عملية نقطة بواسون

عملية بواسون

دالة كثافة الاحتمالية
يقصد	${\displaystyle a_{0,t}=\int _{0}^{t}\lambda (\alpha )d\alpha }$
التباين	${\displaystyle a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}-(a_{0,t})^{2}=a_{0,t}}$ منذ${\displaystyle R_{x}(t_{1},t_{2})=a_{0,min(t_{1},t_{2})}+a_{0,t_{1}}a_{0,t_{2}}}$ أين ل ${\displaystyle E\{X^{2}\}=R_{x}(t,t)=a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}}$

في نظرية الاحتمالات والإحصاء والمجالات ذات الصلة، عملية نقطة بواسون (المعروفة أيضًا باسم: مقياس عشوائي بواسون ، وحقل نقطة بواسون العشوائي وحقل نقطة بواسون ) هي نوع من الكائنات الرياضية التي تتكون من نقاط تقع عشوائيًا في مساحة رياضية مع السمة الأساسية وهي أن النقاط تحدث بشكل مستقل عن بعضها البعض. ^[1] يشتق اسم العملية من حقيقة أن توزيع عدد مناطق النقاط من نفس الحجم له توزيع بواسون . تم تسمية العملية والتوزيع على اسم عالم الرياضيات الفرنسي سيميون دينيس بواسون . تم اكتشاف العملية نفسها بشكل مستقل ومتكرر في العديد من المواقف، بما في ذلك التجارب على الاضمحلال الإشعاعي ووصول المكالمات الهاتفية والعلوم الاكتوارية . ^{[2] [3]}

تُستخدم عملية النقطة هذه كنموذج رياضي للعمليات العشوائية على ما يبدو في العديد من التخصصات بما في ذلك علم الفلك ، ^[4] وعلم الأحياء ، ^[5] وعلم البيئة ، ^[6] والجيولوجيا ، ^[7] وعلم الزلازل ، ^[8] والفيزياء ، [ ^9] والاقتصاد ، ^[10] ومعالجة الصور ، ^{[11] [12]} والاتصالات . ^{[13] [14]}

غالبًا ما يتم تعريف عملية نقطة بواسون على خط الأعداد الحقيقية، حيث يمكن اعتبارها عملية عشوائية . تُستخدم، على سبيل المثال، في نظرية الطوابير ^[15] لنمذجة الأحداث العشوائية الموزعة في الوقت، مثل وصول العملاء إلى متجر أو مكالمات هاتفية في بورصة أو حدوث زلازل. في المستوى ، يمكن لعملية النقطة، المعروفة أيضًا باسم عملية بواسون المكانية ، ^[16] أن تمثل مواقع الأشياء المتناثرة مثل أجهزة الإرسال في شبكة لاسلكية ، ^{[13] [17] [18] [19]} الجسيمات التي تصطدم بجهاز الكشف أو الأشجار في الغابة. ^[20] تُستخدم العملية غالبًا في النماذج الرياضية وفي المجالات ذات الصلة بعمليات النقطة المكانية، ^[21] والهندسة العشوائية ، ^[1] والإحصاء المكاني ^{[21] [22]} ونظرية التسرب المتواصل . ^[23]

يمكن تعريف عملية نقطة بواسون على مساحات أكثر تجريدًا . وبعيدًا عن التطبيقات، فإن عملية نقطة بواسون هي موضوع للدراسة الرياضية في حد ذاتها. ^[24] تتمتع عملية نقطة بواسون بخاصية مفادها أن كل نقطة مستقلة عشوائيًا عن جميع النقاط الأخرى في العملية، ولهذا السبب يُطلق عليها أحيانًا عملية عشوائية بحتة أو كاملة. ^[25] إن نمذجة نظام كعملية بواسون غير كافية عندما تكون التفاعلات بين النقاط قوية للغاية (أي أن النقاط ليست مستقلة عشوائيًا). قد يكون من الأفضل نمذجة مثل هذا النظام بعملية نقطة مختلفة. ^[26]

تعتمد عملية النقطة على كائن رياضي واحد، والذي قد يكون، اعتمادًا على السياق ، ثابتًا أو دالة قابلة للتكامل محليًا أو، في إعدادات أكثر عمومية، مقياس رادون . ^[27] في الحالة الأولى، الثابت، المعروف باسم المعدل أو الشدة ، هو متوسط ​​كثافة النقاط في عملية بواسون الموجودة في بعض مناطق الفضاء. تسمى عملية النقطة الناتجة عملية نقطة بواسون متجانسة أو ثابتة . ^[28] في الحالة الثانية، تسمى عملية النقطة عملية نقطة بواسون غير متجانسة أو غير متجانسة ، وتعتمد الكثافة المتوسطة للنقط على موقع المساحة الأساسية لعملية نقطة بواسون. ^[29] غالبًا ما يتم حذف كلمة نقطة ، ^[24] ولكن هناك عمليات بواسون أخرى للأشياء، والتي تتكون بدلاً من النقاط من أشياء رياضية أكثر تعقيدًا مثل الخطوط والمضلعات ، ويمكن أن تستند مثل هذه العمليات إلى عملية نقطة بواسون. ^[30] كل من عمليات نقطة بواسون المتجانسة وغير المتجانسة هي حالات خاصة لعملية التجديد المعممة .

اعتمادًا على الإعداد، فإن العملية لها عدة تعريفات متكافئة ^[31] بالإضافة إلى تعريفات ذات عمومية متفاوتة بسبب تطبيقاتها وخصائصها العديدة. ^[32] يمكن تعريف عملية نقطة بواسون ودراستها واستخدامها في بُعد واحد، على سبيل المثال، على الخط الحقيقي، حيث يمكن تفسيرها كعملية عد أو جزء من نموذج طابور؛ ^{[33] [34]} في أبعاد أعلى مثل المستوى حيث تلعب دورًا في الهندسة العشوائية ^[1] والإحصاءات المكانية ؛ ^[35] أو في مساحات رياضية أكثر عمومية. ^[36] وبالتالي، فإن التدوين والمصطلحات ومستوى الدقة الرياضية المستخدمة لتعريف ودراسة عملية نقطة بواسون وعمليات النقاط بشكل عام تختلف وفقًا للسياق. ^[37]

على الرغم من كل هذا، فإن عملية نقطة بواسون لها خاصيتان رئيسيتان -خاصية بواسون وخاصية الاستقلال- تلعبان دورًا أساسيًا في جميع الإعدادات التي تُستخدم فيها عملية نقطة بواسون. ^{[27] [38]} الخاصيتان ليستا مستقلتين منطقيًا؛ في الواقع، يشير توزيع بواسون لعدد النقاط إلى خاصية الاستقلال، ^[أ] بينما في الاتجاه المعاكس، فإن الافتراضات التالية مطلوبة: (أ) أن عملية النقطة بسيطة، (ب) ليس لها ذرات ثابتة، و(ج) محدودة بشكل محدود. ^[39]

تتميز عملية نقطة بواسون من خلال توزيع بواسون . توزيع بواسون هو توزيع احتمالات متغير عشوائي (يسمى متغير بواسون العشوائي ) بحيث يكون الاحتمال الذي يساوي معطى بواسطة: ${\textstyle ن}$${\displaystyle \textstyle ن}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N=n\}={\frac {\لامدا ^{n}}{n!}}e^{-\لامدا }}$

حيث يشير إلى العامل ويحدد المعامل شكل التوزيع. (في الواقع، يساوي القيمة المتوقعة لـ .) ${\textstyle ن!}$${\textstyle \لامدا }$${\textstyle \لامدا }$${\textstyle ن}$

بحكم التعريف، فإن عملية نقطة بواسون لها خاصية مفادها أن عدد النقاط في منطقة محدودة من الفضاء الأساسي للعملية عبارة عن متغير عشوائي موزع بواسون. ^[38]

لنفترض وجود مجموعة من المناطق الفرعية المنفصلة والمحدودة في الفضاء الأساسي. بحكم التعريف، سيكون عدد نقاط عملية نقطة بواسون في كل منطقة فرعية محدودة مستقلاً تمامًا عن جميع المناطق الأخرى.

تُعرف هذه الخاصية تحت عدة أسماء مثل العشوائية الكاملة ، والاستقلال التام ، ^[40] أو التشتت المستقل ^{[41] [42]} وهي مشتركة بين جميع عمليات نقاط بواسون. بعبارة أخرى، هناك نقص في التفاعل بين المناطق المختلفة والنقط بشكل عام، ^[43] مما يحفز عملية بواسون التي تسمى أحيانًا عملية عشوائية بحتة أو كاملة . ^[40]

إذا كانت عملية نقطة بواسون لها معلمة من النموذج ، حيث هو مقياس ليبيج (أي أنه يعين الطول أو المساحة أو الحجم للمجموعات) وهو ثابت، فإن عملية النقطة تسمى عملية نقطة بواسون متجانسة أو ثابتة. المعلمة، تسمى المعدل أو الكثافة ، مرتبطة بالعدد المتوقع (أو المتوسط) لنقاط بواسون الموجودة في بعض المناطق المحدودة، ^{[44] [45]} حيث يستخدم المعدل عادةً عندما يكون للفضاء الأساسي بُعد واحد. ^[44] يمكن تفسير المعلمة على أنها متوسط ​​عدد النقاط لكل وحدة من وحدات المدى مثل الطول أو المساحة أو الحجم أو الوقت، اعتمادًا على الفضاء الرياضي الأساسي، ويطلق عليها أيضًا متوسط ​​الكثافة أو متوسط ​​المعدل ؛ ^[46] انظر المصطلحات. ${\textstyle \Lambda =\nu \lambda }$${\textstyle \nu }$${\textstyle \lambda }$${\textstyle \lambda }$

يمكن تعريف عملية نقطة بواسون المتجانسة، عند النظر إليها على نصف الخط الموجب، بأنها عملية عد ، وهي نوع من العمليات العشوائية، والتي يمكن الإشارة إليها على أنها . ^{[31] [34]} تمثل عملية العد العدد الإجمالي للوقائع أو الأحداث التي حدثت حتى الوقت بما في ذلك . تكون عملية العد عملية عد بواسون متجانسة بمعدل إذا كانت لها الخصائص الثلاث التالية: ^{[31] [34]}${\textstyle \{N(t)،t\geq 0\}}$${\نمط النص ت}$${\textstyle \lambda >0}$

