قابلية التكامل الموحدة

في الرياضيات، يعد التكامل المنتظم مفهومًا مهمًا في التحليل الحقيقي والتحليل الوظيفي ونظرية القياس ، ويلعب دورًا حيويًا في نظرية المارتينجال .

التكامل المنتظم هو امتداد لمفهوم سيطرة مجموعة من الدوال في${\displaystyle L^{1}}$وهو أمر محوري في التقارب المسيطر . تستخدم العديد من الكتب الدراسية في التحليل الحقيقي ونظرية القياس التعريف التالي: ^{[ 1 ]}

التعريف أ: ليكن${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ليكن فضاء قياس موجب . مجموعة${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$يُطلق عليها اسم قابلة للتكامل بشكل منتظم إذا${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L^{1}(\mu )<\infty }$ولكل واحد${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد ما يقابل ذلك${\displaystyle \delta >0}$بحيث

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <\varepsilon }$

حينما${\displaystyle f\in \Phi }$و${\displaystyle \mu (E)<\delta .}$

يُعدّ التعريف (أ) مقيّدًا نوعًا ما بالنسبة لفضاءات القياس اللانهائية. وقد قدّم جي إيه هانت تعريفًا أكثر عمومية ^{[ 2 ]} للتكامل المنتظم، وهو تعريفٌ يعمل بشكل جيد في فضاءات القياس العامة .

التعريف H: ليكن${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ليكن فضاء قياس موجب. مجموعة${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$يُقال إنها قابلة للتكامل بشكل منتظم إذا وفقط إذا

${\displaystyle \inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>g\}}|f|\,d\mu =0}$

أين${\displaystyle L_{+}^{1}(\mu )=\{g\in L^{1}(\mu ):g\geq 0\}}$.

بما أن تعريف هانت يعادل التعريف أ عندما تكون مساحة القياس الأساسية محدودة (انظر النظرية 2 أدناه)، فإن التعريف ح يتم اعتماده على نطاق واسع في الرياضيات.

تقدم النتيجة التالية ^{[ 3 ]} مفهومًا مكافئًا آخر لمفهوم هانت. ويُعطى هذا التكافؤ أحيانًا كتعريف للتكامل المنتظم.

النظرية 1: إذا${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$إذا كان فضاء قياس محدود (موجب)، فإن مجموعة${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$تكون قابلة للتكامل بشكل منتظم إذا وفقط إذا

${\displaystyle \inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-g)^{+}\,d\mu =0}$

بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle \mu (X)<\infty }$إذا كان التكامل المنتظم مكافئًا لأحد الشرطين التاليين

1.${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-a)_{+}\,d\mu =0}$.

2.${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>a\}}|f|\,d\mu =0}$

عندما يكون الفضاء الأساسي${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$يكون${\displaystyle \sigma }$-المحدودة، تعريف هانت يعادل ما يلي:

النظرية 2: ليكن${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$كن${\displaystyle \sigma }$فضاء ذو ​​قياس محدود، و${\displaystyle h\in L^{1}(\mu )}$أن يكون على هذا النحو${\displaystyle h>0}$في كل مكان تقريبًا. مجموعة${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$تكون قابلة للتكامل بشكل منتظم إذا وفقط إذا${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L^{1}(\mu )<\infty }$ولأي${\displaystyle \varepsilon >0}$، يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث

${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon }$

حينما${\displaystyle \int _{A}h\,d\mu <\delta }$.

من نتائج النظريتين 1 و2 أن تكافؤ التعريفين أ و ح للقياسات المحدودة يترتب على ذلك. في الواقع، يتم الحصول على العبارة الواردة في التعريف أ من خلال أخذ${\displaystyle h\equiv 1}$في النظرية 2.

مفهوم آخر مرتبط بالتكامل المنتظم هو مفهوم الإحكام . في هذه المقالة، يُتناول الإحكام في سياق أكثر عمومية.

التعريف: لنفترض${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$هي فضاء قياس. ليكن${\displaystyle {\mathcal {K}}\subset {\mathfrak {M}}}$لتكن مجموعة من المجموعات ذات القياس المحدود. عائلة${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$يقال إنها محكمة فيما يتعلق بـ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$لو

${\displaystyle \inf _{K\in {\mathcal {K}}}\sup _{f\in \Phi }\int _{X\setminus K}|f|\,d\mu =0}$

متى${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathfrak {M}}\cap L^{1}(\mu )}$،${\displaystyle \Phi }$يقال ببساطة إنه ضيق .

