التفاف ديريشلي

في الرياضيات ، يُعدّ التفاف ديريشليه (أو التفاف القواسم ) عملية ثنائية تُعرّف للدوال الحسابية ؛ وهي مهمة في نظرية الأعداد . وقد طوّرها بيتر غوستاف ليجون ديريشليه .

لو${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$هما دالتان حسابيتان ، والتفاف ديريشليه الخاص بهما${\displaystyle f*g}$هي دالة حسابية جديدة معرفة على النحو التالي:

${\displaystyle (f*g)(n)\ =\ \sum _{d\,\mid \,n}f(d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\ =\ \sum _{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b),}$

حيث يمتد المجموع على جميع القواسم الموجبة${\displaystyle d}$ل${\displaystyle n}$أو ما يعادل ذلك على جميع الأزواج المتميزة${\displaystyle (a,b)}$من الأعداد الصحيحة الموجبة التي يكون حاصل ضربها${\displaystyle n}$.

يظهر هذا الناتج بشكل طبيعي في دراسة متسلسلات ديريشليه، مثل دالة زيتا لريمان . وهو يصف ضرب متسلسلتين من متسلسلات ديريشليه بدلالة معاملاتهما.

${\displaystyle \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)\ =\ \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).}$

تشكل مجموعة الدوال الحسابية حلقة تبديلية ،حلقة ديريشليه ، حيث يتم الجمع عن طريقالجمع النقطيوالضرب عن طريق التفاف ديريشليه. العنصر المحايد الضربي هودالة الوحدة${\displaystyle \varepsilon }$محدد بواسطة${\displaystyle \varepsilon (n)=1}$لو${\displaystyle n=1}$و${\displaystyle 0}$وإلا، فإن وحدات (العناصر القابلة للعكس) هذه الحلقة هي الدوال الحسابية.${\displaystyle f}$مع${\displaystyle f(1)\neq 0}$بما أن العناصر غير الوحدوية مغلقة تحت عملية الجمع، فإن هذه الحلقة محلية .

على وجه التحديد، فإن التفاف ديريشليه هو ترابطي ، ^{[ 1 ]}

${\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h),}$

التوزيع على الجمع

${\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h}$،

تبادلي ،

${\displaystyle f*g=g*f}$،

وله عنصر هوية،

${\displaystyle f*\varepsilon }$=${\displaystyle \varepsilon *f=f}$.

علاوة على ذلك، لكل وظيفة${\displaystyle f}$تناول${\displaystyle f(1)\neq 0}$، توجد دالة حسابية أخرى${\displaystyle f^{-1}}$مُرضٍ${\displaystyle f*f^{-1}=\varepsilon }$، والتي تسمى معكوس ديريشليه لـ${\displaystyle f}$.

إنّ التفاف ديريشليه لدالتين ضربيتين هو دالة ضربية أيضًا، ولكل دالة ضربية غير صفرية باستمرار معكوس ديريشليه وهو أيضًا دالة ضربية. بعبارة أخرى، تُشكّل الدوال الضربية زمرة جزئية من زمرة العناصر القابلة للعكس في حلقة ديريشليه. مع ذلك، يجب الانتباه إلى أن مجموع دالتين ضربيتين ليس ضربيًا (لأن${\displaystyle (f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1}$لذا، فإن مجموعة الدوال الضربية ليست حلقة فرعية من حلقة ديريشليه. وتُدرج المقالة المتعلقة بالدوال الضربية العديد من علاقات الالتفاف بين الدوال الضربية المهمة.

هناك عملية أخرى على الدوال الحسابية وهي الضرب النقطي: ${\displaystyle fg}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle (fg)(n)=f(n)g(n)}$. بالنظر إلى دالة ضربية تمامًا${\displaystyle h}$الضرب النقطي بواسطة${\displaystyle h}$يتم التوزيع على التفاف ديريشليه:${\displaystyle (f*g)h=(fh)*(gh)}$[ ^{2 ]} إن التفاف دالتين ضربيتين تمامًا هو ضربي، ولكنه ليس بالضرورة ضربيًا تمامًا ^.