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• لديه زيادات مستقلة ؛ و
• عدد الأحداث (أو النقاط) في أي فترة زمنية هو متغير عشوائي بواسون ذو معامل (أو متوسط) .${\نمط النص ت}$${\textstyle \lambda t}$

الخاصية الأخيرة تعني:

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t)]=\lambda t.}$

وبعبارة أخرى، فإن احتمال أن يكون المتغير العشوائي مساويًا لـ يعطى بالعلاقة: ${\textstyle N(t)}$${\textstyle ن}$

${\displaystyle \Pr\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.}$

يمكن أيضًا تعريف عملية العد بواسون من خلال القول بأن الاختلافات الزمنية بين أحداث عملية العد هي متغيرات أسيّة بمتوسط ​​. ^[47] تُعرف الاختلافات الزمنية بين الأحداث أو الوصولات بأوقات الوصول المتبادل ^[48] أو أوقات التداخل . ^[47]${\textstyle 1/\lambda }$

يمكن تعريف عملية نقطة بواسون، التي يمكن تفسيرها على أنها عملية نقطية، على الخط الحقيقي من خلال النظر في عدد نقاط العملية في الفاصلة . بالنسبة لعملية نقطة بواسون المتجانسة على الخط الحقيقي مع المعلمة ، فإن احتمال أن يكون هذا العدد العشوائي من النقاط، المكتوب هنا على أنه ، مساويًا لبعض أرقام العد، يُعطى بواسطة: ^[49]${\textstyle (a,b]}$${\textstyle \lambda >0}$${\textstyle N(a,b]}$ ${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (b-a)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (b-a)},}$

بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة ، فإن عملية نقطة بواسون المتجانسة لها توزيع الأبعاد المحدودة المعطى بواسطة: ^[49]${\textstyle k}$

${\displaystyle \Pr\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},}$

أين الأعداد الحقيقية . ${\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$

بعبارة أخرى، هو متغير عشوائي بواسون بمتوسط ، حيث . وعلاوة على ذلك، فإن عدد النقاط في أي فترتين منفصلتين، على سبيل المثال، و مستقلان عن بعضهما البعض، ويمتد هذا إلى أي عدد محدود من الفترات المنفصلة. ^[49] في سياق نظرية الطابور، يمكن للمرء أن يعتبر نقطة موجودة (في فترة) حدثًا ، لكن هذا يختلف عن كلمة حدث بمعنى نظرية الاحتمالات. ^[ب] ويترتب على ذلك أن هو العدد المتوقع للوافدين الذين يحدثون لكل وحدة زمنية. ^[34]${\textstyle N(a,b]}$${\textstyle \lambda (b-a)}$${\textstyle a\leq b}$${\textstyle (a_{1},b_{1}]}$${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$${\textstyle \lambda }$

يتضمن التعريف السابق ميزتين مهمتين مشتركتين بين عمليات نقطة بواسون بشكل عام: ^{[49] [27]}

• عدد الوافدين في كل فترة زمنية محدودة له توزيع بواسون؛
• عدد الوافدين في فترات منفصلة هي متغيرات عشوائية مستقلة.

علاوة على ذلك، فإنها تتميز بميزة ثالثة تتعلق بعملية نقطة بواسون المتجانسة فقط: ^[50]

• يعتمد توزيع بواسون لعدد الوافدين في كل فترة زمنية فقط على طول الفترة الزمنية .${\textstyle (a+t,b+t]}$${\textstyle b-a}$

بعبارة أخرى، بالنسبة لأي عدد محدود ، يكون المتغير العشوائي مستقلاً عن ، لذلك يُطلق عليه أيضًا عملية بواسون ثابتة. ^[49]${\textstyle t>0}$${\textstyle N(a+t,b+t]}$${\textstyle t}$

يمكن تفسير الكمية على أنها العدد المتوقع أو المتوسط ​​للنقط التي تحدث في الفترة ، وهي: ${\textstyle \lambda (b_{i}-a_{i})}$${\textstyle (a_{i},b_{i}]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(a_{i},b_{i}]]=\lambda (b_{i}-a_{i}),}$

حيث يشير إلى عامل التوقع . بعبارة أخرى، تتطابق معلمة عملية بواسون مع كثافة النقاط. وعلاوة على ذلك، تلتزم عملية نقطة بواسون المتجانسة بصيغتها الخاصة من قانون الأعداد الكبيرة (القوي). ^[51] وبشكل أكثر تحديدًا، مع الاحتمالية 1: ${\displaystyle \operatorname {E} }$${\textstyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {N(t)}{t}}=\lambda ,}$

حيث يشير إلى حد الدالة، و هو عدد مرات الوصول المتوقعة لكل وحدة زمنية. ${\textstyle \lim }$${\displaystyle \lambda }$

ستكون المسافة بين نقطتين متتاليتين لعملية نقطية على الخط الحقيقي متغيرًا عشوائيًا أسيًا بمعامل (أو ما يعادله، المتوسط ). وهذا يعني أن النقاط لها خاصية عدم الذاكرة : وجود نقطة واحدة موجودة في فترة زمنية محدودة لا يؤثر على احتمالية (توزيع) وجود نقاط أخرى، ^{[52] [53]} ولكن هذه الخاصية ليس لها تكافؤ طبيعي عندما يتم تعريف عملية بواسون على مساحة ذات أبعاد أعلى. ^[54]${\textstyle \lambda }$${\textstyle 1/\lambda }$

يُقال أحيانًا إن عملية النقاط ذات الزيادات الثابتة منظمة ^[55] أو منتظمة إذا: ^[56]

${\displaystyle \Pr\{N(t,t+\delta ]>1\}=o(\delta ),}$

حيث يتم استخدام تدوين little-o . تسمى عملية النقطة عملية نقطة بسيطة عندما يكون احتمال تطابق أي من نقطتيها في نفس الموضع، على الفضاء الأساسي، صفرًا. بالنسبة لعمليات النقطة بشكل عام على الخط الحقيقي، فإن خاصية الترتيب تعني أن العملية بسيطة، ^[57] وهذا هو الحال بالنسبة لعملية نقطة بواسون المتجانسة. ^[58]

على الخط الحقيقي، فإن عملية نقطة بواسون المتجانسة لها صلة بنظرية المارتينجال من خلال التوصيف التالي: عملية النقطة هي عملية نقطة بواسون المتجانسة إذا وفقط إذا

${\displaystyle N(-\infty ,t]-\lambda t,}$

هو مارتينجال. ^{[59] [60]}

على الخط الحقيقي، عملية بواسون هي نوع من عملية ماركوف المستمرة المعروفة باسم عملية الولادة ، وهي حالة خاصة لعملية الولادة والموت (مع الولادات فقط وصفر وفيات). ^{[61] [62]} تم تعريف العمليات الأكثر تعقيدًا مع خاصية ماركوف ، مثل عمليات وصول ماركوف ، حيث تكون عملية بواسون حالة خاصة. ^[47]

إذا تم اعتبار عملية بواسون المتجانسة على نصف الخط فقط ، وهو ما قد يكون الحال عندما يمثل الوقت ^[31] ، فإن العملية الناتجة ليست ثابتة حقًا تحت الترجمة. ^[54] في هذه الحالة، لم تعد عملية بواسون ثابتة، وفقًا لبعض تعريفات الثبات. ^[28]${\textstyle [0,\infty )}$${\textstyle t}$

كانت هناك العديد من التطبيقات لعملية بواسون المتجانسة على الخط الحقيقي في محاولة لنمذجة الأحداث العشوائية والمستقلة التي تحدث على ما يبدو. ولها دور أساسي في نظرية الطوابير ، وهو مجال الاحتمالات لتطوير نماذج عشوائية مناسبة لتمثيل الوصول والمغادرة العشوائية لظواهر معينة. ^{[15] [47]} على سبيل المثال، يمكن دراسة وصول العملاء وخدمتهم أو المكالمات الهاتفية التي تصل إلى مركز الهاتف باستخدام تقنيات من نظرية الطوابير.

تعتبر عملية بواسون المتجانسة على الخط الحقيقي واحدة من أبسط العمليات العشوائية لحساب أعداد عشوائية من النقاط. ^{[63] [64]} يمكن تعميم هذه العملية بعدة طرق. أحد التعميمات المحتملة هو توسيع توزيع أوقات الوصول المتبادل من التوزيع الأسي إلى توزيعات أخرى، مما يقدم العملية العشوائية المعروفة باسم عملية التجديد . تعميم آخر هو تعريف عملية نقطة بواسون على مساحات ذات أبعاد أعلى مثل المستوى. ^[65]

عملية بواسون المكانية هي عملية نقطة بواسون محددة في المستوى . ^{[59] [66]} لتعريفها رياضيًا، يجب أولاً النظر في منطقة محدودة أو مغلقة (أو بتعبير أدق، قابلة للقياس وفقًا لبوريل ) من المستوى. عدد نقاط عملية النقطة الموجودة في هذه المنطقة هو متغير عشوائي، يُشار إليه بواسطة . إذا كانت النقاط تنتمي إلى عملية بواسون متجانسة ذات معامل ، فإن احتمال وجود نقاط في يُعطى بواسطة: ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle B}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \textstyle N(B)}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

حيث يشير إلى مساحة . ${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle B}$

بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة المحدودة ، يمكننا إعطاء التوزيع ذي الأبعاد المحدودة لعملية نقطة بواسون المتجانسة من خلال النظر أولاً في مجموعة من مجموعات بوريل المحدودة المنفصلة (القابلة للقياس) . يمكن كتابة عدد نقاط عملية النقطة الموجودة في على النحو التالي . بعد ذلك، يكون لعملية نقطة بواسون المتجانسة ذات المعلمة التوزيع ذي الأبعاد المحدودة: ^[67]${\displaystyle \textstyle k\geq 1}$${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

تتميز عملية نقطة بواسون المكانية بشكل بارز في الإحصاء المكاني ، ^{[21] [22]} والهندسة العشوائية ، ونظرية التسرب المتواصل . ^[23] يتم تطبيق عملية النقطة هذه في العديد من العلوم الفيزيائية مثل نموذج تم تطويره لاكتشاف جسيمات ألفا. في السنوات الأخيرة، تم استخدامه بشكل متكرر لنمذجة التكوينات المكانية غير المنظمة على ما يبدو لشبكات الاتصالات اللاسلكية معينة. ^{[17] [18] [19]} على سبيل المثال، تم تطوير نماذج لشبكات الهاتف الخلوي أو المحمول حيث يُفترض أن أجهزة إرسال شبكة الهاتف، المعروفة باسم المحطات الأساسية، يتم وضعها وفقًا لعملية نقطة بواسون متجانسة.

