دالة ضربية كاملة

في نظرية الأعداد ، تُعدّ الدوال التي تأخذ الأعداد الصحيحة الموجبة وتحترم الضرب مهمة، وتُسمى الدوال الضربية الكاملة أو الدوال الضربية التامة . كما أن هناك شرطًا أضعف، وهو احترام ضرب الأعداد الأولية فيما بينها فقط ، وتُسمى هذه الدوال بالدوال الضربية . خارج نطاق نظرية الأعداد، يُستخدم مصطلح "الدالة الضربية" غالبًا كمرادف لمصطلح "الدالة الضربية الكاملة" كما هو مُعرّف في هذه المقالة.

الدالة الضربية الكاملة (أو الدالة الضربية التامة) هي دالة حسابية (أي دالة مجالها هو الأعداد الصحيحة الموجبة )، بحيث يكون f (1) = 1 و f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) صحيحًا لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة a و b . ^{[ 1 ]}

في الترميز المنطقي: f (1) = 1 و ∀ a , b ∈ domain( f ), f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .

بدون الشرط f (1) = 1 ، يمكن للمرء أن يكون f (1) = 0 ، مما يعني أن f ( a ) = f (1 ⋅ a ) = f (1) ⋅ f ( a ) = 0 ⋅ f ( a ) = 0 لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة a ، وهي حالة تافهة مستبعدة بالتعريف المختار.

يمكن إعادة صياغة التعريف أعلاه باستخدام لغة الجبر: الدالة الضربية الكاملة هي تشاكل من المونويد${\displaystyle (\mathbb {Z} _{>0},\cdot )}$(أي الأعداد الصحيحة الموجبة تحت الضرب) إلى بعض أحاديات أخرى.

أبسط مثال على دالة ضربية تمامًا هو ^حد أحادي ذو معامل رئيسي 1: لأي عدد صحيح موجب معين n ، نُعرّف f ( a ) = aⁿ ^. عندئذٍ f ( bc ) = ( bc ) ^ⁿ = bⁿcⁿ = ^f ( b ) f ( c ) ، و f (1) = 1/ n ⁼ 1 .

تُعد دالة ليوفيل مثالاً غير تافه لدالة ضربية تمامًا ، وكذلك رموز ديريشليه ورمز جاكوبي ورمز ليجندر .

الدالة الضربية الكاملة تُحدد قيمها عند الأعداد الأولية تحديدًا تامًا، وهذا نتيجة لنظرية الحساب الأساسية . فإذا كان n حاصل ضرب قوى أعداد أولية مختلفة، مثل n = p ^a q ^b ... ، فإن f ( n ) = f ( p ) ^a f ( q ) ^b ...

بينما يكون التفاف ديريشليه لدالتين ضربيتين ضربيًا، فإن التفاف ديريشليه لدالتين ضربيتين تمامًا ليس بالضرورة ضربيًا تمامًا. تُسمى الدوال الحسابية التي يمكن كتابتها على شكل التفاف ديريشليه لدالتين ضربيتين تمامًا بالدوال التربيعية أو الدوال الضربية الخاصة. وهي دوال حسابية كسرية من الرتبة (2، 0) وتخضع لمتطابقة بوش-رامانوجان.

توجد عبارات متنوعة حول دالة ما تُكافئ كونها ضربية تمامًا. على سبيل المثال، إذا كانت الدالة f ضربية، فإنها تكون ضربية تمامًا إذا وفقط إذا كان معكوسها من نوع ديريشليه هو μ ⋅ f ، حيث μ هي دالة موبيوس . ^{[ 2 ]}

تحقق الدوال الضربية الكاملة أيضًا قانون التوزيع. إذا كانت f دالة ضربية كاملة، فإن $${\displaystyle f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h),}$$ حيث يرمز * إلى جداء ديريشليه و⋅ إلى الضرب النقطي . ^{[ 3 ]} إحدى نتائج ذلك هي أنه لأي دالة ضربية كاملة f يكون لدينا $${\displaystyle f*f=\tau \cdot f}$$ ويمكن استنتاج ذلك مما سبق بوضع g = h = 1 ، حيث 1( n ) = 1 هي الدالة الثابتة . هنا τ هي دالة القاسم .

• الدالة الحسابية
• دالة ديريشليه L
• سلسلة ديريشلي
• دالة الضرب

• أبوستول، تي إم ( 1971)، "بعض خصائص الدوال الحسابية الضربية تمامًا"، المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية ، 78 : 266-271
• أبوستول، توم (1976). مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية . سبرينغر. ISBN 0-387-90163-9.
• هاوكانين، ب . (2001)، "حول خصائص الدوال الحسابية الضربية تمامًا"، نظرية الأعداد ، توركو: دي جرويتر: 115-123
• لانغفورد، إي. (1973)، "التوزيعية على جداء ديريشليه والدوال الحسابية الضربية تمامًا"، المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية ، 80 : 411-414
• لاوهاكوسول، ف. (2001)، "المؤثرات اللوغاريتمية وخصائص الدوال الضربية الكاملة"، نشرة جنوب شرق آسيا للرياضيات ، 25 ( 2): 273-281
• يوكوم، ك. ل. ( 1973)، "الدوال الضربية الكلية في حلقات الالتفاف المنتظمة"، النشرة الرياضية الكندية ، 16 : 119-128