دالة الضرب

في نظرية الأعداد ، الدالة الضربية هي دالة حسابية${\displaystyle f}$عدد صحيح موجب${\displaystyle n}$مع العقار الذي${\displaystyle f(1)=1}$و $${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$$حينما${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هي أعداد أولية فيما بينها .

يُقال إن الدالة الحسابية ضربية تمامًا (أو ضربية كليًا ) إذا${\displaystyle f(1)=1}$و${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$ينطبق هذا على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$، حتى عندما لا تكون أعدادًا أولية فيما بينها.

تم تعريف بعض الدوال الضربية لتسهيل كتابة الصيغ:

• ${\displaystyle 1(n)}$: الدالة الثابتة المعرفة بواسطة${\displaystyle 1(n)=1}$

• ${\displaystyle \operatorname {Id} (n)}$دالة التطابق ، المعرفة بواسطة${\displaystyle \operatorname {Id} (n)=n}$

• ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)}$: دوال القوة، المعرفة بواسطة${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$لأي عدد مركب${\displaystyle k}$لدينا حالات خاصة
  • ${\displaystyle \operatorname {Id} _{0}(n)=1(n)}$، و
  • ${\displaystyle \operatorname {Id} _{1}(n)=\operatorname {Id} (n)}$.

• ${\displaystyle \varepsilon (n)}$: الدالة المحددة بواسطة${\displaystyle \varepsilon (n)=1}$لو${\displaystyle n=1}$و${\displaystyle 0}$وإلا؛ فهذه هي دالة الوحدة ، التي سُميت كذلك لأنها العنصر المحايد الضربي لعملية الالتفاف ديريشليه . تُكتب أحيانًا على النحو التالي:${\displaystyle u(n)}$لا ينبغي الخلط بينه وبين${\displaystyle \mu (n)}$.

• ${\displaystyle \lambda (n)}$دالة ليوفيل ،${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$، أين${\displaystyle \Omega (n)}$هو العدد الإجمالي للأعداد الأولية (مع مراعاة التعددية) التي تقسم${\displaystyle n}$

جميع الدوال المذكورة أعلاه هي دوال ضربية بالكامل.

• ${\displaystyle 1_{C}(n)}$: دالة المؤشر للمجموعة${\displaystyle C\subseteq \mathbb {Z} }$تكون هذه الدالة ضربية تحديدًا عندما${\displaystyle C}$مجموعة الأعداد الأولية فيما بينها مغلقة تحت عملية ضرب الأعداد الأولية فيما بينها. وهناك مجموعات أخرى (غير مغلقة تحت عملية الضرب) تُنتج مثل هذه الدوال، مثل مجموعة الأعداد الخالية من المربعات .

ومن الأمثلة الأخرى على الدوال الضربية العديد من الدوال ذات الأهمية في نظرية الأعداد، مثل:

• ${\displaystyle \gcd(n,k)}$القاسم المشترك الأكبر لـ${\displaystyle n}$و${\displaystyle k}$، كدالة لـ${\displaystyle n}$، أين${\displaystyle k}$هو عدد صحيح ثابت

• ${\displaystyle \varphi (n)}$دالة أويلر ، التي تحسب الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية نسبياً (ولكن ليست أكبر من)${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle \mu (n)}$دالة موبيوس ، الزوجية (${\displaystyle -1}$بالنسبة للأعداد الفردية،${\displaystyle +1}$(لعدد زوجي) من عدد العوامل الأولية للأعداد الخالية من المربعات ؛${\displaystyle 0}$لو${\displaystyle n}$ليس خالياً من المربعات

• ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$دالة القاسم ، وهي مجموع${\displaystyle k}$القوى النونية لجميع القواسم الموجبة لـ${\displaystyle n}$(أين${\displaystyle k}$(قد يكون أي عدد مركب ). كحالات خاصة لدينا
  • ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$عدد القواسم الموجبة لـ${\displaystyle n}$،
  • ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=\sigma (n)}$، مجموع جميع القواسم الموجبة لـ${\displaystyle n}$.

• ${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)}$مجموع${\displaystyle k}$القوى الـ n لجميع القواسم الوحدوية لـ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)\,=\!\!\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!\!d^{k}}$

• ${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$: الجذر من${\displaystyle n}$، وهو ناتج العوامل الأولية المختلفة لـ${\displaystyle n}$.