تمتد عملية نقطة بواسون المتجانسة السابقة على الفور إلى أبعاد أعلى من خلال استبدال مفهوم المساحة بالحجم (عالي الأبعاد). بالنسبة لبعض المناطق المحدودة من الفضاء الإقليدي ، إذا شكلت النقاط عملية بواسون متجانسة ذات معامل ، فإن احتمال وجود نقاط في يُعطى بواسطة: ${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

حيث يشير الآن إلى الحجم ذي الأبعاد - لـ . علاوة على ذلك، لمجموعة من مجموعات بوريل المحدودة المنفصلة ، ​​دع يشير إلى عدد نقاط الموجودة في . ثم تكون عملية نقطة بواسون المتجانسة المقابلة ذات المعلمة لها توزيع الأبعاد المحدودة: ^[69]${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

لا تعتمد عمليات نقطة بواسون المتجانسة على موضع الفضاء الأساسي من خلال معاملها ، مما يعني أنها عملية ثابتة (غير ثابتة للترجمة) وعملية عشوائية متساوية الخواص (غير ثابتة للدوران). ^[28] وعلى نحو مماثل للحالة أحادية البعد، فإن عملية النقطة المتجانسة مقيدة بمجموعة فرعية محدودة من ، ثم بناءً على بعض تعريفات الثبات، لم تعد العملية ثابتة. ^{[28] [54]}${\displaystyle \textstyle \lambda }$${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

إذا تم تعريف عملية النقطة المتجانسة على الخط الحقيقي كنموذج رياضي لحدوث بعض الظواهر، فإنها تتميز بخاصية توزيع مواضع هذه الظواهر أو الأحداث على الخط الحقيقي (والتي غالبًا ما يتم تفسيرها على أنها وقت) بشكل موحد. وبشكل أكثر تحديدًا، إذا حدث حدث (وفقًا لهذه العملية) في فترة زمنية حيث ، فسيكون موقعه متغيرًا عشوائيًا موحدًا محددًا على تلك الفترة. ^[67] علاوة على ذلك، تسمى عملية النقطة المتجانسة أحيانًا عملية نقطة بواسون الموحدة (انظر المصطلحات). تمتد خاصية التوحيد هذه إلى أبعاد أعلى في إحداثيات ديكارت، ولكن ليس في، على سبيل المثال، الإحداثيات القطبية. ^{[70] [71]}${\displaystyle \textstyle (a,b]}$${\displaystyle \textstyle a\leq b}$

عملية نقطة بواسون غير المتجانسة أو غير المتجانسة (انظر المصطلحات) هي عملية نقطة بواسون مع تعيين معلمة بواسون كدالة تعتمد على الموقع في الفضاء الأساسي الذي يتم فيه تعريف عملية بواسون. بالنسبة للفضاء الإقليدي ، يتم تحقيق ذلك من خلال إدخال دالة موجبة قابلة للتكامل محليًا ، بحيث يكون التكامل الحجمي ( ذو الأبعاد) لمنطقة فوق كل منطقة محدودة منتهيًا. بعبارة أخرى، إذا كان هذا التكامل، الذي يشار إليه بـ ، هو: ^[45]${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {R} ^{d}\to [0,\infty )}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x<\infty ,}$

حيث هو عنصر حجم (ذو أبعاد)، ^[ج] ثم لكل مجموعة من مجموعات بوريل المحدودة المنفصلة القابلة للقياس ، فإن عملية بواسون غير متجانسة مع دالة (شدة) لها توزيع ذو أبعاد محدودة: ^[69]${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} x}}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\Lambda (B_{i}))^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\Lambda (B_{i})}.}$

علاوة على ذلك، فإن التفسير هو العدد المتوقع لنقاط عملية بواسون الواقعة في المنطقة المحدودة ، وهي ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

على الخط الحقيقي، يكون لعملية نقطة بواسون غير المتجانسة أو غير المتجانسة قياس متوسط ​​يُعطى بواسطة تكامل أحادي البعد. بالنسبة لعددين حقيقيين و ، حيث ، يُشار إلى بواسطة عدد نقاط عملية بواسون غير متجانسة ذات دالة شدة تحدث في الفترة . يُعطى احتمال وجود نقاط في الفترة أعلاه بواسطة:${\displaystyle \textstyle a}$${\displaystyle \textstyle b}$${\displaystyle \textstyle a\leq b}$${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$${\displaystyle \textstyle \lambda (t)}$${\displaystyle \textstyle (a,b]}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle (a,b]}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.}$

حيث يكون متوسط ​​أو مقياس الشدة هو:

${\displaystyle \Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t)\,\mathrm {d} t,}$

وهذا يعني أن المتغير العشوائي هو متغير عشوائي بواسون بمتوسط ​​. ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)}$

من سمات الإعداد أحادي البعد أنه يمكن تحويل عملية بواسون غير المتجانسة إلى عملية متجانسة من خلال تحويل أحادي النغمة أو تعيين، وهو ما يتحقق باستخدام معكوس . ^{[72] [73]}${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

تُعرَّف عملية نقطة بواسون غير المتجانسة، عند النظر إليها على نصف الخط الموجب، أحيانًا أيضًا على أنها عملية عد. وبهذا التفسير، فإن العملية، التي تُكتب أحيانًا على أنها ، تمثل العدد الإجمالي للوقائع أو الأحداث التي حدثت حتى الوقت بما في ذلك الوقت . يُقال إن عملية العد هي عملية عد بواسون غير متجانسة إذا كانت لها الخصائص الأربع: ^{[34] [74]}${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle t}$

• ${\displaystyle \textstyle N(0)=0;}$
• لديه زيادات مستقلة ؛
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda (t)h+o(h);}$و
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h),}$

حيث يكون الترميز المقارب أو الترميز الصغير لـ as . وفي حالة العمليات النقطية ذات المقاومة (على سبيل المثال، سلاسل الأشواك العصبية)، يتم تطبيق نسخة أقوى من الخاصية 4: ^[75] . ${\displaystyle \textstyle o(h)}$${\displaystyle \textstyle o(h)/h\rightarrow 0}$${\displaystyle \textstyle h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h^{2})}$

تشير الخصائص المذكورة أعلاه إلى أن هذا متغير عشوائي بواسون مع المعلمة (أو المتوسط) ${\displaystyle \textstyle N(t+h)-N(t)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t+h)-N(t)]=\int _{t}^{t+h}\lambda (s)\,ds,}$

وهو ما يعني

${\displaystyle \operatorname {E} [N(h)]=\int _{0}^{h}\lambda (s)\,ds.}$

تُسمى عملية بواسون غير المتجانسة المحددة في المستوى بعملية بواسون مكانية ^[16] وتُعرف بدالة الكثافة ويتم الحصول على مقياس شدتها من خلال إجراء تكامل سطحي لدالة شدتها على بعض المناطق. ^{[20] [76]} على سبيل المثال، يمكن أن تكون دالة شدتها (كدالة لإحداثيات ديكارت و ) ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle x}$${\displaystyle \textstyle y}$

${\displaystyle \lambda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

لذا فإن مقياس الكثافة المقابل يتم إعطاؤه بواسطة التكامل السطحي

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}$

أين توجد بعض المناطق المحدودة في المستوى . ${\textstyle B}$${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$

في المستوى، يتوافق مع تكامل السطح بينما في التكامل يصبح تكامل حجمي (ثنائي الأبعاد). ${\textstyle \Lambda (B)}$${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\textstyle d}$

عندما يتم تفسير الخط الحقيقي على أنه وقت، يتم استخدام العملية غير المتجانسة في مجالات عمليات العد وفي نظرية الطوابير. ^{[74] [77]} تشمل أمثلة الظواهر التي تم تمثيلها أو ظهورها على أنها عملية نقطة بواسون غير متجانسة ما يلي:

• الأهداف التي تم تسجيلها في مباراة كرة القدم. ^[78]
• عيوب في لوحة الدائرة ^[79]

في المستوى، تعتبر عملية نقطة بواسون مهمة في التخصصات ذات الصلة بالهندسة العشوائية ^{[1] [35]} والإحصاء المكاني. ^{[21] [22]} يعتمد مقياس شدة عملية النقطة هذه على موقع الفضاء الأساسي، مما يعني أنه يمكن استخدامه لنمذجة الظواهر ذات الكثافة التي تختلف على بعض المناطق. بعبارة أخرى، يمكن تمثيل الظواهر كنقط لها كثافة تعتمد على الموقع. ^[20] تم استخدام هذه العمليات في تخصصات مختلفة وتشمل الاستخدامات دراسة سمك السلمون وقمل البحر في المحيطات، ^[80] والغابات، ^[6] ومشكلات البحث. ^[81]

تحتوي دالة شدة بواسون على تفسير يعتبر بديهيًا، ^[20] مع عنصر الحجم بالمعنى اللانهائي: هو الاحتمال اللانهائي لوجود نقطة من عملية نقطة بواسون في منطقة من الفضاء ذات حجم يقع عند . ^[20]${\textstyle \lambda (x)}$${\textstyle \mathrm {d} x}$${\textstyle \lambda (x)\,\mathrm {d} x}$${\textstyle \mathrm {d} x}$${\textstyle x}$

