توزيع بواسون

يقال إن المتغير العشوائي المنفصل X له توزيع بواسون ذو معلمة${\displaystyle \lambda >0}$إذا كانت دالة الكتلة الاحتمالية معطاة بالصيغة التالية: ^{[ 2 ] : 60}$${\displaystyle f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},}$$ أين

• يمثل k عدد مرات الظهور (${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$)
• e هو عدد أويلر (${\displaystyle e=2.71828\ldots }$)
• k ! = k ( k– 1) ··· (3)(2)(1) هو المضروب .

العدد الحقيقي الموجب λ يساوي القيمة المتوقعة لـ X وكذلك تباينها . ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).}$$

يمكن تطبيق توزيع بواسون على الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من الأحداث المحتملة، كل منها نادر الحدوث . ويكون عدد هذه الأحداث التي تحدث خلال فترة زمنية محددة، في ظل ظروف معينة، عددًا عشوائيًا يتبع توزيع بواسون.

يمكن تعديل المعادلة إذا تم استخدام متوسط ​​عدد الأحداث بدلاً من${\displaystyle \lambda ,}$تم تزويدنا بالمعدل المتوسط${\displaystyle r}$حيث تحدث الأحداث. ثم${\displaystyle \lambda =rt,}$و: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle P(k{\text{ أحداث في الفترة }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.}$$

قد يكون توزيع بواسون مفيدًا لنمذجة أحداث مثل:

• عدد النيازك التي يزيد قطرها عن متر واحد والتي تصطدم بالأرض في السنة؛
• عدد فوتونات الليزر التي تصطدم بكاشف في فترة زمنية معينة؛
• عدد الطلاب الحاصلين على علامات منخفضة وعالية في الامتحان؛ و
• مواقع العيوب والانخلاعات في المواد.

من أمثلة حدوث نقاط عشوائية في الفضاء: مواقع اصطدام الكويكبات بالأرض (ثنائية الأبعاد)، ومواقع العيوب في المواد (ثلاثية الأبعاد)، ومواقع الأشجار في الغابات (ثنائية الأبعاد). ^{[ 15 ]}

يُعد توزيع بواسون نموذجًا مناسبًا إذا كانت الافتراضات التالية صحيحة:

• k ، وهو عدد صحيح غير سالب، يمثل عدد مرات حدوث حدث ما في فترة زمنية معينة.
• إن وقوع حدث واحد لا يؤثر على احتمالية وقوع حدث ثانٍ.
• إن المعدل المتوسط ​​لحدوث الأحداث مستقل عن أي وقائع.
• لا يمكن أن يقع حدثان في نفس اللحظة بالضبط.

إذا كانت هذه الشروط صحيحة، فإن k هو متغير عشوائي بواسون؛ توزيع k هو توزيع بواسون.

يُعد توزيع بواسون أيضًا نهايةً لتوزيع ذي الحدين ، والذي تكون فيه احتمالية النجاح لكل محاولة هي${\displaystyle p={\frac {\lambda }{n}}}$، أين${\displaystyle \lambda }$هو التوقع و${\displaystyle n}$هو عدد المحاولات، في حدود ذلك${\displaystyle n\to \infty }$مع${\displaystyle \lambda }$تم الحفاظ على ثبات ^{[ 16 ] [ 17 ]} (انظر التوزيعات ذات الصلة ):

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\dbinom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\,\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }}$$

يمكن أيضًا اشتقاق توزيع بواسون من المعادلات التفاضلية ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

$${\displaystyle {\frac {d\,P_{k}(t)}{dt}}=\lambda \,{\Big (}P_{k-1}(t)-P_{k}(t){\Big )}}$$

مع الشروط الأولية${\displaystyle P_{k}(0)=\delta _{k0}}$وتم تقييمها في${\displaystyle t=1}$

من المرجح ألا يتبع عدد الطلاب الوافدين إلى مبنى اتحاد الطلاب في الدقيقة الواحدة توزيع بواسون، لأن المعدل ليس ثابتًا (معدل منخفض خلال أوقات المحاضرات، ومعدل مرتفع بينها)، كما أن وصول الطلاب الأفراد ليس مستقلًا (إذ يميل الطلاب إلى القدوم في مجموعات). يمكن نمذجة معدل الوصول غير الثابت كتوزيع بواسون مختلط ، ووصول المجموعات بدلًا من الطلاب الأفراد كعملية بواسون مركبة .

قد لا يتبع عدد  الزلازل التي تبلغ قوتها 5 درجات على مقياس ريختر سنويًا في بلد ما توزيع بواسون إذا زاد زلزال كبير واحد من احتمالية حدوث هزات ارتدادية ذات قوة مماثلة.

الأمثلة التي يكون فيها حدث واحد على الأقل مضمونًا لا تتبع توزيع بواسون؛ ولكن يمكن نمذجتها باستخدام توزيع بواسون المقطوع عند الصفر .

يمكن نمذجة التوزيعات العددية التي يكون فيها عدد الفترات التي تحتوي على أحداث صفرية أعلى مما تنبأ به نموذج بواسون باستخدام نموذج متضخم بالصفر .

• القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي من نوع بواسون هي λ .
• تباين المتغير العشوائي بواسون هو أيضًا λ .
• معامل التباين هو${\textstyle \lambda ^{-1/2},}$بينما يبلغ مؤشر التشتت  1. ^{[ 8 ] : 163}
• الانحراف المطلق المتوسط ​​حول المتوسط ​​هو ^{[ 8 ] : 163}$${\displaystyle \operatorname {E} [\ |X-\lambda |\ ]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor$$ !}}.}
• المنوال لمتغير عشوائي يتبع توزيع بواسون بقيمة λ غير صحيحة يساوي${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor ,}$وهو أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي λ . ويُكتب أيضًا على شكل الجزء الصحيح من λ . عندما يكون λ عددًا صحيحًا موجبًا، فإن المنوالين هما λ و λ - 1 . 
• جميع العزوم التراكمية لتوزيع بواسون تساوي القيمة المتوقعة λ . العزم العاملي من الرتبة n لتوزيع بواسون هو λ ⁿ . 
• تُحلل القيمة المتوقعة لعملية بواسون أحيانًا إلى حاصل ضرب الشدة والتعرض ( أو بشكل أكثر عمومية كتكامل "دالة الشدة" على مدى الزمن أو المكان، والتي توصف أحيانًا بأنها "التعرض"). ^{[ 22 ]}

حدود الوسيط (${\displaystyle \nu }$) من التوزيع معروفة وحادة : ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.}$$

العزوم غير المركزية العليا m _k لتوزيع بواسون هي كثيرات حدود توشارد في λ : $${\displaystyle m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}{\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}},}$$حيث تشير الأقواس المعقوفة { } إلى أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني . ^{[ 24 ] [ 1 ] : 6} بعبارة أخرى، $${\displaystyle E[X]=\lambda ,\quad E[X(X-1)]=\lambda ^{2},\quad E[X(X-1)(X-2)]=\lambda ^{3},\cdots }$$ عندما يتم تعيين القيمة المتوقعة إلى λ = 1 ، فإن صيغة دوبينسكي تشير إلى أن اللحظة n تساوي عدد التقسيمات لمجموعة بحجم n .

الحد الأعلى البسيط هو: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle m_{k}=E[X^{k}]\leq \left({\frac {k}{\log(k/\lambda +1)}}\right)^{k}\leq \lambda ^{k}\exp \left({\frac {k^{2}}{2\lambda }}\right).}$$

لو${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})}$ل${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$إذا كانت مستقلة ،${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$^{[ 26 ] : 65}وعكس ذلك هونظرية رايكوف، التي تنص على أنه إذا كان مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يتبع توزيع بواسون، فإن كلًا من هذين المتغيرين العشوائيين المستقلين يتبع توزيع بواسون أيضًا. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

هو توزيع ذو إنتروبيا قصوى ضمن مجموعة التوزيعات ذات الحدين المعممة${\displaystyle B_{n}(\lambda )}$مع المتوسط${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle n\to \infty }$[ ^{29 ]} حيث يتم تعريف التوزيع ذي الحدين المعمم على أنه توزيع مجموع N من متغيرات برنولي المستقلة ولكن غير الموزعة بشكل متطابق ^.

• تُعدّ توزيعات بواسون توزيعات احتمالية قابلة للقسمة إلى ما لا نهاية . ^{[ 30 ] : 233 [ 8 ] : 164}
• التباعد الموجه لكولباك-لايبير لـ${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$من${\displaystyle P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})}$يُعطى بواسطة$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(P\parallel P_{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.}$$
• لو${\displaystyle \lambda \geq 1}$إذا كان عددًا صحيحًا،${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$يرضي${\displaystyle \Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}}$و${\displaystyle \Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}.}$^{[ 31 ]}
• حدود احتمالات الذيل لمتغير عشوائي بواسون${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$يمكن اشتقاقها باستخدام حجة حد تشيرنوف . ^{[ 32 ] : 97-98}$${\displaystyle {\begin{aligned}P(X\geq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x>\lambda ,\\[1ex]P(X\leq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x<\lambda .\end{aligned}}}$$
• يمكن تضييق احتمال الذيل العلوي (بمعامل اثنين على الأقل) على النحو التالي: ^{[ 33 ]}$${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,}$$أين${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}$هو تباعد كولباك-لايبير لـ${\displaystyle Q=\operatorname {Pois} (x)}$من${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$.
• المتباينات التي تربط دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي من نوع بواسون${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$إلى دالة التوزيع التراكمي${\displaystyle \Phi }$فيما يلي توزيعات التوزيع الطبيعي القياسي : ^{[ 34 ]}

$${\displaystyle \Phi {\left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}}\right)}<P(X\leq k)<\Phi {\left(\operatorname {sign} (k+1-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}}\right)},{\text{ for }}k>0,}$$أين${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}$هو تباعد كولباك-لايبير لـ${\displaystyle Q_{-}=\operatorname {Pois} (k)}$من${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$و${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}$هو تباعد كولباك-لايبير لـ${\displaystyle Q_{+}=\operatorname {Pois} (k+1)}$من${\displaystyle P}$.

يترك${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$و${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\mu )}$لتكن متغيرات عشوائية مستقلة، مع${\displaystyle \lambda <\mu ,}$ثم لدينا ذلك $${\displaystyle {\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}$$

تم إثبات الحد الأعلى باستخدام حد تشيرنوف القياسي.