• ${\displaystyle a(n)}$عدد المجموعات الأبيلية غير المتماثلة من الرتبة${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle \gamma (n)}$، كما هو محدد بواسطة${\displaystyle \gamma (n)=(-1)^{\أوميغا (n)}}$، حيث الدالة الجمعية${\displaystyle \omega (n)}$هو عدد الأعداد الأولية المختلفة التي تقسم${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \tau (n)}$دالة تاو لرامانوجان
• جميع دوال ديريشليه هي دوال ضربية بالكامل، على سبيل المثال
  • ${\displaystyle (n/p)}$، رمز ليجندر ، الذي يُعتبر دالة لـ${\displaystyle n}$أين${\displaystyle p}$هو عدد أولي ثابت

من أمثلة الدوال غير الضربية الدالة الحسابية${\displaystyle r_{2}(n)}$عدد تمثيلات${\displaystyle n}$كمجموع مربعات عددين صحيحين ، موجب أو سالب أو صفر ، حيث يُسمح بعكس الترتيب عند حساب عدد الطرق الممكنة. على سبيل المثال:

وبالتالي${\displaystyle r_{2}(1)=4\neq 1}$وهذا يدل على أن الدالة ليست ضربية. ومع ذلك،${\displaystyle r_{2}(n)/4}$هي عملية ضربية.

في الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة ، تحتوي تسلسلات قيم الدالة الضربية على الكلمة المفتاحية "mult". ^{[ 1 ]}

انظر إلى الدالة الحسابية للاطلاع على بعض الأمثلة الأخرى للدوال غير الضربية.

تُحدد الدالة الضربية كليًا بقيمها عند قوى الأعداد الأولية ، وذلك نتيجةً لنظرية الحساب الأساسية . فإذا كان n ناتج ضرب قوى أعداد أولية مختلفة، مثل n = pₐ ^{qₐ ...} ، فإن f ( n ) = f ( pₐ ) f ( ^{qₐ )} ...

تقلل هذه الخاصية للدوال الضربية بشكل كبير من الحاجة إلى الحساب، كما في الأمثلة التالية لـ n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² : $${\displaystyle d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\,\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15}$$$${\displaystyle \sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\,\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403}$$$${\displaystyle \sigma ^{*}(144)=\sigma ^{*}(2^{4})\,\sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170}$$

وبالمثل، لدينا: $${\displaystyle \varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6=48}$$

بشكل عام، إذا كانت f ( n ) دالة ضربية وكان a و b أي عددين صحيحين موجبين، فإن

حاصل ضرب دالتين ضربيتين هو أيضًا دالة ضربية.

كل دالة ضربية تمامًا هي تشاكل أحاديات ويتم تحديدها تمامًا من خلال تقييدها على الأعداد الأولية.

إذا كانت f و g دالتين ضربيتين، فإن إحداهما تُعرّف دالة ضربية جديدة.${\displaystyle f*g}$، عملية الالتفاف ديريشليه للدالتين f و g ، بواسطة $${\displaystyle (f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)}$$ حيث يمتد المجموع على جميع القواسم الموجبة d للعدد n . بهذه العملية، تتحول مجموعة جميع الدوال الضربية إلى زمرة تبديلية ؛ وعنصرها المحايد هو ε . عملية الالتفاف تبديلية، وتجميعية، وتوزيعية على الجمع.

تشمل العلاقات بين الدوال الضربية التي نوقشت أعلاه ما يلي:

• ${\displaystyle \mu *1=\varepsilon }$( صيغة انعكاس موبيوس )
• ${\displaystyle (\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon }$(انعكاس موبيوس المعمم)
• ${\displaystyle \varphi *1=\operatorname {Id} }$
• ${\displaystyle d=1*1}$
• ${\displaystyle \sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d}$
• ${\displaystyle \sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1}$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} =\varphi *1=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu }$

يمكن تعريف التفاف ديريشليه للدوال الحسابية العامة، وينتج عنه بنية حلقية، وهي حلقة ديريشليه .

إنّ التفاف ديريشليه لدالتين ضربيتين هو أيضاً دالة ضربية. ويُقدّم البرهان على هذه الحقيقة من خلال المفكوك التالي للأعداد الأولية فيما بينها.${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}}$$

يقال إن الدالة الحسابية f هي دالة حسابية كسرية من الرتبة${\displaystyle (r,s)}$إذا وُجدت دوال ضربية كاملة g ₁ ,..., g _r , h ₁ ,..., h _s بحيث $${\displaystyle f=g_{1}\ast \cdots \ast g_{r}\ast h_{1}^{-1}\ast \cdots \ast h_{s}^{-1},}$$ حيث تكون الدوال العكسية بالنسبة إلى التفاف ديريشليه. الدوال الحسابية الكسرية من الرتبة${\displaystyle (1,1)}$تُعرف هذه الدوال باسم دوال الشد، والدوال الحسابية الكسرية من الرتبة${\displaystyle (2,0)}$تُعرف هذه الدوال بالدوال التربيعية أو الدوال الضربية على وجه الخصوص. دالة أويلر${\displaystyle \varphi (n)}$هي دالة أوتينية، ودالة مقسوم عليها${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$هي دالة تربيعية. الدوال الضربية الكاملة هي دوال حسابية كسرية من الرتبة α.${\displaystyle (1,0)}$وظيفة ليوفيل${\displaystyle \lambda (n)}$دالة موبيوس ضربية بالكامل.${\displaystyle \mu (n)}$هي دالة حسابية نسبية من الرتبة${\displaystyle (0,1)}$بحسب الاصطلاح، عنصر الهوية${\displaystyle \varepsilon }$في ظل التفاف ديريشليه، تكون الدالة الحسابية الكسرية من الرتبة${\displaystyle (0,0)}$.