على سبيل المثال، إذا كانت عملية نقطة بواسون متجانسة على الخط الحقيقي، فإن احتمال العثور على نقطة واحدة من العملية في فترة صغيرة من العرض هو تقريبًا . في الواقع، هذه الحدس هي الطريقة التي يتم بها أحيانًا تقديم عملية نقطة بواسون واشتقاق توزيعها. ^{[82] [43] [83]}${\textstyle \delta }$${\textstyle \lambda \delta }$

إذا كانت عملية نقطة بواسون لها مقياس شدة محدود محليًا ومنتشر (أو غير ذري)، فإنها تكون عملية نقطة بسيطة . بالنسبة لعملية نقطة بسيطة، فإن احتمال وجود نقطة عند نقطة واحدة أو موقع واحد في الفضاء الأساسي (الحالة) يكون إما صفرًا أو واحدًا. وهذا يعني أنه مع الاحتمال الواحد، لا تتطابق نقطتان (أو أكثر) لعملية نقطة بواسون في الموقع في الفضاء الأساسي. ^{[84] [18] [85]}

تتم محاكاة عملية نقطة بواسون على جهاز كمبيوتر عادةً في منطقة محدودة من الفضاء، تُعرف باسم نافذة المحاكاة ، وتتطلب خطوتين: إنشاء عدد عشوائي من النقاط بشكل مناسب ثم وضع النقاط بشكل مناسب بطريقة عشوائية. تعتمد كلتا الخطوتين على عملية نقطة بواسون المحددة التي يتم محاكاتها. ^{[86] [87]}

يجب محاكاة عدد النقاط في النافذة، والمشار إليها هنا بـ ، ويتم ذلك باستخدام دالة توليد أرقام عشوائية (شبه عشوائية) قادرة على محاكاة المتغيرات العشوائية بواسون. ${\textstyle N}$${\textstyle W}$

بالنسبة للحالة المتجانسة ذات الثابت ، يتم ضبط متوسط ​​المتغير العشوائي بواسون على حيث هو الطول أو المساحة أو الحجم (الأبعاد) لـ . ${\textstyle \lambda }$${\textstyle N}$${\textstyle \lambda |W|}$${\textstyle |W|}$${\textstyle d}$${\textstyle W}$

بالنسبة للحالة غير المتجانسة، يتم استبدالها بالتكامل الحجمي (ذو الأبعاد) ${\textstyle \lambda |W|}$${\textstyle d}$

${\displaystyle \Lambda (W)=\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x}$

المرحلة الثانية تتطلب وضع النقاط بشكل عشوائي في النافذة . ${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle W}$

بالنسبة للحالة المتجانسة في بُعد واحد، يتم وضع جميع النقاط بشكل موحد ومستقل في النافذة أو الفاصل الزمني . بالنسبة للأبعاد الأعلى في نظام إحداثيات ديكارت، يتم وضع كل إحداثي بشكل موحد ومستقل في النافذة . إذا لم تكن النافذة فضاءً فرعيًا من الفضاء الديكارتي (على سبيل المثال، داخل كرة وحدة أو على سطح كرة وحدة)، فلن يتم وضع النقاط بشكل موحد في ، وستكون هناك حاجة إلى تغيير مناسب للإحداثيات (من الديكارتية). ^[86]${\displaystyle \textstyle W}$${\displaystyle \textstyle W}$${\displaystyle \textstyle W}$

بالنسبة للحالة غير المتجانسة، يمكن استخدام طريقتين مختلفتين اعتمادًا على طبيعة دالة الكثافة . ^[86] إذا كانت دالة الكثافة بسيطة بدرجة كافية، فيمكن إنشاء إحداثيات عشوائية غير موحدة (ديكارتية أو غير ذلك) للنقط. على سبيل المثال، يمكن إجراء محاكاة لعملية نقطة بواسون على نافذة دائرية لدالة كثافة متساوية الخواص (في إحداثيات قطبية و )، مما يعني أنها متغيرة دورانيًا أو مستقلة عن ولكنها تعتمد على , من خلال تغيير المتغير في إذا كانت دالة الكثافة بسيطة بدرجة كافية. ^[86]${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$${\displaystyle \textstyle r}$${\displaystyle \textstyle \theta }$${\displaystyle \textstyle \theta }$${\displaystyle \textstyle r}$${\displaystyle \textstyle r}$

بالنسبة لوظائف الكثافة الأكثر تعقيدًا، يمكن للمرء استخدام طريقة القبول والرفض ، والتي تتكون من استخدام (أو "قبول") نقاط عشوائية معينة فقط وعدم استخدام (أو "رفض") النقاط الأخرى، بناءً على النسبة: ^[88] .

${\displaystyle {\frac {\lambda (x_{i})}{\Lambda (W)}}={\frac {\lambda (x_{i})}{\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x.}}}$

أين هي النقطة التي يتم النظر فيها للقبول أو الرفض؟ ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$

وهذا يعني أنه يتم اختيار موقع عشوائيًا بشكل موحد للنظر فيه، ثم لتحديد ما إذا كان سيتم وضع عينة في هذا الموقع، تتم مقارنة رقم مرسوم عشوائيًا بشكل موحد بدالة كثافة الاحتمال ، وقبول ما إذا كان أصغر من دالة كثافة الاحتمال، وتكرار ذلك حتى يتم سحب عدد العينات المختار مسبقًا. ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\frac {\lambda (x)}{\Lambda (W)}}}$

في نظرية القياس ، يمكن تعميم عملية نقطة بواسون بشكل أكبر إلى ما يُعرف أحيانًا بعملية نقطة بواسون العامة ^{[20] [89]} أو عملية بواسون العامة ^[76] باستخدام مقياس الرادون ، وهو مقياس محدود محليًا . بشكل عام، يمكن أن يكون مقياس الرادون هذا ذريًا، مما يعني أنه يمكن أن توجد نقاط متعددة لعملية نقطة بواسون في نفس موقع الفضاء الأساسي. في هذه الحالة، يكون عدد النقاط عند متغير عشوائي بواسون بمتوسط ​​. ^[89] ولكن في بعض الأحيان يُفترض العكس، وبالتالي يكون مقياس الرادون منتشرًا أو غير ذري. ^[20]${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle \Lambda ({x})}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

تعتبر عملية النقطة عملية نقطة بواسون عامة ذات كثافة إذا كانت لها الخاصيتان التاليتان: ^[20]${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

• عدد النقاط في مجموعة بوريل المحدودة هو متغير عشوائي بواسون بمتوسط ​​. بعبارة أخرى، قم بالإشارة إلى العدد الإجمالي للنقاط الموجودة في بواسطة ، ثم يكون احتمال أن يكون المتغير العشوائي مساويًا لـ هو:${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\Lambda (B))^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (B)}}$

• عدد النقاط في مجموعات بوريل المنفصلة تشكل متغيرات عشوائية مستقلة.${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle n}$

يحافظ مقياس الرادون على تفسيره السابق بأنه العدد المتوقع للنقط الواقعة في المنطقة المحدودة ، وهي ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

علاوة على ذلك، إذا كانت مستمرة بشكل مطلق بحيث يكون لها كثافة (وهي كثافة الرادون-نيكوديم أو المشتق) بالنسبة إلى مقياس ليبيج، فيمكن كتابتها لجميع مجموعات بوريل على النحو التالي: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x,}$

حيث تُعرف الكثافة ، من بين مصطلحات أخرى، بدالة الكثافة. ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

على الرغم من اسمها، لم يتم اكتشاف عملية نقطة بواسون أو دراستها من قبل من سميت باسمه. يتم الاستشهاد بها كمثال لقانون ستيجلر للاسم . ^{[2] [3]} ينشأ الاسم من العلاقة المتأصلة للعملية بتوزيع بواسون، الذي استنتجه بواسون كحالة حدية للتوزيع الثنائي . ^[90] يصف احتمال مجموع تجارب برنولي باحتمالية ، غالبًا ما تشبه عدد الرؤوس (أو الكتابة) بعد رمي العملة المتحيزة مع احتمال حدوث الرأس (أو الكتابة) . بالنسبة لبعض الثوابت الإيجابية ، مع الزيادة نحو اللانهاية والنقصان نحو الصفر بحيث يكون المنتج ثابتًا، فإن توزيع بواسون يقترب بشكل أوثق من توزيع ثنائي الحدين. ^[91]${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle \Lambda >0}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle np=\Lambda }$

استنتج بواسون توزيع بواسون، الذي نُشر عام 1841، من خلال فحص التوزيع الثنائي في حدود (إلى الصفر ) و (إلى ما لا نهاية). يظهر مرة واحدة فقط في كل أعمال بواسون، ^[92] ولم تكن النتيجة معروفة جيدًا خلال عصره. على مدار السنوات التالية، استخدم آخرون التوزيع دون الاستشهاد بواسون، بما في ذلك فيليب لودفيج فون سيدل وإرنست آبي . ^{[93] [2]} في نهاية القرن التاسع عشر، درس لاديسلاوس بورتكيفيتش التوزيع، مستشهدًا ببويسون، باستخدام بيانات حقيقية عن عدد الوفيات الناجمة عن ركلات الخيل في الجيش البروسي . ^{[90] [94]}${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle n}$

هناك عدد من المطالبات بالاستخدامات أو الاكتشافات المبكرة لعملية نقطة بواسون. ^{[2] [3]} على سبيل المثال، كان جون ميشيل في عام 1767، قبل عقد من ولادة بواسون، مهتمًا باحتمالية وجود نجم داخل منطقة معينة من نجم آخر تحت افتراض خاطئ بأن النجوم "تشتتت بمحض الصدفة"، ودرس مثالًا يتكون من ستة نجوم ألمع في الثريا ، دون استنتاج توزيع بواسون. ألهم هذا العمل سيمون نيوكومب لدراسة المشكلة وحساب توزيع بواسون كتقريب للتوزيع الثنائي في عام 1860. ^[3]

في بداية القرن العشرين، نشأت عملية بواسون (في بُعد واحد) بشكل مستقل في مواقف مختلفة. ^{[2] [3]} في السويد عام 1903، نشر فيليب لوندبيرج أطروحة تحتوي على عمل يُعتبر الآن أساسيًا ورائدًا، حيث اقترح نمذجة مطالبات التأمين باستخدام عملية بواسون متجانسة. ^{[95] [96]}

