .

_{التطابق} بتردد z₀ هو علاقة تكافؤ (تُسمى أيضًا علاقة تطابق )، تُعرّف تقسيمًا للأعداد الصحيحة الغاوسية إلى فئات تكافؤ ، تُسمى هنا فئات التطابق أو فئات البواقي . يُرمز عادةً إلى مجموعة فئات البواقي _بـ Z [ i ] / z₀ _، أو Z [ i ] / ⟨z₀⟩ ، أو ببساطة Z [ i ] _/ z₀ .

فئة البواقي لعدد صحيح غاوسي a هي المجموعة

${\displaystyle {\bar {a}}:=\left\{z\in \mathbf {Z} [i]\mid z\equiv a{\pmod {z_{0}}}\right\}}$

من بين جميع الأعداد الصحيحة الغاوسية التي تتطابق مع a . ويترتب على ذلك أن a = b إذا وفقط إذا كان a ≡ b (mod z ₀ ) .

الجمع والضرب متوافقان مع التطابقات. هذا يعني أن a₁ _≡ b₁ (mod z₀ ) و a₂ ≡ b₂ (mod z₀ ) يستلزمان a₁ + a₂ ≡ b₁ + _b₂ ( _mod z₀ ₎ و a₁ _{+ a₂ ≡} b₁ ₊ b₂ ₍ mod z₀ ) . _وهذا يُعرّف _{عمليات مُحددة} جيدًا ( أي مستقلة _{عن اختيار} المُمثلين) _على فئات _{البواقي} .

${\displaystyle {\bar {a}}+{\bar {b}}:={\overline {a+b}}\quad {\text{and}}\quad {\bar {a}}\cdot {\bar {b}}:={\overline {ab}}.}$

مع هذه العمليات، تشكل فئات البقايا حلقة تبديلية ، وهي حلقة القسمة للأعداد الصحيحة الغاوسية بواسطة المثالي الناتج عن z ₀ ، والتي تسمى تقليديًا أيضًا حلقة فئة البقايا modulo z ₀ (لمزيد من التفاصيل، انظر حلقة القسمة ). 

وصف فئات البقايا

بفرض أن لدينا معاملًا z₀ _{، فإن} جميع عناصر فئة البواقي لها نفس الباقي عند القسمة الإقليدية على z₀ ، بشرط استخدام القسمة ذات الناتج والباقي المختلفين، كما هو موضح أعلاه . وبالتالي، فإن تعداد فئات البواقي يُكافئ تعداد البواقي الممكنة. ويمكن القيام بذلك هندسيًا بالطريقة التالية.

في المستوى المركب ، يمكن اعتبار شبكة مربعة ، يتم تحديد مربعاتها بواسطة خطين

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{s}&=\left\{\left.z_{0}\left(s-{\tfrac {1}{2}}+ix\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\}\quad {\text{and}}\\H_{t}&=\left\{\left.z_{0}\left(x+i\left(t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\},\end{aligned}}}$

حيث s و t عددان صحيحان (الخطوط الزرقاء في الشكل). يقسم هذان الخطان المستوى إلى مربعات شبه مفتوحة (حيث m و n عددان صحيحان).

${\displaystyle Q_{mn}=\left\{(s+it)z_{0}\left\vert s\in \left[m-{\tfrac {1}{2}},m+{\tfrac {1}{2}}\right),t\in \left[n-{\tfrac {1}{2}},n+{\tfrac {1}{2}}\right)\right.\right\}.}$

تم اختيار الفترات شبه المفتوحة التي تظهر في تعريف Q _mn بحيث ينتمي كل عدد مركب إلى مربع واحد فقط؛ أي أن المربعات Q _mn تشكل تجزئة للمستوى المركب.

${\displaystyle Q_{mn}=(m+in)z_{0}+Q_{00}=\left\{(m+in)z_{0}+z\mid z\in Q_{00}\right\}.}$

_{هذا يعني أن كل عدد صحيح} غاوسي متطابق بتردد z₀ مع عدد صحيح غاوسي وحيد في Q₀₀ (المربع الأخضر في الشكل)، وهو باقي قسمته على z₀ _. بعبارة أخرى، تحتوي كل فئة من فئات البواقي على عنصر واحد فقط _في Q₀₀ _.

تُسمى الأعداد الصحيحة الغاوسية في Q ₀₀ (أو في حدودها ) أحيانًا بالبقايا الدنيا لأن معيارها ليس أكبر من معيار أي عدد صحيح غاوسي آخر في نفس فئة البقايا (أطلق عليها جاوس أصغر البقايا المطلقة ).

