مقياس الاحتمالية

في الرياضيات ، مقياس الاحتمال هو دالة حقيقية القيمة مُعرَّفة على مجموعة من الأحداث في جبر سيجما، وتُحقق خصائص القياس مثل خاصية الجمع المعدود . ^{[ 1 ]} والفرق بين مقياس الاحتمال والمفهوم الأعم للقياس (الذي يشمل مفاهيم مثل المساحة أو الحجم ) هو أن مقياس الاحتمال يجب أن يُسند القيمة 1 إلى الفضاء بأكمله.

بشكل بديهي، تنص خاصية الجمع على أن الاحتمال المخصص لاتحاد حدثين منفصلين (متنافيين) بواسطة المقياس يجب أن يكون مجموع احتمالات الأحداث؛ على سبيل المثال، يجب أن تكون القيمة المخصصة للنتيجة "1 أو 2" في رمية نرد هي مجموع القيم المخصصة للنتائج "1" و "2".

تُستخدم مقاييس الاحتمالات في مجالات متنوعة، من الفيزياء إلى التمويل وعلم الأحياء.

متطلبات دالة المجموعة${\displaystyle \mu }$لكي يكون مقياس احتمالي على جبر سيجما، يجب أن يكون:

• ${\displaystyle \mu }$يجب أن تأخذ القيم في الفترة الزمنية 1${\displaystyle [0,1],}$مشتمل${\displaystyle 0}$على المجموعة الفارغة و${\displaystyle 1}$في المساحة بأكملها.
• ${\displaystyle \mu }$يجب أن تحقق خاصية الجمع المعدود التي تنص على أنه بالنسبة لجميع المجموعات القابلة للعد${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$من المجموعات المنفصلة ثنائياً :$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (E_{i}).}$$

على سبيل المثال، إذا افترضنا ثلاثة عناصر هي 1 و2 و3 باحتمالات${\displaystyle 1/4,1/4}$و${\displaystyle 1/2,}$القيمة المخصصة لـ${\displaystyle \{1,3\}}$يكون${\displaystyle 1/4+1/2=3/4,}$كما هو موضح في الرسم البياني على اليمين.

الاحتمال الشرطي القائم على تقاطع الأحداث يُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \mu (B\mid A)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A)}}.}$$ يفي بمتطلبات دالة الاحتمال طالما أن${\displaystyle \mu (A)}$ليست صفرًا. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

تختلف مقاييس الاحتمالية عن المفهوم الأكثر عمومية للمقاييس الضبابية، حيث لا يوجد شرط بأن يكون مجموع القيم الضبابية مساوياً لـ${\displaystyle 1,}$ويتم استبدال الخاصية الجمعية بعلاقة ترتيبية تستند إلى احتواء المجموعة .

في كثير من الحالات، تستخدم الفيزياء الإحصائية مقاييس الاحتمالية ، ولكن ليست كل المقاييس التي تستخدمها مقاييس احتمالية. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

تُعدّ مقاييس السوق التي تُحدد احتمالات لمساحات السوق المالية بناءً على تحركات السوق المرصودة أمثلةً على مقاييس الاحتمالية ذات الأهمية في التمويل الرياضي ؛ على سبيل المثال، في تسعير المشتقات المالية . ^{[ 6 ]} فعلى سبيل المثال، يُعرَّف المقياس المحايد للمخاطر بأنه مقياس احتمالية يفترض أن القيمة الحالية للأصول هي القيمة المتوقعة للعائد المستقبلي المحسوب وفقًا لنفس المقياس المحايد للمخاطر (أي المحسوب باستخدام دالة الكثافة المحايدة للمخاطر المقابلة)، والمخصومة بمعدل العائد الخالي من المخاطر . إذا كان هناك مقياس احتمالية فريد يجب استخدامه لتسعير الأصول في سوق ما، يُطلق على هذا السوق اسم السوق الكامل . ^{[ 7 ]}

ليست كل المقاييس التي تمثل الصدفة أو الاحتمالية بشكل بديهي مقاييس احتمالية. فعلى سبيل المثال، على الرغم من أن المفهوم الأساسي للنظام في الميكانيكا الإحصائية هو فضاء القياس، فإن هذه المقاييس ليست دائمًا مقاييس احتمالية. ^{[ 4 ]} في الفيزياء الإحصائية، بالنسبة للجمل التي تأخذ شكل "احتمالية أن يكون النظام S في الحالة A هي p"، فإن هندسة النظام لا تؤدي دائمًا إلى تعريف مقياس احتمالي في ظل التطابق ، على الرغم من أنها قد تؤدي إلى ذلك في حالة الأنظمة ذات درجة حرية واحدة فقط. ^{[ 5 ]}

تُستخدم مقاييس الاحتمالية أيضًا في البيولوجيا الرياضية . ^{[ 8 ]} على سبيل المثال، في تحليل التسلسل المقارن ، يمكن تعريف مقياس احتمالية لاحتمالية أن يكون أحد المتغيرات مسموحًا به لحمض أميني في تسلسل ما. ^{[ 9 ]}

• مقياس بوريل – مقياس مُعرَّف على جميع المجموعات المفتوحة في فضاء طوبولوجي 
• القياس الضبابي – نظرية القياسات المعممة في الرياضيات. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• مقياس هار – مقياس ثابت من اليسار (أو ثابت من اليمين) على مجموعة طوبولوجية متراصة محليًا 
• مقياس العد
• مقياس ليبيغ – أوسع تعريف للأحجام في الفضاءات ذات الأبعاد الصحيحة 
• مقياس مارتينجال – مقياس الاحتمالية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• دالة المجموعة - دالة لتحويل المجموعات إلى أعداد 
• التوزيع الاحتمالي

• بيلينغسلي، باتريك (1995). الاحتمال والقياس . جون وايلي. ISBN 0-471-00710-2.
• آش، روبرت ب.؛ دوليانز-ديد، كاثرين أ. (1999). نظرية الاحتمالات والقياس . دار النشر الأكاديمية. ISBN 0-12-065202-1.
• التمييز بين مقياس الاحتمال، والدالة، والتوزيع ، موقع تبادل الأسئلة والأجوبة الرياضية

• الوسائط المتعلقة بقياس الاحتمالية على ويكيميديا ​​كومنز