في الدنمارك، استنتج أ.ك. إرلانج توزيع بواسون في عام 1909 عند تطوير نموذج رياضي لعدد المكالمات الهاتفية الواردة في فترة زمنية محدودة. لم يكن إرلانج على علم بعمل بواسون السابق وافترض أن عدد المكالمات الهاتفية الواردة في كل فترة زمنية كانت مستقلة عن بعضها البعض. ثم وجد الحالة الحدية، والتي تعيد صياغة توزيع بواسون بشكل فعال كحد للتوزيع الثنائي. ^[2]

في عام 1910 نشر إرنست رذرفورد وهانز جايجر نتائج تجريبية حول عد جسيمات ألفا. وقد ساهم في عملهم التجريبي هاري باتمان ، الذي اشتق احتمالات بواسون كحل لعائلة من المعادلات التفاضلية، على الرغم من أن الحل كان قد تم اشتقاقه في وقت سابق، مما أدى إلى الاكتشاف المستقل لعملية بواسون. ^[2] بعد هذا الوقت، كانت هناك العديد من الدراسات والتطبيقات لعملية بواسون، لكن تاريخها المبكر معقد، وقد تم تفسيره من خلال التطبيقات المختلفة للعملية في العديد من المجالات من قبل علماء الأحياء وعلماء البيئة والمهندسين وعلماء الفيزياء المختلفين. ^[2]

أدت السنوات التي تلت عام 1909 إلى عدد من الدراسات والتطبيقات لعملية نقطة بواسون، ومع ذلك، فإن تاريخها المبكر معقد، وقد تم تفسيره من خلال التطبيقات المختلفة للعملية في العديد من المجالات من قبل علماء الأحياء وعلماء البيئة والمهندسين وغيرهم من العاملين في العلوم الفيزيائية . نُشرت النتائج المبكرة بلغات مختلفة وفي إعدادات مختلفة، دون استخدام مصطلحات وتدوين قياسيين. ^[2] على سبيل المثال، في عام 1922، اقترح الكيميائي السويدي والحائز على جائزة نوبل ثيودور سفيدبيرج نموذجًا تكون فيه عملية نقطة بواسون المكانية هي العملية الأساسية لدراسة كيفية توزيع النباتات في مجتمعات النباتات. ^[97] بدأ عدد من علماء الرياضيات في دراسة العملية في أوائل الثلاثينيات من القرن الماضي، وقدم أندريه كولموغوروف وويليام فيلر وألكسندر خينتشين مساهمات مهمة ، ^[2] من بين آخرين. ^[98] في مجال هندسة المرور عن بعد ، درس علماء الرياضيات والإحصائيون واستخدموا عملية بواسون وعمليات النقاط الأخرى. ^[99]

درس السويدي كوني بالم في أطروحته عام 1943 عملية بواسون والعمليات النقطية الأخرى في بيئة أحادية البعد من خلال فحصها من حيث الاعتماد الإحصائي أو العشوائي بين النقاط في الوقت. ^{[100] [99]} يوجد في عمله أول استخدام مسجل معروف لمصطلح العمليات النقطية باسم Punktprozesse باللغة الألمانية. ^{[100] [3]}

يُعتقد ^[2] أن ويليام فيلر كان أول من أشار إليها باسم عملية بواسون في ورقة بحثية عام 1940. وعلى الرغم من أن السويدي أوف لوندبرج استخدم مصطلح عملية بواسون في أطروحته للدكتوراه عام 1940، ^[3] والتي تم فيها الاعتراف بفيلر باعتباره مؤثرًا، ^[101] فقد زُعم أن فيلر صاغ المصطلح قبل عام 1940. ^[91] وقد لوحظ أن كلاً من فيلر ولوندبرج استخدما المصطلح كما لو كان معروفًا جيدًا، مما يعني أنه كان قيد الاستخدام المنطوق بحلول ذلك الوقت. ^[3] عمل فيلر من عام 1936 إلى عام 1939 جنبًا إلى جنب مع هارالد كرامر في جامعة ستوكهولم ، حيث كان لوندبيرج طالب دكتوراه تحت إشراف كرامر الذي لم يستخدم مصطلح عملية بواسون في كتاب له، انتهى منه في عام 1936، لكنه استخدمه في الطبعات اللاحقة، مما أدى إلى التكهن بأن مصطلح عملية بواسون تم صياغته في وقت ما بين عامي 1936 و1939 في جامعة ستوكهولم. ^[3]

لقد تعرضت مصطلحات نظرية عملية النقطة بشكل عام لانتقادات لكونها متنوعة للغاية. ^[3] بالإضافة إلى حذف كلمة نقطة غالبًا، ^{[65] [24]} تُسمى عملية بواسون (النقطة) المتجانسة أيضًا بعملية بواسون (النقطة) الثابتة ، ^[49] بالإضافة إلى عملية بواسون (النقطة) المنتظمة . ^[44] تُسمى عملية بواسون (النقطة) غير المتجانسة، بالإضافة إلى تسميتها غير المتجانسة ، ^{[49] أيضًا بعملية بواسون} غير الثابتة . ^{[74] [102]}

تم انتقاد مصطلح عملية النقطة ، حيث يمكن أن يشير مصطلح العملية عبر الزمان والمكان، وبالتالي مجال النقطة العشوائية ، ^[103] مما أدى إلى استخدام مصطلحي مجال النقطة العشوائية بواسون أو مجال نقطة بواسون أيضًا. ^[104] تعتبر عملية النقطة، وتسمى أحيانًا، مقياس عد عشوائي، ^[105] ومن ثم يشار إلى عملية نقطة بواسون أيضًا باسم مقياس عشوائي بواسون ، ^[106] وهو مصطلح يستخدم في دراسة عمليات ليفي، ^{[106] [107]} ولكن يختار البعض استخدام المصطلحين لعمليات نقاط بواسون المحددة في مساحتين أساسيتين مختلفتين. ^[108]

يُطلق على الفضاء الرياضي الأساسي لعملية نقطة بواسون اسم فضاء الناقل ، ^{[109] [110]} أو فضاء الحالة ، على الرغم من أن المصطلح الأخير له معنى مختلف في سياق العمليات العشوائية. في سياق العمليات النقطية، يمكن أن يعني مصطلح "فضاء الحالة" الفضاء الذي يتم فيه تعريف عملية النقطة مثل الخط الحقيقي، ^{[111] [112]} والذي يتوافق مع مجموعة الفهرس ^[113] أو مجموعة المعلمات ^[114] في مصطلحات العملية العشوائية.

يُطلق على المقياس مقياس الكثافة ، ^[115] أو مقياس المتوسط ، ^[38] أو مقياس المعلمة ، ^[69] حيث لا توجد مصطلحات قياسية. ^[38] إذا كان له مشتق أو كثافة، يُشار إليه بـ ، يُطلق عليه دالة الكثافة لعملية نقطة بواسون. ^[20] بالنسبة لعملية نقطة بواسون المتجانسة، يكون مشتق مقياس الكثافة ببساطة ثابتًا ، والذي يمكن الإشارة إليه بالمعدل ، عادةً عندما تكون المساحة الأساسية هي الخط الحقيقي، أو الكثافة . ^[44] ويُطلق عليه أيضًا المعدل المتوسط ​​أو متوسط ​​الكثافة ^[116] أو المعدل . ^[34] بالنسبة لـ ، يُشار أحيانًا إلى العملية المقابلة باسم عملية بواسون (النقطة) القياسية. ^{[45] [59] [117]}${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle \lambda =1}$

يُطلق على مدى عملية نقطة بواسون أحيانًا اسم التعرض . ^{[118] [119]}

يعتمد تدوين عملية نقطة بواسون على إعدادها والحقل الذي يتم تطبيقها فيه. على سبيل المثال، على الخط الحقيقي، يتم تفسير عملية بواسون، سواء كانت متجانسة أو غير متجانسة، في بعض الأحيان على أنها عملية عد، ويُستخدم التدوين لتمثيل عملية بواسون. ^{[31] [34]}${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$

سبب آخر لاختلاف التدوين يرجع إلى نظرية عمليات النقاط، والتي لها تفسيران رياضيان. على سبيل المثال، يمكن اعتبار عملية نقطة بواسون البسيطة كمجموعة عشوائية، مما يشير إلى التدوين ، مما يعني أن نقطة عشوائية تنتمي إلى أو تكون عنصرًا من عناصر عملية نقطة بواسون . تفسير آخر أكثر عمومية هو اعتبار عملية نقطة بواسون أو أي عملية نقطة أخرى كمقياس عد عشوائي، لذلك يمكن للمرء أن يكتب عدد نقاط عملية نقطة بواسون التي تم العثور عليها أو تقع في بعض المناطق (القابلة للقياس بوريل) على أنها ، وهو متغير عشوائي. تؤدي هذه التفسيرات المختلفة إلى استخدام التدوين من المجالات الرياضية مثل نظرية القياس ونظرية المجموعة. ^[120]${\displaystyle \textstyle x\in N}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle N(B)}$

بالنسبة لعمليات النقاط العامة، في بعض الأحيان يتم تضمين مؤشر سفلي على رمز النقطة، على سبيل المثال ، بحيث يكتب المرء (باستخدام تدوين المجموعة) بدلاً من ، ويمكن استخدامه للمتغير المرتبط في التعبيرات التكاملية مثل نظرية كامبل، بدلاً من الإشارة إلى نقاط عشوائية. ^[18] في بعض الأحيان يشير الحرف الكبير إلى عملية النقطة، بينما يشير الحرف الصغير إلى نقطة من العملية، على سبيل المثال، تنتمي النقطة أو إلى أو هي نقطة من عملية النقطة ، ويمكن كتابتها بتدوين المجموعة مثل أو . ^[112]${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x_{i}\in N}$${\displaystyle \textstyle x\in N}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x_{i}}$${\displaystyle \textstyle X}$${\displaystyle \textstyle x\in X}$${\displaystyle \textstyle x_{i}\in X}$

