التوزيع اللوغاريتمي

في الاحتمالات والإحصاء ، يُعد التوزيع اللوغاريتمي (المعروف أيضًا باسم توزيع السلسلة اللوغاريتمية أو توزيع السلسلة اللوغاريتمية ) توزيعًا احتماليًا منفصلاً مشتقًا من متسلسلة ماكلورين .

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

ومن هذا نحصل على الهوية

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

يؤدي هذا مباشرة إلى دالة الكتلة الاحتمالية لمتغير عشوائي موزع وفقًا لتوزيع Log( p ) :

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

بالنسبة لـ k  ≥  1، وحيث 0  < p < 1. وبسبب التطابق أعلاه، فإن التوزيع يكون طبيعيًا بشكل صحيح.   

دالة التوزيع التراكمي هي

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

حيث B هي دالة بيتا غير الكاملة .

يكون لمتغير عشوائي مُركّب من توزيع بواسون ومتغيرات عشوائية موزعة وفقًا لتوزيع لوغاريتمي ( p ) توزيع ثنائي سالب . بعبارة أخرى، إذا كان N متغيرًا عشوائيًا يتبع توزيع بواسون ، وكان Xᵢ ، حيث _i = 1، 2، 3، ... متتالية لانهائية من متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع ، لكل منها توزيع لوغاريتمي ( p )، فإن

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

يتبع توزيعًا ثنائي الحد السالب. وبهذا، يُعتبر التوزيع الثنائي الحد السالب توزيعًا مركبًا من نوع بواسون .

وصف آر إيه فيشر التوزيع اللوغاريتمي في ورقة بحثية استخدمها لنمذجة الوفرة النسبية للأنواع . ^{[ 1 ]}

• توزيع بواسون (مشتق أيضًا من سلسلة ماكلورين)

• جونسون، نورمان لويد؛ كيمب، أدريان دبليو ؛ كوتز، صموئيل (2005). "الفصل 7: التوزيعات اللوغاريتمية واللاغرانجية". التوزيعات المنفصلة أحادية المتغير (  الطبعة الثالثة). جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-27246-5.
• وايسشتاين، إريك دبليو. "توزيع السلسلة اللوغاريتمية" . عالم الرياضيات .