ومن هذا يمكن استنتاج من خلال الاعتبارات الهندسية أن عدد فئات البقايا modulo a عدد صحيح غاوسي z ₀ = a + bi يساوي معياره N ( z ₀ ) = a ² + b ² (انظر أدناه للحصول على برهان؛ وبالمثل، بالنسبة للأعداد الصحيحة، فإن عدد فئات البقايا modulo n هو قيمته المطلقة | n | ).

دليل

العلاقة Qmn = ( m + _in ) z0 + Q00 _تعني أن جميع _قيم Qmn تُستنتج من Q00 عن طريق إزاحتها بعدد صحيح غاوسي. وهذا يعني أن جميع _قيم Qmn لها نفس المساحة N = N ( z0 _{) ،} وتحتوي على نفس العدد _{ng من} الأعداد الصحيحة الغاوسية.

_بشكل عام ، عدد نقاط الشبكة ( هنا الأعداد الصحيحة الغاوسية) في مربع عشوائي مساحته A هو A + Θ ( √A ) (انظر Big theta للرموز). إذا اعتبرنا مربعًا كبيرًا يتكون من k × k مربعًا Qmn _، فإنه يحتوي على k²N + O ( k√N ) نقطة شبكة. ومن ثم ^، فإن k²ng = ^k²N + Θ ( k√N ) _، وبالتالي ng ₌ N + Θ ( √N / k ) بعد القسمة على k² . بأخذ النهاية عندما يؤول k إلى اللانهاية ^{، نحصل} على ng = N = _N ( z₀ ) .

يمكن نقل العديد من النظريات (وبرهاينها) الخاصة بمعاملات الأعداد الصحيحة مباشرةً إلى معاملات الأعداد الصحيحة الغاوسية، وذلك باستبدال القيمة المطلقة للمعامل بالمعيار. وينطبق هذا بشكل خاص على زمرة فئات البواقي الأولية (وتُسمى أيضًا الزمرة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد n ) ودالة أويلر . تُعرَّف زمرة فئات البواقي الأولية للمعامل z بأنها المجموعة الجزئية من فئات البواقي الخاصة به، والتي تحتوي على جميع فئات البواقي a الأولية نسبيًا مع z ، أي ( a , z ) = 1. من الواضح أن هذا النظام يُشكِّل زمرة ضربية . يُرمز إلى عدد عناصرها بالرمز ϕ ( z ) (بشكل مماثل لدالة أويلر φ ( n ) للأعداد الصحيحة n ).

بالنسبة للأعداد الأولية الغاوسية، يترتب على ذلك مباشرة أن ϕ ( p ) = | p | ^² - 1، وبالنسبة للأعداد الصحيحة الغاوسية المركبة العشوائية...

${\displaystyle z=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}}}$

يمكن اشتقاق صيغة جداء أويلر على النحو التالي:

${\displaystyle \phi (z)=\prod _{m\,(\nu _{m}>0)}{\bigl |}{p_{m}}^{\nu _{m}}{\bigr |}^{2}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)=|z|^{2}\prod _{p_{m}|z}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)}$

حيث يكون الناتج هو بناء جميع القواسم الأولية p _m للعدد z (حيث ν _m > 0 ). كما يمكن نقل نظرية أويلر المهمة مباشرةً:

لكل a مع ( a , z ) = 1 ، فإنه يتحقق أن a ^{ϕ ( z )} ≡ 1 (mod z ) .

قدّم كارل فريدريش غاوس حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية في دراسته الثانية حول التبادلية الرباعية (1832). ^{[ 7 ]} تربط نظرية التبادلية التربيعية (التي نجح في إثباتها لأول مرة عام 1796) بين قابلية حل التطابق x² ≡ q (mod p ) وقابلية حل التطابق ^{x² ≡} p (mod q ) . وبالمثل، تربط التبادلية التكعيبية بين قابلية حل التطابق x³ ≡ q ( mod p ) وقابلية حل التطابق x³ ≡ p ⁽ mod q ) ، أما التبادلية الرباعية فهي علاقة بين x⁴ ≡ q (mod ^{p )} و x⁴ ≡ p ( mod ^q ) . اكتشف جاوس أن قانون التبادلية التربيعية ومكملاته كان من الأسهل صياغتها وإثباتها كعبارات حول "الأعداد المركبة الكاملة" (أي الأعداد الصحيحة الغاوسية) مقارنة بعبارات حول الأعداد الكاملة العادية (أي الأعداد الصحيحة).