علاوة على ذلك، يمكن استخدام نظرية المجموعة ونظرية التكامل أو القياس بشكل متبادل. على سبيل المثال، بالنسبة لعملية نقطة محددة على فضاء الحالة الإقليدية ودالة (قابلة للقياس) على ، فإن التعبير ${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle {\mathbb {R} ^{d}}}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\,\mathrm {d} N(x)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}),}$

يوضح طريقتين مختلفتين لكتابة مجموع على عملية نقطية (انظر أيضًا نظرية كامبل (الاحتمالية) ). وبشكل أكثر تحديدًا، فإن تدوين التكامل على الجانب الأيسر يفسر عملية النقطة كمقياس عد عشوائي بينما يشير المجموع على الجانب الأيمن إلى تفسير مجموعة عشوائية. ^[120]

في نظرية الاحتمالات، يتم تطبيق العمليات على المتغيرات العشوائية لأغراض مختلفة. في بعض الأحيان تكون هذه العمليات عبارة عن توقعات منتظمة تنتج متوسط ​​أو تباين متغير عشوائي. يمكن استخدام عمليات أخرى، مثل الدوال المميزة (أو تحويلات لابلاس) لمتغير عشوائي لتحديد أو توصيف المتغيرات العشوائية بشكل فريد وإثبات نتائج مثل نظرية الحد المركزي. ^[121] في نظرية العمليات النقطية، توجد أدوات رياضية مماثلة توجد عادةً في أشكال المقاييس والوظائف بدلاً من اللحظات والوظائف على التوالي. ^{[122] [123]}

بالنسبة لعملية نقطة بواسون ذات مقياس شدة على بعض المساحات ، فإن دالة لابلاس تُعطى بالصيغة التالية: ^[18]${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle L_{N}(f)=\mathbb {E} e^{-\int _{X}f(x)\,N(\mathrm {d} x)}=e^{-\int _{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

تتضمن إحدى نسخ نظرية كامبل دالة لابلاس لعملية نقطة بواسون.

تؤدي دالة توليد الاحتمال لمتغير عشوائي ذي قيمة عددية صحيحة غير سالبة إلى تعريف دالة توليد الاحتمال بشكل مماثل فيما يتعلق بأي دالة محدودة غير سالبة على النحو التالي : بالنسبة لعملية نقطية، يتم تعريف دالة توليد الاحتمال على النحو التالي: ^[124]${\displaystyle \textstyle v}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle 0\leq v(x)\leq 1}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle G(v)=\operatorname {E} \left[\prod _{x\in N}v(x)\right]}$

حيث يتم إجراء حاصل الضرب لجميع النقاط في . إذا كان مقياس شدة محددًا محليًا، فإن يكون محددًا جيدًا لأي دالة قابلة للقياس على . بالنسبة لعملية نقطة بواسون مع مقياس شدة، يتم إعطاء الدالة المولدة بواسطة: ${\textstyle N}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\textstyle G}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle G(v)=e^{-\int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

والتي في الحالة المتجانسة تنخفض إلى

${\displaystyle G(v)=e^{-\lambda \int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d} x}.}$

بالنسبة لعملية نقطة بواسون عامة مع مقياس شدة، فإن مقياس اللحظة الأولى هو مقياس شدتها: ^{[18] [19]}${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

وهو ما يعني لعملية نقطة بواسون متجانسة ذات كثافة ثابتة : ${\displaystyle \textstyle \lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

أين هو الطول أو المساحة أو الحجم (أو بشكل عام، مقياس ليبيج ) لـ . ${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle B}$

تميز معادلة ميك عملية نقطة بواسون. دع مساحة جميع القياسات المنتهية على بعض الفضاءات العامة . عملية نقطة ذات شدة على هي عملية نقطة بواسون إذا وفقط إذا كان لكل الدوال القابلة للقياس ما يلي ينطبق ${\displaystyle \mathbb {N} _{\sigma }}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {Q}}\times \mathbb {N} _{\sigma }\to \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle \Pr \left[\int f(x,\eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int \Pr \left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)}$

لمزيد من التفاصيل انظر ^[125]

بالنسبة لعملية نقطة بواسون عامة بمقياس شدة، يتم إعطاء مقياس اللحظة العاملية - بواسطة التعبير: ^[126]${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

أين هو مقياس الشدة أو مقياس اللحظة الأولى لـ ، والذي بالنسبة لمجموعة بوريل يتم إعطاؤه بواسطة ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

بالنسبة لعملية نقطة بواسون المتجانسة، فإن مقياس اللحظة العاملية - هو ببساطة: ^{[18] [19]}${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

حيث يكون الطول أو المساحة أو الحجم (أو بشكل عام، مقياس ليبيج ) لـ . علاوة على ذلك، فإن كثافة العزم العاملي - هي: ^[126]${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

يتم تعريف دالة التجنب ^[71] أو احتمال الفراغ ^[120] لعملية نقطية فيما يتعلق بمجموعة ما ، وهي مجموعة فرعية من الفضاء الأساسي ، كاحتمال عدم وجود نقاط في . وبشكل أكثر دقة، ^[127] لمجموعة اختبار ، يتم إعطاء دالة التجنب بواسطة: ${\displaystyle \textstyle v}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle v(B)=\Pr\{N(B)=0\}.}$

بالنسبة لعملية نقطة بواسون عامة ذات مقياس شدة ، فإن دالة تجنبها تعطى بالعلاقة: ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle v(B)=e^{-\Lambda (B)}}$

تتميز العمليات النقطية البسيطة تمامًا باحتمالات الفراغ الخاصة بها. ^[128] بعبارة أخرى، يتم التقاط المعلومات الكاملة لعملية نقطية بسيطة بالكامل في احتمالات الفراغ الخاصة بها، ويكون لعمليتي نقطيتين بسيطتين نفس احتمالات الفراغ إذا وفقط إذا كانتا نفس العمليات النقطية. تُعرف حالة عملية بواسون أحيانًا باسم نظرية ريني ، والتي سميت على اسم ألفريد ريني الذي اكتشف النتيجة لحالة عملية نقطية متجانسة في بُعد واحد. ^[129]

في أحد الأشكال، ^[129] تنص نظرية ريني على أنه بالنسبة لمقياس رادون منتشر (أو غير ذري) على ومجموعة هي اتحاد منتهٍ للمستطيلات (لذا ليس بوريل ^[د] ) فإن إذا كانت مجموعة فرعية قابلة للعد بحيث: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda (A)}}$

ثم تكون عملية نقطة بواسون بمقياس شدة . ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

يمكن إجراء العمليات الرياضية على العمليات النقطية للحصول على عمليات نقطية جديدة وتطوير نماذج رياضية جديدة لمواقع أشياء معينة. ومن الأمثلة على هذه العملية ما يُعرف بالتخفيف والذي يستلزم حذف أو إزالة نقاط عملية نقطية معينة وفقًا لقاعدة معينة، مما يؤدي إلى إنشاء عملية جديدة بالنقاط المتبقية (تشكل النقاط المحذوفة أيضًا عملية نقطية). ^[131]

بالنسبة لعملية بواسون، تؤدي عمليات التخفيف المستقلة إلى عملية نقطة بواسون أخرى. وبشكل أكثر تحديدًا، فإن عملية التخفيف المطبقة على عملية نقطة بواسون بمقياس شدة تعطي عملية نقطة من النقاط المزالة والتي هي أيضًا عملية نقطة بواسون بمقياس شدة ، والتي لمجموعة بوريل المحدودة تُعطى بواسطة: ${\displaystyle \textstyle p(x)}$${\displaystyle \textstyle p(x)}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda _{p}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x)\,\Lambda (\mathrm {d} x)}$

تُعرف نتيجة التخفيف هذه لعملية نقطة بواسون أحيانًا باسم نظرية بريكوپا . ^[132] وعلاوة على ذلك، بعد التخفيف العشوائي لعملية نقطة بواسون، تشكل النقاط المحفوظة أو المتبقية أيضًا عملية نقطة بواسون، والتي يكون مقياس شدتها

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x))\,\Lambda (\mathrm {d} x).}$

إن عمليتي نقطة بواسون المنفصلتين المتكونتين على التوالي من النقاط التي تمت إزالتها والنقاط التي تم الاحتفاظ بها مستقلتان عشوائيًا عن بعضهما البعض. ^[131] بعبارة أخرى، إذا كان من المعروف أن المنطقة تحتوي على نقاط محفوظة (من عملية نقطة بواسون الأصلية)، فلن يكون لهذا أي تأثير على العدد العشوائي للنقاط التي تمت إزالتها في نفس المنطقة. تُعرف هذه القدرة على إنشاء عمليتين مستقلتين لنقطة بواسون بشكل عشوائي من عملية واحدة أحيانًا باسم تقسيم ^{[133] [134]} عملية نقطة بواسون. ${\displaystyle \textstyle n}$

إذا كانت هناك مجموعة قابلة للعد من العمليات النقطية ، فإن تراكبها، أو في لغة نظرية المجموعات، اتحادها، وهو ^[135]${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2},\dots }$

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{\infty }N_{i},}$

كما يشكل أيضًا عملية نقطية. بعبارة أخرى، فإن أي نقاط تقع في أي من العمليات النقطية سوف تقع أيضًا في تراكب هذه العمليات النقطية . ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$${\displaystyle \textstyle {N}}$

تقول نظرية تراكب عملية نقطة بواسون أن تراكب عمليات نقطة بواسون المستقلة ذات القياسات المتوسطة سيكون أيضًا عملية نقطة بواسون ذات قياس متوسط ^{​​[136] [91]}${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$${\displaystyle \textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots }$

${\displaystyle \Lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.}$

بعبارة أخرى، فإن اتحاد عمليتين بواسونيتين (أو أكثر بشكل قابل للعد) هو عملية بواسونية أخرى. إذا تم أخذ عينة من نقطة من اتحاد قابل للعد لعمليات بواسون، فإن احتمال أن تنتمي النقطة إلى عملية بواسون رقم 1 يُعطى بالصيغة التالية: ${\textstyle x}$${\textstyle n}$${\displaystyle \textstyle x}$${\textstyle j}$${\textstyle N_{j}}$

${\displaystyle \Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\Lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\Lambda _{i}}}.}$

بالنسبة لعمليتي بواسون متجانستين بكثافة ، يتم تقليص التعبيرين السابقين إلى ${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2}\dots }$

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i},}$

و

${\displaystyle \Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}}.}$

يتم تنفيذ عملية التجميع عندما يتم استبدال كل نقطة من عملية نقطة ما بعملية نقطة أخرى (ربما مختلفة). إذا كانت العملية الأصلية عبارة عن عملية نقطة بواسون، فإن العملية الناتجة تسمى عملية نقطة مجموعة بواسون. ${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$

قد يتطلب النموذج الرياضي تحريك نقاط عملية نقطية عشوائيًا إلى مواقع أخرى في الفضاء الرياضي الأساسي، مما يؤدي إلى نشوء عملية عملية نقطية تُعرف بالإزاحة ^[137] أو الترجمة. ^[138] تم استخدام عملية نقطة بواسون لنمذجة، على سبيل المثال، حركة النباتات بين الأجيال، وذلك بسبب نظرية الإزاحة، ^[137] التي تقول بشكل فضفاض أن الإزاحة العشوائية المستقلة لنقاط عملية نقطة بواسون (على نفس الفضاء الأساسي) تشكل عملية نقطة بواسون أخرى.