يمكن إثبات الحد الأدنى من خلال ملاحظة أن${\displaystyle P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)}$هل الاحتمال هو${\textstyle Z\geq {\frac {i}{2}},}$أين${\textstyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right),}$والتي يحدها من الأسفل${\textstyle {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)},}$أين${\displaystyle D}$هي الإنتروبيا النسبية (انظر المدخل الخاص بحدود ذيول التوزيعات ذات الحدين لمزيد من التفاصيل). مع ملاحظة أن${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu ),}$وبحساب الحد الأدنى للاحتمالية غير المشروطة نحصل على النتيجة. يمكن الاطلاع على مزيد من التفاصيل في ملحق كاماث وآخرون ^{[ 35 ] .}

يمكن اشتقاق توزيع بواسون كحالة حدية لتوزيع ذي الحدين عندما يؤول عدد المحاولات إلى اللانهاية ويبقى العدد المتوقع للنجاحات ثابتًا - انظر قانون الأحداث النادرة أدناه. لذلك، يمكن استخدامه كتقريب لتوزيع ذي الحدين إذا كانت n كبيرة بما يكفي و p صغيرة بما يكفي. يُعد توزيع بواسون تقريبًا جيدًا لتوزيع ذي الحدين إذا كانت n  تساوي 20 على الأقل و p أصغر من أو تساوي  0.05، وتقريبًا ممتازًا إذا كانت n ≥ 100 و np ≤ 10. ^{[ 36 ]}${\displaystyle F_{\mathrm {B} }}$و${\displaystyle F_{\mathrm {P} }}$إذا كانت هي دوال الكثافة التراكمية لتوزيعات ذات الحدين وبواسون على التوالي ، فإن لدينا:$${\displaystyle F_{\mathrm {B} }(k;n,p)\ \approx \ F_{\mathrm {P} }(k;\lambda =np).}$$ يستخدم أحد اشتقاقات هذا المفهوم دوال توليد الاحتمالات . ^{[ 37 ]} لنفترض تجربة برنولي (رمي عملة معدنية) حيث احتمال نجاح واحد (أو العدد المتوقع للنجاحات) هو${\displaystyle \lambda \leq 1}$ضمن فترة زمنية محددة. قسّم الفترة إلى n جزءًا، وقم بإجراء تجربة في كل فترة فرعية باحتمال${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{n}}}$. يُعطى احتمال تحقيق k نجاح من أصل n محاولة على كامل الفترة الزمنية بتوزيع ذي الحدين$${\displaystyle p_{k}^{(n)}={\binom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!k}\left(1{-}{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!n-k},}$$ دالتها المولدة هي: $${\displaystyle P^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}^{(n)}x^{k}=\left(1-{\frac {\lambda }{n}}+{\frac {\lambda }{n}}x\right)^{n}.}$$ بأخذ النهاية عندما تتزايد قيمة n إلى ما لا نهاية (مع تثبيت x ) وتطبيق تعريف نهاية الضرب للدالة الأسية ، فإن هذا يختزل إلى الدالة المولدة لتوزيع بواسون: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P^{(n)}(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1{+}{\tfrac {\lambda (x-1)}{n}}\right)^{n}=e^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}x^{k}.}$$

• لو${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$و${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$إذا كانت مستقلة، فإن الفرق${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$يتبع توزيع سكيلام .
• لو${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$و${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$إذا كانت مستقلة، فإن توزيع${\displaystyle X_{1}}$بشرط${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$هو توزيع ذو الحدين .
  على وجه التحديد، إذا${\displaystyle X_{1}+X_{2}=k,}$ثم${\displaystyle X_{1}|X_{1}+X_{2}=k\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2})).}$
  وبشكل أعم، إذا كانت _X1 ، X2 ، _... ، _Xn متغيرات عشوائية مستقلة تتبع توزيع بواسون بمعاملات λ1 _، λ2 _، ...، λn _، فإن
  منح${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle X_{i}{\Big |}\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right).}$في الحقيقة،${\displaystyle \{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right).}$
• لو${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$وتوزيع${\displaystyle Y}$بشرط أن X = k يكون التوزيع ثنائي الحدين ،${\displaystyle Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p),}$عندئذٍ يتبع توزيع Y توزيع بواسون${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p).}$في الواقع، إذا، بشرط${\displaystyle \{X=k\},}$${\displaystyle \{Y_{i}\}}$يتبع توزيعًا متعدد الحدود ،${\displaystyle \{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right),}$ثم كل${\displaystyle Y_{i}}$يتبع توزيع بواسون المستقل${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0.}$
• يُعدّ توزيع بواسون حالة خاصة من توزيع بواسون المركب المتقطع (أو توزيع بواسون المتقطع) الذي يحتوي على مُعامل واحد فقط. ^{[ 38 ] [ 39 ]} ويمكن استنتاج توزيع بواسون المركب المتقطع من التوزيع الحدي للتوزيع متعدد الحدود أحادي المتغير. وهو أيضًا حالة خاصة من توزيع بواسون المركب .
• بالنسبة لقيم λ الكبيرة بما يكفي (مثلاً λ > 1000 )، يكون التوزيع طبيعيًا بمتوسط ​​λ وتباين λ (انحراف معياري).${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$يُعدّ التوزيع الطبيعي تقريبًا ممتازًا لتوزيع بواسون. إذا كانت قيمة λ أكبر من 10 تقريبًا، فإن التوزيع الطبيعي يُعدّ تقريبًا جيدًا إذا تم إجراء تصحيح مناسب للاستمرارية ، أي إذا تم استبدال P( X ≤ x ) ، حيث x عدد صحيح غير سالب، بـ P( X ≤ x + 0.5) . $${\displaystyle F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )}$$
• التحويل المُثبِّت للتباين : إذا${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda ),}$ثم ^{[ 8 ] : 168}$${\displaystyle Y=2{\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}(2{\sqrt {\lambda }};1),}$$و ^{[ 40 ] : 196}$${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }};1/4).}$$في ظل هذا التحول، التقارب نحو الوضع الطبيعي (كما${\displaystyle \lambda }$يُعدّ التحويل (الذي يزيد) أسرع بكثير من المتغير غير المُحوَّل. تتوفر تحويلات أخرى، أكثر تعقيدًا بعض الشيء، لتثبيت التباين، ^{[ 8 ] : 168،} إحداها تحويل أنسكومب . ^{[ 41 ]} انظر تحويل البيانات (الإحصاء) لمزيد من الاستخدامات العامة للتحويلات.
• إذا كان عدد الواصلين في الفترة الزمنية [ 0، t ] لكل قيمة t > 0 يتبع توزيع بواسون بمتوسط ​​λt ، فإن سلسلة الفترات الزمنية بين الواصلين تكون متغيرات عشوائية أسية مستقلة ومتطابقة التوزيع بمتوسط ​​1/ λ . ^{[ 42 ] : 317-319} 
• ترتبط دوال التوزيع التراكمي لتوزيعي بواسون وكاي تربيع بالطرق التالية: ^{[ 8 ] : 167}$${\displaystyle F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,}$$و ^{[ 8 ] : 158}$${\displaystyle P(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).}$$

