إجراء دفع للأمام

في نظرية القياس ، يتم الحصول على قياس الدفع الأمامي (المعروف أيضًا باسم الدفع الأمامي أو الدفع الأمامي أو قياس الصورة ) عن طريق نقل ("الدفع للأمام") قياس من فضاء قابل للقياس إلى آخر باستخدام دالة قابلة للقياس .

بالنظر إلى المساحات القابلة للقياس${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$و${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$دالة قابلة للقياس${\displaystyle f\colon X_{1}\to X_{2}}$ومقياس${\displaystyle \mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]}$، الدفع إلى الأمام${\displaystyle \mu }$بواسطة${\displaystyle f}$يُعرَّف بأنه المقياس${\displaystyle f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]}$مقدم من

${\displaystyle f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)}$ل${\displaystyle B\in \Sigma _{2}.}$

ينطبق هذا التعريف، مع مراعاة الاختلافات، على القياس الموقّع أو المعقد . ويُشار إلى القياس المُقدّم أيضًا باسم${\displaystyle \mu \circ f^{-1}}$،${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$،${\displaystyle f\sharp \mu }$، أو${\displaystyle f\#\mu }$.

• لو${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$هو فضاء احتمالي ،${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$هو مساحة قابلة للقياس ، و${\displaystyle X:\Omega \to E}$هو${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$إذا كان لدينا متغير عشوائي ذو قيمة n، فإن التوزيع الاحتمالي لـ${\displaystyle X}$هو مقياس الدفع إلى الأمام لـ${\displaystyle P}$بواسطة${\displaystyle X}$على${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$.
• يمكن تعريف " مقياس ليبيغ ^" الطبيعي على دائرة الوحدة S1 (التي تُعتبر هنا مجموعة جزئية من المستوى المركب C ) باستخدام بناء الدفع الأمامي ومقياس ليبيغ λ على خط الأعداد الحقيقية R. لنفترض أن λ يرمز أيضًا إلى تقييد مقياس ليبيغ على الفترة [0, 2π ) ، ولنفترض أن f : [0, 2π ) → S1 هو التقابل الطبيعي المعرف بـ f ( ^t ) = exp( it ) . إذن ، "مقياس ليبيغ" الطبيعي على S1 هو مقياس الدفع الأمامي f _* ( λ ). يمكن أيضًا تسمية المقياس f _* ( λ ) بـ "مقياس طول القوس ^" أو "مقياس الزاوية"، لأن مقياس f _* ( λ ⁾ لقوس في S1 هو طول قوسه تحديدًا (أو، بصورة مكافئة، الزاوية التي يُقابلها عند مركز الدائرة).         
• ^يمكن توسيع المثال السابق بسهولة لإعطاء "مقياس ليبيغ" طبيعي على الطارة Tₙ ذات البعد n ^. المثال السابق حالة خاصة، لأن ^S₁ = T₁ . مقياس ليبيغ هذا على Tₙ هو ، بعد التطبيع، مقياس هار لمجموعة لي المدمجة ^{والمتصلة} Tₙ ^.  
• يتم تعريف المقاييس الغاوسية على الفضاءات المتجهة اللانهائية الأبعاد باستخدام الدفع الأمامي والمقياس الغاوسي القياسي على الخط الحقيقي: يُطلق على مقياس بوريل γ على فضاء باناخ قابل للفصل X اسم مقياس غاوسي إذا كان الدفع الأمامي لـ γ بواسطة أي دالة خطية غير صفرية في الفضاء الثنائي المستمر لـ X مقياسًا غاوسيًا على R.
• لنفترض دالة قابلة للقياس f  : X → X وتركيب f مع نفسها n مرة :

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.}$

تشكل هذه الدالة المتكررة نظامًا ديناميكيًا . ومن المهم غالبًا في دراسة هذه الأنظمة إيجاد مقياس μ على X الذي لا يغيره التطبيق f ، وهو ما يسمى بالمقياس الثابت ، أي المقياس الذي يكون فيه f _∗ ( μ )  = μ . 

• يمكن أيضًا النظر في المقاييس شبه الثابتة لمثل هذا النظام الديناميكي: مقياس${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle (X,\Sigma )}$يُطلق عليه اسم شبه ثابت تحت${\displaystyle f}$إذا كان الدفع للأمام من${\displaystyle \mu }$بواسطة${\displaystyle f}$هو مكافئ للمقياس الأصلي μ ، وليس بالضرورة مساوياً له. زوج من المقاييس${\displaystyle \mu ,\nu }$تكون المساحات الموجودة في نفس المكان متكافئة إذا وفقط إذا${\displaystyle \forall A\in \Sigma$ :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0} ، لذا${\displaystyle \mu }$شبه ثابت تحت${\displaystyle f}$لو${\displaystyle \forall A\in \Sigma$ :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0}

• يمكن الحصول على العديد من التوزيعات الاحتمالية الطبيعية، مثل توزيع كاي ، من خلال هذا البناء.

• تُنتج المتغيرات العشوائية مقاييس الدفع الأمامي. فهي تُحوّل فضاء الاحتمال إلى فضاء المجال المقابل، وتُزوّد ​​هذا الفضاء بمقياس احتمال مُعرّف بواسطة الدفع الأمامي. علاوة على ذلك، ولأن المتغيرات العشوائية دوال (وبالتالي دوال كلية)، فإن الصورة العكسية للمجال المقابل بأكمله هي المجال بأكمله، وقياس المجال بأكمله يساوي 1، لذا فإن قياس المجال المقابل بأكمله يساوي 1. هذا يعني أنه يمكن تركيب المتغيرات العشوائية إلى ما لا نهاية، وستظل دائمًا متغيرات عشوائية، وستُزوّد ​​فضاءات المجال المقابل بمقاييس احتمال.

بشكل عام، يمكن دفع أي دالة قابلة للقياس للأمام. يصبح الدفع للأمام حينها مؤثرًا خطيًا ، يُعرف بمؤثر النقل أو مؤثر فروبينيوس-بيرون . في الفضاءات المحدودة، يُلبي هذا المؤثر عادةً متطلبات نظرية فروبينيوس-بيرون ، وتتوافق القيمة الذاتية القصوى للمؤثر مع القياس الثابت.

المرافق لعملية الدفع للأمام هو عملية السحب للخلف ؛ وباعتبارها عاملاً على فضاءات الدوال على الفضاءات القابلة للقياس، فهي عامل التركيب أو عامل كوبمان .

• نظام ديناميكي يحافظ على القياس
• تدفق موحد
• النقل الأمثل

• بوغاتشيف ، فلاديمير آي. (2007)، نظرية القياس ، برلين: سبرينغر فيرلاغ ، ISBN 9783540345138
• تيشل، جيرالد (2015)، موضوعات في التحليل الحقيقي والوظيفي