تتضمن إحدى نسخ نظرية الإزاحة ^[137] عملية نقطة بواسون مع دالة شدة . ومن المفترض بعد ذلك أن نقاط يتم إزاحتها عشوائيًا إلى مكان آخر في بحيث تكون إزاحة كل نقطة مستقلة وأن إزاحة نقطة كانت في السابق عند هي متجه عشوائي بكثافة احتمالية . ^[هـ] ثم تكون عملية النقطة الجديدة أيضًا عملية نقطة بواسون مع دالة شدة ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle \rho (x,\cdot )}$${\displaystyle \textstyle N_{D}}$

${\displaystyle \lambda _{D}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\lambda (x)\rho (x,y)\,\mathrm {d} x.}$

إذا كانت عملية بواسون متجانسة مع و إذا كانت دالة لـ ، إذن ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)=\lambda >0}$${\displaystyle \rho (x,y)}$${\displaystyle y-x}$

${\displaystyle \lambda _{D}(y)=\lambda .}$

بعبارة أخرى، بعد كل إزاحة عشوائية ومستقلة للنقط، لا تزال عملية نقطة بواسون الأصلية موجودة.

يمكن توسيع نظرية الإزاحة بحيث يتم إزاحة نقاط بواسون عشوائيًا من فضاء إقليدي إلى فضاء إقليدي آخر ، حيث لا يساوي بالضرورة . ^[18]${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d'}}$${\displaystyle \textstyle d'\geq 1}$${\displaystyle \textstyle d}$

هناك خاصية أخرى تعتبر مفيدة وهي القدرة على رسم خريطة لعملية نقطة بواسون من مساحة أساسية إلى مساحة أخرى. ^[139]

إذا التزمت عملية التعيين (أو التحويل) ببعض الشروط، فإن مجموعة النقاط الناتجة المرسومة (أو المحولة) تشكل أيضًا عملية نقطة بواسون، ويشار إلى هذه النتيجة أحيانًا باسم نظرية التعيين . ^{[139] [140]} تتضمن النظرية بعض عمليات نقاط بواسون بقياس متوسط ​​على بعض المساحات الأساسية. إذا تم تعيين مواقع النقاط (أي تحويل عملية النقاط) وفقًا لبعض الوظائف إلى مساحة أساسية أخرى، فإن عملية النقاط الناتجة هي أيضًا عملية نقطة بواسون ولكن بقياس متوسط ​​مختلف . ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$

وبشكل أكثر تحديدًا، يمكننا أن نفكر في دالة (قابلة للقياس حسب بوريل) تقوم برسم خريطة لعملية نقطية بمقياس شدة من مساحة إلى مساحة أخرى بطريقة تجعل عملية النقطة الجديدة تحتوي على مقياس شدة: ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle S}$${\displaystyle \textstyle T}$${\displaystyle \textstyle {N}'}$

${\displaystyle \Lambda (B)'=\Lambda (f^{-1}(B))}$

بدون ذرات، حيث هي مجموعة بوريل و تشير إلى معكوس الدالة . إذا كانت عملية نقطة بواسون، فإن العملية الجديدة هي أيضًا عملية نقطة بواسون بمقياس الكثافة . ${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {N}'}$${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$

تعني قابلية التعامل مع عملية بواسون أنه من المناسب أحيانًا تقريب عملية نقطية غير بواسونية بعملية بواسونية. والهدف العام هو تقريب كل من عدد نقاط عملية نقطية معينة وموقع كل نقطة بواسطة عملية نقطية بواسونية. ^[141] هناك عدد من الطرق التي يمكن استخدامها لتبرير، بشكل غير رسمي أو صارم، تقريب حدوث الأحداث أو الظواهر العشوائية بعمليات نقطية بواسونية مناسبة. تتضمن الطرق الأكثر صرامة استنباط حدود عليا لمقاييس الاحتمال بين العمليات النقطية بواسونية وغير بواسونية، بينما يمكن تبرير طرق أخرى من خلال استدلالات أقل رسمية. ^[142]

تُسمى إحدى الطرق المستخدمة لتقريب الأحداث أو الظواهر العشوائية باستخدام عمليات بواسون بالاستدلال التجميعي . ^[143] يتضمن الاستدلال أو المبدأ العام استخدام عملية نقطة بواسون (أو توزيع بواسون) لتقريب الأحداث، التي تعتبر نادرة أو غير محتملة، لبعض العمليات العشوائية. في بعض الحالات تكون هذه الأحداث النادرة قريبة من الاستقلال، وبالتالي يمكن استخدام عملية نقطة بواسون. عندما لا تكون الأحداث مستقلة، ولكنها تميل إلى الحدوث في مجموعات أو كتل ، فإذا تم تعريف هذه الكتل بشكل مناسب بحيث تكون مستقلة تقريبًا عن بعضها البعض، فسيكون عدد الكتل التي تحدث قريبًا من متغير عشوائي بواسون ^[142] وستكون مواقع الكتل قريبة من عملية بواسون. ^[143]

طريقة شتاين هي تقنية رياضية تم تطويرها في الأصل لتقريب المتغيرات العشوائية مثل المتغيرات الغاوسية والبواسونية، والتي تم تطبيقها أيضًا على العمليات النقطية. يمكن استخدام طريقة شتاين لاستنتاج حدود عليا لمقاييس الاحتمال ، والتي تفسح المجال لقياس مدى اختلاف كائنين رياضيين عشوائيين مختلفين بشكل عشوائي. ^{[141] [144]} تم استنباط حدود عليا لمقاييس الاحتمال مثل التباين الكلي ومسافة واسرشتاين . ^[141]

طبق الباحثون طريقة شتاين على عمليات نقاط بواسون بعدة طرق، ^[141] مثل استخدام حساب بالم . ^[110] تم تطوير تقنيات تعتمد على طريقة شتاين لوضع حدود عليا لتأثيرات عمليات نقاط معينة مثل الترقق والتراكب. ^{[145] [146]} كما تم استخدام طريقة شتاين لاستنباط حدود عليا لمقاييس بواسون وغيرها من العمليات مثل عملية نقطة كوكس ، وهي عملية بواسون بمقياس كثافة عشوائي. ^[141]

بشكل عام، عندما يتم تطبيق عملية على عملية نقطية عامة، فإن العملية الناتجة عادة لا تكون عملية نقطية بواسونية. على سبيل المثال، إذا كانت عملية نقطية، بخلاف بواسونية، لها نقاط تتحرك عشوائيًا وبشكل مستقل، فلن تكون العملية بالضرورة عملية نقطية بواسونية. ومع ذلك، في ظل ظروف رياضية معينة لكل من عملية النقطة الأصلية والنزوح العشوائي، فقد تم إثبات ذلك من خلال نظريات الحد أنه إذا تم نزوح نقاط عملية نقطية بشكل متكرر بطريقة عشوائية ومستقلة، فإن التوزيع المحدود لعملية النقطة سوف يتقارب (بشكل ضعيف) مع توزيع عملية نقطة بواسونية. ^[147]

تم تطوير نتائج تقارب مماثلة لعمليات التخفيف والتراكب ^[147] والتي تظهر أن مثل هذه العمليات المتكررة على العمليات النقطية يمكن، في ظل ظروف معينة، أن تؤدي إلى تقارب العملية إلى عمليات نقاط بواسون، بشرط إعادة قياس مناسبة لمقياس الكثافة (وإلا فإن قيم مقياس الكثافة للعمليات النقطية الناتجة ستقترب من الصفر أو اللانهاية). يرتبط عمل التقارب هذا بشكل مباشر بالنتائج المعروفة باسم معادلات بالم-كينشين ^[f] ، والتي تعود أصولها إلى عمل كوني بالم وألكسندر كينشين ، ^[148] وتساعد في تفسير سبب إمكانية استخدام عملية بواسون غالبًا كنموذج رياضي لظواهر عشوائية مختلفة. ^[147]

يمكن تعميم عملية نقطة بواسون، على سبيل المثال، عن طريق تغيير مقياس شدتها أو تحديدها في مساحات رياضية أكثر عمومية. ويمكن دراسة هذه التعميمات رياضيًا وكذلك استخدامها في النمذجة الرياضية أو تمثيل الظواهر الفيزيائية.

المقاييس العشوائية من نوع بواسون (PT) هي عائلة مكونة من ثلاثة مقاييس عد عشوائية مغلقة تحت تقييد فضاء فرعي، أي مغلقة تحت عملية نقطة #الترقق . هذه المقاييس العشوائية هي أمثلة على عملية ثنائية الحد المختلطة وتشترك في خاصية التشابه الذاتي التوزيعي لمقياس بواسون العشوائي . وهي الأعضاء الوحيدون في عائلة توزيعات السلاسل الأسية غير السالبة القياسية التي تمتلك هذه الخاصية وتشمل توزيع بواسون والتوزيع ثنائي الحدين السالب والتوزيع ثنائي الحدين . مقياس بواسون العشوائي مستقل عن الفضاءات الفرعية المنفصلة، ​​في حين أن المقاييس العشوائية الأخرى من نوع بواسون (ثنائي الحدين السالب وثنائي الحدين) لها تباينات موجبة وسلبية. تمت مناقشة المقاييس العشوائية من نوع بواسون ^[149] وتشمل مقياس بواسون العشوائي والقياس العشوائي ثنائي الحدين السالب والمقياس العشوائي ثنائي الحدين.