يفترض${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})}$أين${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1,}$ثم ^{[ 43 ]}${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$يتم توزيعها متعدد الحدود${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$بشرط${\displaystyle N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}.}$

وهذا يعني ^{[ 32 ] : 101-102} ، من بين أمور أخرى، أنه لأي دالة غير سالبة${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ لو${\displaystyle (Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )}$إذا كان التوزيع متعدد الحدود، فإن $${\displaystyle \operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]}$$ أين${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ).}$

عامل${\displaystyle e{\sqrt {m}}}$يمكن استبدالها برقم  2 إذا${\displaystyle f}$ويفترض كذلك أن يكون متزايداً أو متناقصاً بشكل رتيب.

تم توسيع هذا التوزيع ليشمل الحالة ثنائية المتغيرات . ^{[ 44 ]} الدالة المولدة لهذا التوزيع هي $${\displaystyle g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]}$$ مع $${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0}$$

التوزيعات الهامشية هي بواسون ( θ1 ₎ وبواسون ( θ2 ) _، ومعامل الارتباط محدود بالنطاق .$${\displaystyle 0\leq \rho \leq \min \left\{{\sqrt {\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}},{\sqrt {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}\right\}}$$

طريقة بسيطة لتوليد توزيع بواسون ثنائي المتغيرات${\displaystyle X_{1},X_{2}}$يتمثل ذلك في أخذ ثلاثة توزيعات بواسون مستقلة${\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3}}$مع الوسائل${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ثم اضبط${\displaystyle X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}.}$دالة الاحتمال لتوزيع بواسون ثنائي المتغيرات هي $${\displaystyle \Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})=\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}}$$

توزيع بواسون الحر ^{[ 45 ]} مع حجم القفزة${\displaystyle \alpha }$وقيم${\displaystyle \lambda }$ينشأ في نظرية الاحتمالات الحرة كحد للالتفاف الحر المتكرر$${\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}$$ عندما N → ∞ .

بمعنى آخر، دع${\displaystyle X_{N}}$لتكن متغيرات عشوائية بحيث${\displaystyle X_{N}}$له قيمة${\displaystyle \alpha }$باحتمال${\textstyle {\frac {\lambda }{N}}}$والقيمة  0 مع الاحتمال المتبقي. افترض أيضًا أن العائلة${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$مستقلة تمامًا . إذن النهاية عندما${\displaystyle N\to \infty }$من قانون${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{N}}$يتم تحديدها بواسطة قانون بواسون الحر ذي المعاملات${\displaystyle \lambda ,\alpha .}$

هذا التعريف مماثل لإحدى الطرق التي يتم من خلالها الحصول على توزيع بواسون الكلاسيكي من عملية بواسون (الكلاسيكية).