ويشير في حاشية إلى أن أعداد أيزنشتاين الصحيحة هي المجال الطبيعي لذكر وإثبات النتائج المتعلقة بالتبادلية التكعيبية ، ويشير إلى أن الامتدادات المماثلة للأعداد الصحيحة هي المجالات المناسبة لدراسة قوانين التبادلية الأعلى.

لم تقدم هذه الورقة البحثية الأعداد الصحيحة الغاوسية فحسب وأثبتت أنها مجال تحليل فريد، بل قدمت أيضًا المصطلحات المعيار والوحدة والأساسي والارتباطي، والتي أصبحت الآن معيارية في نظرية الأعداد الجبرية.

ترتبط معظم المشاكل التي لم يتم حلها بتوزيع الأعداد الأولية الغاوسية في المستوى.

• لا تتعامل مسألة دائرة غاوس مع الأعداد الصحيحة الغاوسية بحد ذاتها، بل تطلب عدد نقاط الشبكة الصحيحة داخل دائرة نصف قطرها معطاة ومركزها نقطة الأصل. وهذا يُكافئ تحديد عدد الأعداد الصحيحة الغاوسية التي يكون معيارها أقل من قيمة معينة.

توجد أيضًا تخمينات ومسائل لم تُحل بعد حول الأعداد الأولية الغاوسية. اثنان منها هما:

• يحتوي المحوران الحقيقي والخيالي على مجموعة لانهائية من الأعداد الأولية الغاوسية 3، 7، 11، 19، ... وما يرتبط بها. هل توجد خطوط أخرى تحتوي على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية الغاوسية؟ على وجه الخصوص، هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية الغاوسية على الصورة 1 + ki ؟ ^{[ 8 ]}
• هل من الممكن السير إلى ما لا نهاية باستخدام الأعداد الأولية الغاوسية كأحجار للقفز، مع اتخاذ خطوات ذات طول محدد بانتظام؟ تُعرف هذه المسألة بمسألة الخندق الغاوسي ؛ وقد طرحها باسل غوردون عام 1962 ، ولا تزال دون حل. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• عدد صحيح جبري
• مجال سيكلوتوم
• أيزنشتاين عدد صحيح
• أيزنشتاين برايم
• رباعي هورويتز
• براهين نظرية فيرما حول مجموع مربعين
• براهين التبادلية التربيعية
• عدد صحيح تربيعي
• يصف انقسام المُثُل الأولية في امتدادات غالوا بنية المُثُل الأولية في الأعداد الصحيحة الغاوسية.
• جدول تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية (التحليل الغاوسي)

• غاوس، CF (1831)، “Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda.” ، إتصالات. شركة نفط الجنوب. ريج. الخيال العلمي. غوتنغن ، 7 : 89- 148; أعيد طبعه في Werke، Georg Olms Verlag، Hildesheim، 1973، pp.  93–148. الترجمة الألمانية لهذه الورقة متاحة على الإنترنت في ″H. ماسر (محرر): كارل فريدريش غاوس 'الحساب الحسابي über höhere Arithmetik. سبرينغر، برلين 1889، ص  534″.
• فرالي، جون ب. (1976)، مدخل إلى الجبر المجرد (  الطبعة الثانية)، ريدينغ: أديسون-ويسلي ، رقم ISBN 0-201-01984-1
• كلاينر، إسرائيل (1998). "من الأعداد إلى الحلقات: التاريخ المبكر لنظرية الحلقات" . الرياضيات الابتدائية 53 (1): 18-35 . doi : 10.1007/s000170050029 . Zbl 0908.16001 . 
• ريبنبوم، باولو (1996). الكتاب الجديد لسجلات الأعداد الأولية (  الطبعة الثالثة). نيويورك: سبرينغر. ISBN 0-387-94457-5. Zbl 0856.11001 . 
• هنري ج. بيكر (1993). "الأعداد الصحيحة الغاوسية المركبة لرسومات غاوسية"". ACM SIGPLAN Notices . 28 (11): 22– 27. doi : 10.1145/165564.165571 . S2CID 8083226 . 

• نصٌّ مُلخَّصٌ من المنظمة الدولية للرياضيات حول الامتدادات التربيعية والأعداد الصحيحة الغاوسية في حل المسائل
• كيث كونراد، الأعداد الصحيحة الغاوسية .