دالة الكتلة الاحتمالية

في علم الاحتمالات والإحصاء ، تُعرف دالة الكتلة الاحتمالية (وتُسمى أحيانًا دالة الاحتمال أو دالة التكرار ^{[ 1 ]} ) بأنها دالة تُعطي احتمال أن يكون متغير عشوائي منفصل مساويًا تمامًا لقيمة معينة. ^{[ 2 ]} وتُعرف أحيانًا أيضًا بدالة كثافة الاحتمال المنفصلة . غالبًا ما تكون دالة الكتلة الاحتمالية هي الوسيلة الأساسية لتحديد توزيع الاحتمال المنفصل ، وتوجد هذه الدوال لكل من المتغيرات العشوائية العددية والمتعددة المتغيرات التي يكون نطاقها منفصلًا.

تختلف دالة الكتلة الاحتمالية عن دالة كثافة الاحتمال المستمرة (PDF) في أن الأخيرة ترتبط بمتغيرات عشوائية مستمرة وليست منفصلة. يجب تكامل دالة كثافة الاحتمال المستمرة على فترة زمنية للحصول على الاحتمال. ^{[ 3 ]}

تُسمى قيمة المتغير العشوائي الذي له أكبر كتلة احتمالية بالمنوال .

دالة الكتلة الاحتمالية هي التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي منفصل ، وتُحدد القيم الممكنة واحتمالاتها المرتبطة بها. وهي الدالة${\displaystyle p:\mathbb {R} \to [0,1]}$محدد بواسطة

ل${\displaystyle -\infty <x<\infty }$، ^{[ 3 ]} حيث${\displaystyle P}$هو مقياس احتمالي .${\displaystyle p_{X}(x)}$ويمكن تبسيطها أيضًا على النحو التالي${\displaystyle p(x)}$[ ^{4 ]​}

يجب أن تكون الاحتمالات المرتبطة بجميع القيم (الافتراضية) غير سالبة وأن يكون مجموعها 1.

$${\displaystyle \sum _{x}p_{X}(x)=1}$$و$${\displaystyle p_{X}(x)\geq 0.}$$

يساعد التفكير في الاحتمالية على شكل كتلة في تجنب الأخطاء، لأن الكتلة الفيزيائية محفوظة ، وكذلك الاحتمالية الكلية لجميع النتائج الافتراضية.${\displaystyle x}$.

دالة كتلة الاحتمال لمتغير عشوائي منفصل${\displaystyle X}$يمكن اعتبارها حالة خاصة من بنيتين أكثر عمومية في نظرية القياس : توزيع${\displaystyle X}$ودالة كثافة الاحتمال لـ${\displaystyle X}$فيما يتعلق بمقياس العد . سنوضح هذا الأمر بمزيد من الدقة أدناه.

لنفترض أن${\displaystyle (A,{\mathcal {A}},P)}$هو فضاء احتمالي و${\displaystyle (B,{\mathcal {B}})}$هي فضاء قابل للقياس وجبر سيجما الأساسي فيها منفصل، لذا فهي تحتوي على وجه الخصوص على مجموعات مفردة من${\displaystyle B}$في هذا السياق، متغير عشوائي${\displaystyle X\colon A\to B}$تكون منفصلة بشرط أن تكون صورتها قابلة للعد. مقياس الدفع الأمامي${\displaystyle X_{*}(P)}$—يُطلق عليه توزيع${\displaystyle X}$في هذا السياق، هو مقياس احتمالي على${\displaystyle B}$يؤدي تقييدها بالمجموعات الفردية إلى دالة الكتلة الاحتمالية (كما ذكر في القسم السابق).${\displaystyle f_{X}\colon B\to \mathbb {R} }$منذ${\displaystyle f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)}$لكل${\displaystyle b\in B}$.

لنفترض الآن أن${\displaystyle (B,{\mathcal {B}},\mu )}$هي مساحة قياس مجهزة بأداة قياس العد${\displaystyle \mu }$دالة كثافة الاحتمال${\displaystyle f}$ل${\displaystyle X}$فيما يتعلق بمقياس العد، إن وجد، فهو مشتق رادون-نيكوديم لمقياس الدفع الأمامي لـ${\displaystyle X}$(فيما يتعلق بمقياس العد)، لذلك${\displaystyle f=dX_{*}P/d\mu }$و${\displaystyle f}$هي دالة من${\displaystyle B}$إلى الأعداد الحقيقية غير السالبة. ونتيجة لذلك، بالنسبة لأي${\displaystyle b\in B}$لدينا $${\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(b))=X_{*}(P)(b)=\int _{b}fd\mu =f(b),}$$

مما يدل على أن${\displaystyle f}$هي في الواقع دالة كتلة احتمالية.

عندما يكون هناك ترتيب طبيعي بين النتائج المحتملة${\displaystyle x}$قد يكون من المناسب إسناد قيم عددية إليها (أو مجموعات من n في حالة متغير عشوائي متعدد المتغيرات منفصل ) والنظر أيضًا في القيم التي لا تتوافق مع صورة${\displaystyle X}$. إنه،${\displaystyle f_{X}}$يمكن تعريفها لجميع الأعداد الحقيقية و${\displaystyle f_{X}(x)=0}$للجميع${\displaystyle x\notin X(S)}$كما هو موضح في الشكل.

صورة${\displaystyle X}$تحتوي على مجموعة جزئية قابلة للعد يكون عليها دالة الكتلة الاحتمالية${\displaystyle f_{X}(x)}$يساوي واحدًا. وبالتالي، فإن دالة الكتلة الاحتمالية تساوي صفرًا لجميع قيم باستثناء عدد محدود منها.${\displaystyle x}$.

يرتبط عدم استمرارية دوال الكتلة الاحتمالية بحقيقة أن دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي منفصل تكون أيضاً غير مستمرة.${\displaystyle X}$إذا كان متغيرًا عشوائيًا منفصلاً،${\displaystyle P(X=x)=1}$يعني ذلك أن الحدث العرضي${\displaystyle (X=x)}$مؤكد (صحيح في 100% من الحالات)؛ على العكس من ذلك،${\displaystyle P(X=x)=0}$يعني ذلك أن الحدث العرضي${\displaystyle (X=x)}$هذا مستحيل دائمًا. هذه العبارة غير صحيحة بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر.${\displaystyle X}$، والتي من أجلها${\displaystyle P(X=x)=0}$لأي سبب ممكن${\displaystyle x}$. التقطيع هو عملية تحويل متغير عشوائي مستمر إلى متغير منفصل.

يوجد لمتغيرين عشوائيين منفصلين أو أكثر دالة كتلة احتمالية مشتركة، والتي تعطي احتمال كل تركيبة ممكنة من التحققات للمتغيرات العشوائية.

• جونسون، ن. ل.؛ كوتز، س.؛ كيمب، أ. (1993). التوزيعات المنفصلة أحادية المتغير (  الطبعة الثانية). وايلي. ص  36. ISBN 0-471-54897-9.