يتم إعطاء المقياس المرتبط بقانون بواسون الحر بواسطة ^{[ 46 ]}$${\displaystyle \mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}}$$ أين $${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt}$$ ويحظى بالدعم${\displaystyle [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}].}$

يظهر هذا القانون أيضًا في نظرية المصفوفات العشوائية كقانون مارشينكو-باستور . وتكون العزوم الحرة فيه مساوية لـ${\displaystyle \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}.}$

بالنظر إلى عينة من n قيمة مقاسة${\displaystyle k_{i}\in \{0,1,\dots \},}$بالنسبة لـ i = 1، ...، n ، نرغب في تقدير قيمة المعلمة λ لتوزيع بواسون الذي سُحبت منه العينة. تقدير الاحتمال الأقصى هو ^{[ 48 ]}

$${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ .}$$

بما أن لكل مشاهدة قيمة متوقعة λ ، فإن متوسط ​​العينة له قيمة متوقعة λ أيضًا. لذلك، يُعد تقدير الاحتمال الأقصى مُقدِّرًا غير متحيز لـ λ . وهو أيضًا مُقدِّر فعال لأن تباينه يحقق الحد الأدنى لكريمر-راو (CRLB). ^{[ 49 ]} وبالتالي فهو غير متحيز ذو تباين أدنى . كما يمكن إثبات أن المجموع (وبالتالي متوسط ​​العينة لأنه دالة أحادية للمجموع) هو إحصائية كاملة وكافية لـ λ .

لإثبات الكفاية، يمكننا استخدام نظرية التحليل إلى عوامل . لنفترض تقسيم دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون المشترك للعينة إلى جزأين: جزء يعتمد فقط على العينة.${\displaystyle \mathbf {x} }$، مُسَمًّى${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$وواحد يعتمد على المعامل${\displaystyle \lambda }$والعينة${\displaystyle \mathbf {x} }$فقط من خلال الوظيفة${\displaystyle T(\mathbf {x} ).}$ثم${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$إحصائية كافية لـ${\displaystyle \lambda .}$

$${\displaystyle P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }}$$

الفصل الدراسي الأول${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$يعتمد فقط على${\displaystyle \mathbf {x} }$الفصل الدراسي الثاني${\displaystyle g(T(\mathbf {x} )|\lambda )}$يعتمد ذلك على العينة فقط من خلال${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$هكذا،${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$يكفي.

لإيجاد المعامل λ الذي يزيد من دالة الاحتمال لمجتمع بواسون، يمكننا استخدام لوغاريتم دالة الاحتمال:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}}$$

نشتق من${\displaystyle \ell }$بالنسبة إلى λ ومقارنتها بالصفر:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}$$

يؤدي حل المعادلة لإيجاد قيمة λ إلى الحصول على نقطة ثابتة.

$${\displaystyle \lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}}$$

إذن ، λ هو متوسط ​​قيم k _i . إن تحديد إشارة المشتقة الثانية لـ L عند النقطة الثابتة سيحدد نوع القيمة القصوى لـ λ .

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}}$$

بتقييم المشتقة الثانية عند النقطة الثابتة نحصل على:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}$$

وهو معكوس حاصل ضرب n في مقلوب متوسط ​​قيم _kᵢ . يكون هذا التعبير سالبًا عندما يكون المتوسط ​​موجبًا. إذا تحقق هذا الشرط، فإن النقطة الثابتة تُعظّم دالة الاحتمال.

من باب الإكمال ، يُقال إن عائلة من التوزيعات كاملة إذا وفقط إذا${\displaystyle E(g(T))=0}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1}$للجميع${\displaystyle \lambda .}$إذا كان الفرد${\displaystyle X_{i}}$هي مستقلة ومتطابقة التوزيع${\displaystyle \mathrm {Po} (\lambda ),}$ثم${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda ).}$بمعرفة التوزيع الذي نريد دراسته، من السهل أن نرى أن الإحصائية كاملة.

$${\displaystyle E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0}$$

لكي تتحقق هذه المساواة،${\displaystyle g(t)}$يجب أن يكون  صفرًا. وينتج هذا عن حقيقة أن أيًا من الحدود الأخرى لن يكون  صفرًا لجميع${\displaystyle t}$في المجموع ولجميع القيم الممكنة لـ${\displaystyle \lambda .}$لذلك،${\displaystyle E(g(T))=0}$للجميع${\displaystyle \lambda }$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1,}$وقد ثبت أن الإحصائية كاملة.

يمكن التعبير عن فترة الثقة لمتوسط ​​توزيع بواسون باستخدام العلاقة بين دالتي التوزيع التراكمي لتوزيعي بواسون وكاي تربيع . يرتبط توزيع كاي تربيع ارتباطًا وثيقًا بتوزيع جاما ، مما يؤدي إلى صيغة بديلة. بفرض وجود مشاهدة k من توزيع بواسون بمتوسط ​​μ ، فإن فترة الثقة لـ μ بمستوى ثقة 1 – α هي

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),}$$

أو ما يعادل ذلك،

$${\displaystyle F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),}$$

أين${\displaystyle \chi ^{2}(p;n)}$هي دالة الكمية (المقابلة لمنطقة الذيل السفلي p ) لتوزيع كاي تربيع ذي n درجة حرية و${\displaystyle F^{-1}(p;n,1)}$هي دالة الكمية لتوزيع جاما بمعامل شكل n ومعامل مقياس  1. ^{[ 8 ] : 176-178 [ 50 ]} هذه الفترة " دقيقة " بمعنى أن احتمال تغطيتها لا يقل أبدًا عن القيمة الاسمية 1 – α .

عندما لا تتوفر كميات توزيع جاما، تم اقتراح تقريب دقيق لهذه الفترة الدقيقة (استنادًا إلى تحويل ويلسون-هيلفرتي ): ^{[ 51 ]}$${\displaystyle k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},}$$ أين${\displaystyle z_{\alpha /2}}$يشير إلى الانحراف المعياري الطبيعي مع مساحة الذيل العلوي α / 2 .