جميع الدوال الحسابية الكسرية هي دوال ضربية. الدالة الضربية f هي دالة حسابية كسرية من الرتبة α.${\displaystyle (r,s)}$إذا وفقط إذا كانت سلسلة بيل الخاصة بها من الشكل $${\displaystyle {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}={\frac {(1-h_{1}(p)x)(1-h_{2}(p)x)\cdots (1-h_{s}(p)x)}{(1-g_{1}(p)x)(1-g_{2}(p)x)\cdots (1-g_{r}(p)x)}}}}$$ لجميع الأعداد الأولية${\displaystyle p}$.

إن مفهوم الدالة الحسابية النسبية يعود إلى ر. فايدياناثاسوامي (1931).

دالة ضربية${\displaystyle f}$يُقال إنها دالة ضربية خاصة إذا كانت هناك دالة ضربية كاملة${\displaystyle f_{A}}$بحيث

${\displaystyle f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}f(mn/d^{2})f_{A}(d)}$

لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$أو ما يعادل ذلك

${\displaystyle f(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}f(m/d)f(n/d)\mu (d)f_{A}(d)}$

لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$، أين${\displaystyle \mu }$هي دالة موبيوس. تُعرف هذه باسم متطابقات بوش-رامانوجان. في عام 1906، صاغ إي. بوش هذه المتطابقة

${\displaystyle \sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(mn/d^{2})d^{k},}$

وفي عام 1915، قدم إس. رامانوجان الشكل العكسي

${\displaystyle \sigma _{k}(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(m/d)\sigma _{k}(n/d)\mu (d)d^{k}}$

ل${\displaystyle k=0}$قدّم إس. تشاولا الصيغة العكسية للصيغة العامة${\displaystyle k}$في عام 1929، انظر بي جيه مكارثي (1986). بدأت دراسة متطابقات بوش-رامانوجان من محاولة لفهم الحالات الخاصة التي قدمها بوش ورامانوجان بشكل أفضل.

من المعروف أن الدوال التربيعية${\displaystyle f=g_{1}\ast g_{2}}$تحقق متطابقات بوش-رامانوجان مع${\displaystyle f_{A}=g_{1}g_{2}}$الدوال التربيعية هي نفسها تمامًا الدوال الضربية الخاصة. تحقق الدوال الطرفية متطابقة بوش-رامانوجان المقيدة. لمزيد من التفاصيل، انظر R. Vaidyanathaswamy (1931).

ليكن A = F _q [ X ] ، حلقة كثيرات الحدود على الحقل المنتهي ذي q عنصرًا. A هي مجال مثالي رئيسي ، وبالتالي فإن A هي مجال تحليل وحيد .

دالة ذات قيم مركبة${\displaystyle \lambda }$يُطلق على A اسم الضرب إذا كان${\displaystyle \lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)}$عندما يكون العددان f و g أوليين فيما بينهما .

يمكن بناء الدوال متعددة المتغيرات باستخدام مقدرات النموذج المضاعف. حيث تُعرَّف دالة المصفوفة A على النحو التالي:$${\displaystyle D_{N}=N^{2}\times N(N+1)/2}$$

يمكن توزيع المبلغ الإجمالي على المنتج$${\displaystyle y_{t}=\sum (t/T)^{1/2}u_{t}=\sum (t/T)^{1/2}G_{t}^{1/2}\epsilon _{t}}$$

لتقدير Σ (.) بكفاءة ، يمكن النظر في نموذجي الانحدار غير البارامتري التاليين :$${\displaystyle {\tilde {y}}_{t}^{2}={\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}}}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(\epsilon _{t}^{2}-1),}$$

و$${\displaystyle y_{t}^{2}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(g_{t}\epsilon _{t}^{2}-1).}$$

وبالتالي فإنه يعطي قيمة تقديرية لـ$${\displaystyle L_{t}(\tau ;u)=\sum _{t=1}^{T}K_{h}(u-t/T){\begin{bmatrix}ln\tau +{\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}\tau }}\end{bmatrix}}}$$

مع دالة احتمالية محلية لـ${\displaystyle y_{t}^{2}}$مع المعروف${\displaystyle g_{t}}$وغير معروف${\displaystyle \sigma ^{2}(t/T)}$.