عند قياس المساحة${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$هي مساحة مترية مجهزة بـ Borel${\displaystyle \sigma }$الجبر، ${\displaystyle \mu }$هو مقياس منتظم ، و${\displaystyle {\mathcal {K}}}$هي مجموعة جميع المجموعات الفرعية المدمجة من${\displaystyle X}$، مفهوم${\displaystyle {\mathcal {K}}}$- يتطابق مفهوم التماسك المذكور أعلاه مع مفهوم التماسك المعروف المستخدم في تحليل المقاييس المنتظمة في الفضاءات المترية

ل${\displaystyle \sigma }$في فضاءات القياس المحدودة، يمكن إثبات أنه إذا كانت عائلة${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$إذا كانت قابلة للتكامل بشكل منتظم، فإن${\displaystyle \Phi }$وهي محكمة. ويتجلى ذلك في النتيجة التالية التي تُستخدم غالبًا كتعريف للتكامل المنتظم في أدبيات التحليل:

النظرية 3: لنفترض${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$هو${\displaystyle \sigma }$فضاء ذو ​​قياس محدود. عائلة${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$تكون قابلة للتكامل بشكل منتظم إذا وفقط إذا

1. ${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{1}<\infty }$.
2. ${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>a\}}|f|\,d\mu =0}$
3. ${\displaystyle \Phi }$ضيق.

متى${\displaystyle \mu (X)<\infty }$الشرط 3 زائد عن الحاجة (انظر النظرية 1 أعلاه).

في العديد من كتب التحليل ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} ، غالبًا ما يتم استبدال الشرط 2 في النظرية 3 بشرط آخر يسمى التكامل المتساوي :

التعريف: عائلة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$تكون الدوال القابلة للقياس ذات القيم المركبة أو الحقيقية قابلة للتكامل بالتساوي (أو متصلة بشكل مطلق منتظم بالنسبة إلى مقياس).${\displaystyle \mu }$) إذا كان ذلك لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$هنالك${\displaystyle \delta >0}$بحيث $${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {C}}}\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon \qquad {\text{whenever}}\qquad \mu (A)<\delta }$$

ثم تنص النظرية 3 على أن التكامل المتساوي مع${\displaystyle L^{1}}$إن التقييد والضيق (الشروط (1) و (3) في النظرية 3) يكافئ التكامل المنتظم .

تصف النظريات التالية معايير مفيدة للغاية للتكامل المنتظم والتي لها العديد من التطبيقات في التحليل والاحتمالات.

نظرية دي لا فالي-بوسان ^{[ 8 ] [ 9 ]}

يفترض${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$هي فضاء قياس محدود. العائلة${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(\mu )}$تكون قابلة للتكامل بانتظام إذا وفقط إذا وُجدت دالة${\displaystyle G:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}$بحيث${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty }$و $${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{X}G(|f|)\,d\mu <\infty .}$$الوظيفة${\displaystyle G}$يمكن اختيارها لتكون متزايدة بشكل رتيب ومحدبة.

تُعطي قابلية التكامل المنتظمة توصيفًا للتراص الضعيف في${\displaystyle L^{1}}$.

نظرية دانفورد – بيتيس ^{[ 10 ] [ 11 ]}

يفترض${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$هو${\displaystyle \sigma }$- قياس محدود. عائلة${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(\mu )}$يتمتع بإغلاق مضغوط في الطوبولوجيا الضعيفة${\displaystyle \sigma (L^{1},L^{\infty })}$إذا وفقط إذا${\displaystyle {\mathcal {F}}}$قابلة للتكامل بشكل منتظم.

