عملية بواسون المركبة

عملية بواسون المركبة هي عملية عشوائية مستمرة الزمن تتضمن قفزات. تحدث هذه القفزات عشوائيًا وفقًا لعملية بواسون ، كما أن حجم القفزات عشوائي أيضًا، مع توزيع احتمالي محدد. بتعبير أدق، عملية بواسون المركبة، التي يتم تحديدها بواسطة معدل${\displaystyle \lambda >0}$وتوزيع حجم القفزة G هو عملية${\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}$مقدم من

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i}}$

أين،${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}$المتغير العددي لعملية بواسون بمعدل${\displaystyle \lambda }$، و${\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}$هي متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع، ولها دالة توزيع G ، وهي مستقلة أيضًا عن${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,}$^{[ 1 ]}

متى${\displaystyle D_{i}}$إذا كانت المتغيرات العشوائية ذات القيم الصحيحة غير السالبة، فإن عملية بواسون المركبة هذه تُعرف باسم عملية بواسون المتقطعة.

يمكن حساب القيمة المتوقعة لعملية بواسون المركبة باستخدام نتيجة تُعرف باسم معادلة والد كما يلي:

${\displaystyle \operatorname {E} (Y(t))=\operatorname {E} (D_{1}+\cdots +D_{N(t)})=\operatorname {E} (N(t))\operatorname {E} (D_{1})=\operatorname {E} (N(t))\operatorname {E} (D)=\lambda t\operatorname {E} (D).}$

وباستخدام قانون التباين الكلي بشكل مماثل ، يمكن حساب التباين على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (Y(t))&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (Y(t)\mid N(t)))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (Y(t)\mid N(t)))\\[5pt]&=\operatorname {E} (N(t)\operatorname {var} (D))+\operatorname {var} (N(t)\operatorname {E} (D))\\[5pt]&=\operatorname {var} (D)\operatorname {E} (N(t))+\operatorname {E} (D)^{2}\operatorname {var} (N(t))\\[5pt]&=\operatorname {var} (D)\lambda t+\operatorname {E} (D)^{2}\lambda t\\[5pt]&=\lambda t(\operatorname {var} (D)+\operatorname {E} (D)^{2})\\[5pt]&=\lambda t\operatorname {E} (D^{2}).\end{aligned}}}$

وأخيرًا، باستخدام قانون الاحتمال الكلي ، يمكن إعطاء دالة توليد العزوم على النحو التالي:

${\displaystyle \Pr(Y(t)=i)=\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)}$

$\begin{aligned}\operatorname {E} (e^{sY})&=\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i)\\[5pt]&=\sum _{i}e^{si}\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(D_{1}+D_{2}+\cdots +D_{n}=i)\\[5pt]&=\sum \begin{aligned} ...$

لنفترض أن N و Y و D هي كما سبق. ولنفترض أن μ هو مقياس الاحتمال الذي يتم بموجبه توزيع D ، أي

${\displaystyle \mu (A)=\Pr(D\in A).\,}$

لنفترض أن _δ₀ هو التوزيع الاحتمالي التافه الذي يجعل جميع الكتل عند الصفر. عندئذٍ يكون التوزيع الاحتمالي لـ Y ( t ) هو المقياس

${\displaystyle \exp(\lambda t(\mu -\delta _{0}))\,}$

حيث يُعرَّف الأسّ exp( ν ) لمقياس محدود ν على مجموعات بوريل الجزئية من الخط الحقيقي بواسطة

${\displaystyle \exp(\nu )=\sum _{n=0}^{\infty }{\nu ^{*n} \over n!}}$

و

${\displaystyle \nu ^{*n}=\underbrace {\nu *\cdots *\nu } _{n{\text{ عوامل}}}}$

هي عبارة عن التفاف للمقاييس، والمتسلسلة تتقارب بشكل ضعيف .

• عملية بواسون
• توزيع بواسون
• توزيع بواسون المركب
• عملية بواسون غير المتجانسة
• صيغة كامبل لدالة توليد العزوم لعملية بواسون المركبة