لتطبيق هذه الصيغ في نفس السياق المذكور أعلاه (بالنظر إلى عينة من n قيمة مقاسة k _i، كل منها مسحوبة من توزيع بواسون بمتوسط ​​λ )، يتم وضع

$${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$$ احسب فترة لـ μ = nλ ، ثم استنتج الفترة لـ λ .

في الاستدلال البايزي ، يكون التوزيع المسبق المترافق لمعامل المعدل λ لتوزيع بواسون هو توزيع غاما . ^{[ 52 ]} ليكن

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )}$$

نشير إلى أن λ موزعة وفقًا لكثافة جاما g التي تم تحديدها من خلال معلمات الشكل α ومعلمة المقياس العكسي β :

$${\displaystyle g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.}$$

ثم، بالنظر إلى نفس عينة القيم المقاسة n كما في السابق _، وافتراض توزيع احتمالي مسبق من نوع جاما ( α , β ) ، يكون التوزيع الاحتمالي اللاحق هو

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} {\left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right)}.}$$

لاحظ أن المتوسط ​​اللاحق خطي ويُعطى بالصيغة التالية $${\displaystyle E[\lambda \mid k_{1},\ldots ,k_{n}]={\frac {\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{\beta +n}}.}$$ يمكن إثبات أن توزيع غاما هو التوزيع الاحتمالي المسبق الوحيد الذي يُؤدي إلى خطية المتوسط ​​الشرطي. علاوة على ذلك، توجد نتيجة معاكسة تنص على أنه إذا كان المتوسط ​​الشرطي قريبًا من دالة خطية في${\displaystyle L_{2}}$يجب أن تكون المسافة التي تفصل بين التوزيع المسبق لـ λ قريبة من توزيع جاما في مسافة ليفي . ^{[ 53 ]}

يقترب المتوسط ​​اللاحق E[ λ ] من تقدير الاحتمال الأقصى${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }}$في الحد كما${\displaystyle \alpha \to 0,\beta \to 0,}$والذي يتبع مباشرة من التعبير العام لمتوسط ​​توزيع جاما .

التوزيع التنبؤي اللاحق لملاحظة إضافية واحدة هو توزيع ذي الحدين السالب ، ^{[ 54 ] : 53} ويسمى أحيانًا توزيع جاما-بواسون.

يفترض${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}}$هي مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة من مجموعة من${\displaystyle p}$توزيعات بواسون، كل منها بمعامل${\displaystyle \lambda _{i},}$${\displaystyle i=1,\dots ,p,}$ونرغب في تقدير هذه المعلمات. ثم يُبين كليفنسون وزيدك أنه في ظل دالة خسارة الخطأ التربيعي المعياري${\textstyle L(\lambda ,{\hat {\lambda }})=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{-1}({\hat {\lambda }}_{i}-\lambda _{i})^{2},}$متى${\displaystyle p>1,}$ثم، على غرار مثال شتاين للمتوسطات الطبيعية، مقدر الاحتمال الأقصى${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=X_{i}}$غير مقبول . ^{[ 55 ]}

في هذه الحالة، يتم تقديم مجموعة من مقدرات المينيماكس لأي${\displaystyle 0<c\leq 2(p-1)}$و${\displaystyle b\geq (p-2+p^{-1})}$كما ^{[ 56 ]}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\right)X_{i},\qquad i=1,\dots ,p.}$$

يرتبط معدل وقوع حدث ما باحتمالية وقوعه في فترة زمنية أو مكانية أو غير ذلك. في حالة توزيع بواسون، يُفترض وجود فترة زمنية أو مكانية صغيرة بما يكفي بحيث تكون احتمالية وقوع حدث ما مرتين "ضئيلة". وبناءً على هذا الافتراض، يمكن اشتقاق توزيع بواسون من التوزيع ذي الحدين، بمعرفة العدد المتوقع للأحداث في الفترة الزمنية بأكملها.

لنرمز إلى العدد الإجمالي للأحداث في الفترة الزمنية بأكملها بـ${\displaystyle \lambda .}$قسّم الفترة الزمنية بأكملها إلى${\displaystyle n}$الفترات الفرعية${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$متساوية الحجم، بحيث${\displaystyle n>\lambda }$(بما أننا مهتمون فقط بأجزاء صغيرة جدًا من الفترة، فإن هذا الافتراض ذو معنى). هذا يعني أن العدد المتوقع للأحداث في كل فترة فرعية من الفترات الفرعية n يساوي${\displaystyle \lambda /n.}$

نفترض الآن أن وقوع حدث ما في الفترة الزمنية بأكملها يمكن اعتباره سلسلة من n تجربة برنولي ، حيث${\displaystyle i}$تُقابل تجربة برنولي رقم -th النظر فيما إذا كان حدث ما يحدث في الفترة الفرعية${\displaystyle I_{i}}$باحتمال${\displaystyle \lambda /n.}$العدد المتوقع للأحداث الإجمالية في${\displaystyle n}$ستكون هذه المحاكمات${\displaystyle \lambda ,}$العدد المتوقع لإجمالي الأحداث في الفترة الزمنية بأكملها. وبالتالي، لكل تقسيم فرعي للفترة الزمنية، قمنا بتقريب حدوث الحدث كعملية برنولي بالشكل التالي:${\displaystyle {\textrm {B}}(n,\lambda /n).}$كما ذكرنا سابقاً، نريد أن نأخذ في الاعتبار فقط الفترات الجزئية الصغيرة جداً. لذلك، نأخذ النهاية على النحو التالي:${\displaystyle n}$يتجه إلى ما لا نهاية.