في هذه الصيغ، نستخدم الدوال الحسابية التالية :

• ${\displaystyle \varepsilon }$هو العنصر المحايد الضربي:${\displaystyle \varepsilon (1)=1}$وإلا 0 (${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor }$).
• ${\displaystyle 1}$هي دالة ثابتة قيمتها 1: ${\displaystyle 1(n)=1}$للجميع${\displaystyle n}$ضع في اعتبارك أن${\displaystyle 1}$ليست هي الهوية. ( يشير بعض المؤلفين إلى هذا على أنه${\displaystyle \zeta }$لأن متسلسلة ديريشليه المرتبطة بها هي دالة زيتا لريمان .
• ${\displaystyle 1_{C}}$ل${\displaystyle C\subset \mathbb {N} }$هي دالة مؤشر المجموعة : ${\displaystyle 1_{C}(n)=1}$إذا${\displaystyle n\in C}$وإلا 0.
• ${\displaystyle {\text{المعرف}}}$هي دالة التطابق ذات القيمة n : ${\displaystyle {\text{Id}}(n)=n}$.
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}}$هي دالة القوة k :${\displaystyle {\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}}$.

العلاقات التالية صحيحة:

• ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$،  معكوس ديريشليه للدالة الثابتة${\displaystyle 1}$هي دالة موبيوس (انظر البرهان ). ومن ثم:
• ${\displaystyle g=f*1}$ إذا وفقط إذا ${\displaystyle f=g*\mu }$, صيغة انعكاس موبيوس .
• ${\displaystyle \sigma _{k}={\text{Id}}_{k}*1}$، دالة مجموع القواسم من الرتبة k σ _k .
• ${\displaystyle \sigma ={\text{Id}}*1}$, دالة مجموع المقسومات σ = σ ₁ .
• ${\displaystyle \tau =1*1}$، دالة عدد القواسم τ ( n ) = σ ₀ .
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}=\sigma _{k}*\mu }$، بواسطة انعكاس موبيوس لصيغ σ _k و σ و τ .
• ${\displaystyle {\text{Id}}=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle 1=\tau *\mu }$
• ${\displaystyle \phi *1={\text{المعرف}}}$، تم إثبات ذلك باستخدام دالة أويلر .
• ${\displaystyle \phi ={\text{المعرف}}*\mu }$، عن طريق انعكاس موبيوس.
• ${\displaystyle \sigma =\phi *\tau }$ ، من خلال إجراء عملية التفاف على كلا جانبي 1${\displaystyle \phi *1={\text{المعرف}}}$.
• ${\displaystyle \lambda *|\mu |=\varepsilon }$ حيث λ هي دالة ليوفيل .
• ${\displaystyle {\text{المعرف}}*\phi =P}$، أين${\displaystyle P}$هي دالة بيلاي الحسابية ، والمعروفة أيضًا باسم دالة مجموع القاسم المشترك الأكبر.
• ${\displaystyle \lambda *1=1_{\text{Sq}}}$ حيث Sq = {1, 4, 9, ...} هي مجموعة المربعات.
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}*({\text{Id}}_{k}\mu )=\varepsilon }$
• ${\displaystyle \tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}}$
• ${\displaystyle J_{k}*1={\text{Id}}_{k}}$دالة جوردان الموجبة .
• ${\displaystyle ({\text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}}$
• ${\displaystyle \Lambda *1=\log }$، أين${\displaystyle \Lambda }$هي دالة فون مانغولد .
• ${\displaystyle |\mu |\ast 1=2^{\أوميغا },}$أين${\displaystyle \omega (n)}$دالة أوميغا الأولية هي دالة تحسب العوامل الأولية المختلفة للعدد n .
• ${\displaystyle \Omega \ast \mu =1_{\mathcal {P}}}$، الدالة المميزة للقوى الأولية.
• ${\displaystyle \omega \ast \mu =1_{\mathbb {P} }}$أين${\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)\mapsto \{0,1\}}$هي الدالة المميزة للأعداد الأولية.

تُظهر هذه المتطابقة الأخيرة أن دالة عد الأعداد الأولية تُعطى بواسطة دالة الجمع.