بالنسبة للنماذج الرياضية، غالبًا ما يتم تعريف عملية نقطة بواسون في الفضاء الإقليدي، ^{[1] [38]} ولكن تم تعميمها على مساحات أكثر تجريدًا وتلعب دورًا أساسيًا في دراسة المقاييس العشوائية، ^{[150] [151]} والتي تتطلب فهم المجالات الرياضية مثل نظرية الاحتمالات ونظرية القياس والطوبولوجيا. ^[152]

بشكل عام، يعد مفهوم المسافة ذا أهمية عملية للتطبيقات، في حين أن البنية الطوبولوجية ضرورية لتوزيعات Palm، مما يعني أن عمليات النقاط عادة ما يتم تعريفها على مساحات رياضية ذات مقاييس. ^[153] وعلاوة على ذلك، يمكن اعتبار تحقيق عملية النقاط بمثابة مقياس عد، وبالتالي فإن عمليات النقاط هي أنواع من المقاييس العشوائية المعروفة باسم مقاييس العد العشوائية. ^[117] في هذا السياق، تمت دراسة عملية بواسون وغيرها من عمليات النقاط على مساحة هاوسدورف قابلة للعد محليًا ومضغوطة ثانية. ^[154]

عملية نقطة كوكس ، أو عملية كوكس أو عملية بواسون العشوائية المزدوجة هي تعميم لعملية نقطة بواسون من خلال السماح لقياس شدتها بأن يكون عشوائيًا ومستقلًا عن عملية بواسون الأساسية. سميت العملية باسم ديفيد كوكس الذي قدمها في عام 1955، على الرغم من أن عمليات بواسون الأخرى ذات الكثافات العشوائية قد تم تقديمها بشكل مستقل في وقت سابق بواسطة لوسيان لوكام وموريس كوينويل. ^[3] قد يكون مقياس الكثافة تحقيقًا لمتغير عشوائي أو حقل عشوائي. على سبيل المثال، إذا كان لوغاريتم مقياس الكثافة حقلًا عشوائيًا غاوسيًا ، فإن العملية الناتجة تُعرف باسم عملية كوكس غاوسية لوغاريتمية . ^[155] بشكل عام، فإن مقاييس الكثافة هي تحقيق لمقياس عشوائي محدود محليًا غير سلبي. تُظهر عمليات نقطة كوكس مجموعة من النقاط، والتي يمكن إثباتها رياضيًا على أنها أكبر من تلك الموجودة في عمليات نقطة بواسون. أدت عمومية عمليات كوكس وإمكانية التعامل معها إلى استخدامها كنماذج في مجالات مثل الإحصاء المكاني ^[156] والشبكات اللاسلكية. ^[19]${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

بالنسبة لعملية نقطة معينة، يمكن أن يكون لكل نقطة عشوائية من عملية النقطة كائن رياضي عشوائي، يُعرف باسم علامة ، يتم تعيينها عشوائيًا لها. يمكن أن تكون هذه العلامات متنوعة مثل الأعداد الصحيحة أو الأعداد الحقيقية أو الخطوط أو الكائنات الهندسية أو عمليات النقطة الأخرى. ^{[157] [158]} يُطلق على الزوج المكون من نقطة من عملية النقطة والعلامة المقابلة لها اسم نقطة مميزة، وتشكل جميع النقاط المميزة عملية نقطة مميزة . ^[159] غالبًا ما يُفترض أن العلامات العشوائية مستقلة عن بعضها البعض وموزعة بشكل متطابق، ومع ذلك يمكن أن تظل علامة النقطة تعتمد على موقع النقطة المقابلة لها في الفضاء الأساسي (الحالة). ^[160] إذا كانت عملية النقطة الأساسية هي عملية نقطة بواسون، فإن عملية النقطة الناتجة هي عملية نقطة بواسون مميزة . ^[161]

إذا تم تعريف عملية نقطة عامة على بعض الفضاءات الرياضية وتم تعريف العلامات العشوائية على فضاء رياضي آخر، فإن عملية النقطة المحددة يتم تعريفها على حاصل الضرب الديكارتي لهاتين الفضائين. بالنسبة لعملية نقطة بواسون المحددة ذات العلامات المستقلة والموزعة بشكل متطابق، تنص نظرية العلامات ^{[160] [162]} على أن عملية النقطة المحددة هذه هي أيضًا عملية نقطة بواسون (غير محددة) محددة على حاصل الضرب الديكارتي المذكور أعلاه للفضائين الرياضيين، وهو ما لا ينطبق على عمليات النقاط العامة.

تتكون عملية نقطة بواسون المركبة أو عملية بواسون المركبة من خلال إضافة قيم عشوائية أو أوزان إلى كل نقطة من عملية نقطة بواسون المحددة في بعض المساحات الأساسية، وبالتالي يتم إنشاء العملية من عملية نقطة بواسون المحددة، حيث تشكل العلامات مجموعة من المتغيرات العشوائية غير السلبية المستقلة والموزعة بشكل متطابق . بعبارة أخرى، لكل نقطة من عملية بواسون الأصلية، يوجد متغير عشوائي غير سلبي مستقل وموزع بشكل متطابق، ثم تتكون عملية بواسون المركبة من مجموع كل المتغيرات العشوائية المقابلة لنقاط عملية بواسون الموجودة في بعض مناطق المساحة الرياضية الأساسية. ^[163]

إذا كانت هناك عملية نقطة بواسون مميزة مكونة من عملية نقطة بواسون (محددة على سبيل المثال، ) ومجموعة من العلامات غير السلبية المستقلة والموزعة بشكل متطابق بحيث يكون لكل نقطة من عملية بواسون متغير عشوائي غير سلبي ، فإن عملية بواسون المركبة الناتجة تكون عندئذٍ: ^[164]${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$${\displaystyle \textstyle x_{i}}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle M_{i}}$

${\displaystyle C(B)=\sum _{i=1}^{N(B)}M_{i},}$

أين مجموعة بوريل القابلة للقياس؟ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$

إذا أخذت المتغيرات العشوائية العامة قيمًا في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد ، على سبيل المثال ، فإن عملية بواسون المركبة الناتجة هي مثال لعملية ليفي بشرط أن تكون مكونة من عملية نقطة متجانسة محددة على الأرقام غير السالبة . ^[165]${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle [0,\infty )}$

إن عملية الفشل باستخدام التنعيم الأسّي لوظائف الشدة (FP-ESI) هي امتداد لعملية بواسون غير المتجانسة. إن دالة الشدة لـ FP-ESI هي دالة تنعيم أسيّة لوظائف الشدة عند آخر نقاط زمنية لحدوث الحدث وتتفوق على تسع عمليات عشوائية أخرى على 8 مجموعات بيانات فشل في العالم الحقيقي عندما تُستخدم النماذج لتناسب مجموعات البيانات، ^[166] حيث يتم قياس أداء النموذج من حيث AIC ( معيار معلومات أكايكي ) وBIC ( معيار المعلومات البايزي ).

• النموذج البولياني (نظرية الاحتمالات)
• نظرية التسرب المتواصل
• عملية بواسون المركبة
• عملية كوكس
• عملية النقطة
• الهندسة العشوائية
• نماذج الهندسة العشوائية للشبكات اللاسلكية
• عمليات الوصول الماركوفي

• أ. بادلي؛ إ. باراني؛ ر. شنايدر (26 أكتوبر 2006). الهندسة العشوائية: محاضرات ألقيت في مدرسة CIME الصيفية التي أقيمت في مارتينا فرانكا، إيطاليا، 13-18 سبتمبر 2004. سبرينغر. ISBN 978-3-540-38175-4.
• كوكس، د . إيشام، فاليري (1980). العمليات النقطية . تشابمان وهول. رقم ISBN 978-0-412-21910-8.
• دالي، داريل جيه؛ فير جونز، ديفيد (2003). مقدمة إلى نظرية العمليات النقطية: المجلد الأول: النظرية والأساليب الأولية . سبرينغر. رقم ISBN 978-1475781090.
• دالي، داريل جيه؛ فير جونز، ديفيد (2007). مقدمة إلى نظرية العمليات النقطية: المجلد الثاني: النظرية العامة والبنية . سبرينغر. رقم ISBN 978-0387213378.
• كينجمان، جون فرانك (1992). عمليات بواسون . دار نشر كلارندون. رقم ISBN 978-0198536932.
• مولر، جيسبر؛ وواجيبترسن، راسموس ب. (2003). الاستدلال الإحصائي والمحاكاة لعمليات النقاط المكانية . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584882657.
• روس، إس إم (1996). العمليات العشوائية . وايلي. رقم ISBN 978-0-471-12062-9.
• سنيدر، دي إل؛ ميلر، مي (1991). عمليات النقاط العشوائية في الزمان والمكان . دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-97577-1.
• ستويان، ديتريش؛ كيندال، ويلفريد س.؛ ميكي، جوزيف (1995). الهندسة العشوائية وتطبيقاتها . وايلي. ISBN 978-0471950998.
• سترايت، سترايت (2010). عمليات نقاط بواسون: التصوير والتتبع والاستشعار . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-1441969224.
• HC Tijms (18 أبريل 2003). دورة أولى في النماذج العشوائية. جون وايلي وأولاده. ص 22-23. ISBN 978-0-471-49880-3.

• ستيرزاكر، ديفيد (2000). "نصيحة للقنافذ، أو الثوابت يمكن أن تختلف". الجريدة الرياضية .
• جوتورب، بيتر؛ ثورارينسدوتير، ثورديس إل. (2012). "ماذا حدث للفوضى المنفصلة، ​​وعملية كوينويل، وخاصية ماركوف الحادة؟ بعض تاريخ العمليات النقطية العشوائية". المراجعة الإحصائية الدولية .