في هذه الحالة، يتقارب التوزيع ذو الحدين إلى ما يُعرف بتوزيع بواسون وفقًا لنظرية نهاية بواسون .

في العديد من الأمثلة المذكورة أعلاه - مثل عدد الطفرات في تسلسل معين من الحمض النووي - فإن الأحداث التي يتم عدها هي في الواقع نتائج تجارب منفصلة، ​​ويمكن نمذجتها بدقة أكبر باستخدام التوزيع ذي الحدين ، أي $${\displaystyle X\sim {\textrm {B}}(n,p).}$$

في مثل هذه الحالات، يكون n كبيرًا جدًا و p صغيرًا جدًا (وبالتالي يكون التوقع np متوسطًا). عندئذٍ، يمكن تقريب التوزيع بتوزيع بواسون الأقل تعقيدًا. $${\displaystyle X\sim {\textrm {Pois}}(np).}$$

يُعرف هذا التقريب أحيانًا باسم قانون الأحداث النادرة ، ^{[ 72 ] : 5} نظرًا لأن كل حدث من أحداث برنولي الفردية نادرًا ما يحدث.

قد يكون مصطلح "قانون الأحداث النادرة" مُضللاً، لأن العدد الإجمالي لأحداث النجاح في عملية بواسون ليس بالضرورة نادرًا إذا لم تكن قيمة المعامل np صغيرة. على سبيل المثال، يتبع عدد المكالمات الهاتفية إلى مقسم هاتف مشغول في ساعة واحدة توزيع بواسون، حيث تبدو الأحداث متكررة بالنسبة للموظف، لكنها نادرة من وجهة نظر الفرد العادي الذي من غير المرجح أن يُجري مكالمة إلى ذلك المقسم في تلك الساعة.

تباين التوزيع ذي الحدين يساوي 1 − p مرة تباين توزيع بواسون، لذا فهو متساوي تقريبًا عندما تكون قيمة p صغيرة جدًا.

يُستخدم مصطلح "القانون" أحيانًا كمرادف لمصطلح " التوزيع الاحتمالي" ، ويعني التقارب في القانون التقارب في التوزيع . وبناءً على ذلك، يُطلق على توزيع بواسون أحيانًا اسم "قانون الأعداد الصغيرة" لأنه يُمثل التوزيع الاحتمالي لعدد مرات وقوع حدث نادر الحدوث ولكنه يمتلك فرصًا كثيرة جدًا للوقوع. " قانون الأعداد الصغيرة" هو كتاب من تأليف لاديسلاوس بورتكيفيتش حول توزيع بواسون، نُشر عام  1898. ^{[ 12 ] [ 73 ]}

ينشأ توزيع بواسون من عدد نقاط عملية بواسون النقطية الموجودة في منطقة محدودة. وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كانت D فضاءً إقليميًا ما، على سبيل المثال الفضاء الإقليدي R ^d ، حيث تكون | D | ، أي مساحة المنطقة أو حجمها أو، بشكل أعم، مقياس ليبيغ لها، محدودة، وإذا كان N ( D ) يرمز إلى عدد النقاط في D ، فإن

$${\displaystyle P(N(D)=k)={\frac {(\lambda |D|)^{k}e^{-\lambda |D|}}{k!}}.}$$

يُعد انحدار بواسون وانحدار ذي الحدين السالب مفيدين للتحليلات التي يكون فيها المتغير التابع (الاستجابة) هو عدد (0، 1، 2، ...) الأحداث أو التكرارات في فترة زمنية معينة.

اختبرت تجربة لوريا -ديلبروك فرضية التطور اللاماركي، والتي من المفترض أن تؤدي إلى توزيع بواسون.

قام كاتز وميليدي بقياس جهد الغشاء في وجود الأستيل كولين (ACh) وغيابه. ^{[ 74 ]} عند وجود الأستيل كولين، تُفتح قنوات الأيونات على الغشاء بشكل عشوائي لفترة زمنية قصيرة. ونظرًا لوجود عدد كبير من قنوات الأيونات التي تُفتح كل منها لفترة زمنية قصيرة، فإن العدد الإجمالي لقنوات الأيونات المفتوحة في أي لحظة يتبع توزيع بواسون. أما عند غياب الأستيل كولين، فلا تُفتح أي قنوات أيونية فعليًا. ويكون جهد الغشاء${\displaystyle V=N_{\text{open}}V_{\text{ion}}+V_{0}+V_{\text{noise}}}$بعد طرح تأثير الضوضاء، وجد كاتز وميليدي أن متوسط ​​وتباين جهد الغشاء هما${\displaystyle 8.5\times 10^{-3}\;\mathrm {V} }$و${\displaystyle (29.2\times 10^{-6}\;\mathrm {V} )^{2}}$على التوالي، مما يعطي${\displaystyle V_{\text{ion}}=10^{-7}\;\mathrm {V} }$(ص  94-95 ^{[ 75 ]} )