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{n\leq x}(\omega \ast \mu )(n)=\sum _{d=1}^{x}\omega (d)M\left(\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor \right)}$

أين${\displaystyle M(x)}$هي دالة ميرتنز و${\displaystyle \omega }$هي دالة عدّ العوامل الأولية المميزة المذكورة أعلاه. وينتج هذا التوسع من متطابقة المجاميع على التفافات ديريشليه الواردة في صفحة متطابقات مجموع القواسم (وهي حيلة شائعة لهذه المجاميع). ^{[ 3 ]}

إذا كانت f دالة حسابية، فإن دالة توليد متسلسلة ديريشليه تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

بالنسبة للقيم المعقدة التي تتقارب عندها المتسلسلة (إن وجدت). يتوافق ضرب متسلسلات ديريشليه مع التفاف ديريشليه بالمعنى التالي:

${\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}$

لكل قيمة s التي تتقارب عندها متسلسلتا الطرف الأيسر، إحداهما على الأقل متقاربة تقاربًا مطلقًا (لاحظ أن التقارب البسيط لمتسلسلتي الطرف الأيسر لا يستلزم بالضرورة تقارب الطرف الأيمن!). وهذا يُشبه نظرية الالتفاف إذا اعتبرنا متسلسلة ديريشليه تحويلًا فورييه .

إن تقييد القواسم في عملية الالتفاف إلى قواسم وحدوية أو ثنائية الوحدة أو لانهائية يحدد عمليات تبديلية مماثلة تشترك في العديد من الميزات مع التفاف ديريشليه (وجود انعكاس موبيوس، واستمرار الضرب، وتعريفات العناصر، وصيغ الضرب من نوع أويلر على الأعداد الأولية المرتبطة، وما إلى ذلك).

الالتفاف ديريشليه هو حالة خاصة من ضرب الالتفاف لجبر الوقوع لمجموعة مرتبة جزئياً، وفي هذه الحالة المجموعة المرتبة جزئياً من الأعداد الصحيحة الموجبة مرتبة حسب قابلية القسمة.

تقوم طريقة القطع الزائد لـ Dirichlet بحساب مجموع الالتفاف بدلالة دوالها ودوال مجموعها.

• الدالة الحسابية
• متطابقات مجموع القواسم
• صيغة انعكاس موبيوس

• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001  
• تشان، هينغ هوات (2009). نظرية الأعداد التحليلية لطلاب المرحلة الجامعية . سلسلة دراسات في نظرية الأعداد. دار النشر العالمية للعلوم. ISBN 978-981-4271-36-3.
• هيو ل. مونتغمري ؛ روبرت س. فوغان (2007). نظرية الأعداد الضربية 1. النظرية الكلاسيكية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  97. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص  38. ISBN 978-0-521-84903-6.
• كوهين، إيكفورد (1959). "فئة من أنظمة البواقي (mod r) والدوال الحسابية ذات الصلة. الجزء الأول: تعميم لانعكاس موبيوس". مجلة باسيفيك للرياضيات ، المجلد  9، العدد  1، الصفحات 13-23 . MR 0109806 .  
• كوهين، إيكفورد (1960). "الدوال الحسابية المرتبطة بقواسم العدد الصحيح الوحدوية". مجلة الرياضيات . 74 : 66-80 . doi : 10.1007/BF01180473 . MR 0112861 . 
• كوهين، إيكفورد (1960). "عدد القواسم الوحدوية لعدد صحيح". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . المجلد  67، العدد  9. الصفحات 879-880 . MR 0122790 .  
• كوهين، غرايم ل. (1990). "حول القواسم اللانهائية للأعداد الصحيحة" . مجلة الرياضيات الحاسوبية 54 (189): 395-411 . doi : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . MR 0993927 . 
• كوهين، غرايم ل. (1993). "الدوال الحسابية المرتبطة بقواسم عدد صحيح لا نهائية" . المجلة الدولية للرياضيات والعلوم الرياضية . 16 (2): 373-383 . doi : 10.1155/S0161171293000456 .
• هاوكانين، بنتي (2000). "تعبيرات عن معكوس ديريشليه للدوال الحسابية" . ملاحظات حول نظرية الأعداد والرياضيات المتقطعة . 6 (4): 118-124 .
• ساندور، جوزيف؛ بيرج، أنتال (2003). "دالة موبيوس: تعميمات وامتدادات". دراسات متقدمة في الرياضيات المعاصرة (كيونغشانغ) . 6 (2): 77-128 . MR 1962765 . 
• فينش، ستيفن (2004). "الوحدوية واللانهائية" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 22-02-2015.

• "التفاف ديريشليه" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS ، 2001 [1994]