دالة حسابية${\displaystyle f}$تكون شبه ضربية إذا وُجد ثابت غير صفري${\displaystyle c}$بحيث ${\displaystyle c\,f(mn)=f(m)f(n)}$ لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle m,n}$مع${\displaystyle (m,n)=1}$. هذا المفهوم نشأ من قبل لاهيري (1972).

دالة حسابية${\displaystyle f}$تكون شبه ضربية إذا وُجد ثابت غير صفري${\displaystyle c}$عدد صحيح موجب${\displaystyle a}$ودالة ضربية${\displaystyle f_{m}}$بحيث ${\displaystyle f(n)=cf_{m}(n/a)}$ لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$ (بموجب الاتفاقية التي${\displaystyle f_{m}(x)=0}$لو${\displaystyle x}$(ليس عددًا صحيحًا موجبًا.) يعود هذا المفهوم إلى ديفيد ريريك (1966).

دالة حسابية${\displaystyle f}$تكون دالة سيلبرغ ضربية إذا كان لكل عدد أولي${\displaystyle p}$توجد دالة${\displaystyle f_{p}}$على الأعداد الصحيحة غير السالبة مع${\displaystyle f_{p}(0)=1}$لجميع الأعداد الأولية باستثناء عدد محدود منها${\displaystyle p}$بحيث ${\displaystyle f(n)=\prod _{p}f_{p}(\nu _{p}(n))}$ لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$، أين${\displaystyle \nu _{p}(n)}$هو أس${\displaystyle p}$في التحليل الكنسي لـ${\displaystyle n}$انظر سيلبرغ (1977).

من المعروف أن فئتي الدوال شبه الضربية والدوال الضربية من نوع سيلبرغ متطابقتان. كلاهما يحقق المتطابقة الحسابية ${\displaystyle f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])}$ لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle m,n}$انظر هاوكانين (2012).

من المعروف والسهل ملاحظة أن الدوال الضربية هي دوال شبه ضربية ذات${\displaystyle c=1}$والدوال شبه الضربية هي دوال شبه ضربية ذات${\displaystyle a=1}$.

• منتج أويلر
• سلسلة بيل
• سلسلة لامبرت

• انظر الفصل الثاني من كتاب أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001  
• بي جيه مكارثي، مقدمة في الدوال الحسابية، سلسلة يونيفرسيتكست. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، 1986.
• هافنر، كريستيان م.؛ لينتون، أوليفر (2010). "التقدير الفعال لنموذج التقلب المضاعف متعدد المتغيرات" (ملف PDF) . مجلة الاقتصاد القياسي . 159 (1): 55-73 . doi : 10.1016/j.jeconom.2010.04.007 . S2CID 54812323 . 
• ب. هوكانين (2003). "بعض خصائص الدوال الضربية الخاصة" . المجلة الدولية للرياضيات والعلوم الرياضية . 2003 (37): 2335-2344 . doi : 10.1155/S0161171203301139 .
• ب. هوكانين (2012). "امتدادات فئة الدوال الضربية" . مجلة الشرق والغرب للرياضيات . 14 (2): 101-113 .
• دي بي لاهيري (1972). “الوظائف النظرية للعدد الناقص”. المعادلات الرياضية . 8 (3): 316-317 . دوى : 10.1007 / BF01844515 .

• د. ريريك (1966). "الدوال شبه الضربية". مجلة ديوك للرياضيات 33 : 49-53 . doi : 10.1215/S0012-7094-66-03308-4 .

• ل. توث (2013). "تعميمان لهويات بوش-رامانوجان". المجلة الدولية لنظرية الأعداد . 9 (5): 1301-1311 . arXiv : 1301.3331 . doi : 10.1142/S1793042113500280 .
• ر. فايدياناثاسوامي (1931). "نظرية الدوال الحسابية الضربية" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 33 (2): 579-662 . doi : 10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 .
• رامانوجان، س. (1916). "بعض الصيغ في النظرية التحليلية للأعداد" (ملف PDF) . مجلة ميسنجر . 45 : 81-84 .

• E. Busche، Lösung einer Aufgabe über Teileranzahlen. ميت. الرياضيات. جيز. هامب. 4، 229--237 (1906)

• أ. سيلبرغ: ملاحظات حول الدوال الضربية. يوم نظرية الأعداد (وقائع المؤتمر، جامعة روكفلر، نيويورك، 1976)، ص 232-241، سبرينغر، 1977.
• ماثار، ريتشارد ج. (2012). "مسح لمتسلسلات ديريشليه للدوال الحسابية الضربية". arXiv : 1106.4038 [ math.NT ].

• الدالة الضربية في PlanetMath .