خلال كل عملية تضاعف خلوي، يتوزع عدد الطفرات تقريبًا وفقًا لتوزيع بواسون. ^{[ 76 ]} على سبيل المثال، يحتوي فيروس نقص المناعة البشرية على  10000 زوج قاعدي، ويبلغ معدل الطفرات فيه حوالي  طفرة واحدة لكل  30000 زوج قاعدي، مما يعني أن عدد الطفرات لكل عملية تضاعف يتوزع وفقًا لتوزيع بواسون.${\displaystyle \mathrm {Pois} (1/3)}$(ص  64 ^{[ 75 ]} )

في عملية بواسون، يتذبذب عدد مرات الحدوث المرصودة حول متوسطه λ بانحراف معياري${\displaystyle \sigma _{k}={\sqrt {\lambda }}.}$تُعرف هذه التقلبات باسم ضوضاء بواسون أو (خاصة في الإلكترونيات) باسم ضوضاء الطلقات .

يُعدّ ارتباط المتوسط ​​والانحراف المعياري في عدّ الأحداث المنفصلة المستقلة مفيدًا علميًا. فمن خلال مراقبة كيفية تغير التقلبات مع متوسط ​​الإشارة، يُمكن تقدير مساهمة حدثٍ واحد، حتى لو كانت هذه المساهمة ضئيلة جدًا بحيث لا يُمكن رصدها مباشرةً . على سبيل المثال، يُمكن تقدير شحنة الإلكترون (e) من خلال ربط مقدار التيار الكهربائي بضوضاء الطلقات . إذا مرّ N إلكترونًا بنقطةٍ ما في زمنٍ مُحدد (t) ، فإن متوسط ​​التيار هو${\displaystyle I=eN/t}$بما أن التقلبات الحالية ينبغي أن تكون من رتبة${\displaystyle \sigma _{I}=e{\sqrt {N}}/t}$(أي الانحراف المعياري لعملية بواسون )، الشحنة${\displaystyle e}$يمكن تقدير ذلك من النسبة${\displaystyle t\sigma _{I}^{2}/I.}$

من الأمثلة الشائعة على ذلك التحبب الذي يظهر عند تكبير الصور؛ ويعود هذا التحبب إلى تقلبات بواسون في عدد حبيبات الفضة المختزلة ، وليس إلى الحبيبات الفردية نفسها. ومن خلال ربط التحبب بدرجة التكبير، يمكن تقدير مساهمة كل حبة على حدة (والتي تكون صغيرة جدًا بحيث لا يمكن رؤيتها بالعين المجردة).

في نظرية المجموعات السببية ، تتبع العناصر المنفصلة للزمكان توزيع بواسون في الحجم.

يظهر توزيع بواسون أيضاً في ميكانيكا الكم ، وخاصة في البصريات الكمومية . أي أنه بالنسبة لنظام مذبذب توافقي كمومي في حالة متماسكة ، فإن احتمال قياس مستوى طاقة معين يتبع توزيع بواسون.

الحوسبة${\displaystyle P(k;\lambda )}$بالنسبة للمعطى${\displaystyle k}$و${\displaystyle \lambda }$هي مهمة بسيطة يمكن إنجازها باستخدام التعريف القياسي لـ${\displaystyle P(k;\lambda )}$من حيث الدوال الأسية، ودوال القوى، ودوال المضروب. مع ذلك، يحتوي التعريف التقليدي لتوزيع بواسون على حدين قد يتسببان في تجاوز سعة النظام بسهولة على أجهزة الحاسوب: λ ^k و k ! . كما أن نسبة λ ^k إلى k ! قد تُنتج خطأ تقريب كبيرًا جدًا مقارنةً بـ e ^{− λ} ، وبالتالي تُعطي نتيجة خاطئة. لذا، ولضمان الاستقرار العددي، يجب تقييم دالة كتلة احتمال بواسون على النحو التالي: $${\displaystyle \!f(k;\lambda )=\exp \left[k\ln \lambda -\lambda -\ln \Gamma (k+1)\right],}$$ وهو مكافئ رياضيًا ولكنه مستقر عدديًا. يمكن الحصول على اللوغاريتم الطبيعي لدالة غاماlgamma باستخدام الدالة الموجودة في مكتبة C القياسية (إصدار C99) أو R ، أو gammalnالدالة الموجودة في MATLAB أو SciPy ، أو log_gammaالدالة الموجودة في Fortran  2008 والإصدارات الأحدث.

توفر بعض لغات البرمجة وظائف مدمجة لتقييم توزيع بواسون، وهي:

• R : دالة dpois(x, lambda)؛
• Excel : دالة POISSON( x, mean, cumulative)، مع علامة لتحديد التوزيع التراكمي؛
• Mathematica : توزيع بواسون أحادي المتغير كـ ، ^{[ 77 ]} توزيع بواسون ثنائي المتغير كـ ، ^{[ 78 ]}PoissonDistribution[${\displaystyle \lambda }$]MultivariatePoissonDistribution[${\displaystyle \theta _{12},}${ ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{12},}$${\displaystyle \theta _{2}-\theta _{12}}$}]