في نظرية الاحتمالات ، غالبًا ما يتم تقديم التعريف أ أو نص النظرية 1 كتعريفات للتكامل المنتظم باستخدام رمز توقع المتغيرات العشوائية. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} أي

1. فصل دراسي${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يُطلق على مجموعة المتغيرات العشوائية اسم مجموعة قابلة للتكامل بشكل منتظم إذا:

• يوجد عدد محدود${\displaystyle M}$بحيث يكون لكل${\displaystyle X}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$،${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)\leq M}$و
• لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث يكون لكل قابل للقياس${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle P(A)\leq \delta }$وكل${\displaystyle X}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، ${\displaystyle \operatorname {E} (|X|I_{A})\leq \varepsilon }$.

أو بدلاً من ذلك

2. فصل دراسي${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يُطلق على مجموعة المتغيرات العشوائية اسم مجموعة قابلة للتكامل بشكل منتظم (UI) إذا كان لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد${\displaystyle K\in [0,\infty )}$بحيث${\displaystyle \operatorname {E} (|X|I_{|X|\geq K})\leq \varepsilon \ {\text{ for all }}X\in {\mathcal {C}}}$، أين${\displaystyle I_{|X|\geq K}}$هي وظيفة المؤشر${\displaystyle I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K.\end{cases}}}$.

تنطبق النتائج التالية على التعريف الاحتمالي. ^{[ 15 ]}

• يمكن إعادة صياغة التعريف 1 بأخذ الحدود على النحو التالي:$${\displaystyle \lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}\operatorname {E} (|X|\,I_{|X|\geq K})=0.}$$
• تسلسل غير متعلق بواجهة المستخدم. ليكن${\displaystyle \Omega =[0,1]\subset \mathbb {R} }$، وتحديد$${\displaystyle X_{n}(\omega )={\begin{cases}n,&\omega \in (0,1/n),\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$بوضوح${\displaystyle X_{n}\in L^{1}}$وبالفعل${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,}$لكل قيمة n . ومع ذلك،$${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|I_{\{|X_{n}|\geq K\}})=1\ {\text{ for all }}n\geq K,}$$وبالمقارنة مع التعريف 1، يتضح أن المتتالية ليست قابلة للتكامل بشكل منتظم.

• باستخدام التعريف 2 في المثال أعلاه، يمكن ملاحظة أن الشرط الأول مُحقق كما يلي:${\displaystyle L^{1}}$معيار الجميع${\displaystyle X_{n}}$s هي 1 أي محدودة. لكن العبارة الثانية لا تنطبق لأنه معطى أي${\displaystyle \delta }$إيجابي، هناك فاصل زمني${\displaystyle (0,1/n)}$بقياس أقل من${\displaystyle \delta }$و${\displaystyle E[|X_{m}|:(0,1/n)]=1}$للجميع${\displaystyle m\geq n}$.
• لو${\displaystyle X}$هو متغير عشوائي لواجهة المستخدم ، عن طريق التقسيم$${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)=\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|\geq K\}})+\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|<K\}})}$$وبتقييد كل من الاثنين، يمكن ملاحظة أن المتغير العشوائي القابل للتكامل المنتظم يكون دائمًا محدودًا في${\displaystyle L^{1}}$.
• إذا كان أي تسلسل من المتغيرات العشوائية${\displaystyle X_{n}}$يهيمن عليها عنصر قابل للتكامل وغير سالب${\displaystyle Y}$أي، بالنسبة لجميع قيم ω و n ،$${\displaystyle |X_{n}(\omega )|\leq Y(\omega ),\ Y(\omega )\geq 0,\ \operatorname {E} (Y)<\infty ,}$$ثم الفصل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$من المتغيرات العشوائية${\displaystyle \{X_{n}\}}$قابلة للتكامل بشكل منتظم.
• فئة من المتغيرات العشوائية المحدودة في${\displaystyle L^{p}}$(${\displaystyle p>1}$) قابلة للتكامل بشكل منتظم.

عائلة من المتغيرات العشوائية${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$تكون قابلة للتكامل بشكل منتظم إذا وفقط إذا ^{[ 16 ]} وُجد متغير عشوائي ${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle EX<\infty }$و ${\displaystyle |X_{i}|\leq _{\mathrm {icx} }X}$للجميع${\displaystyle i\in I}$، أين ${\displaystyle \leq _{\mathrm {icx} }}$يشير إلى الترتيب العشوائي المحدب المتزايد المحدد بواسطة ${\displaystyle A\leq _{\mathrm {icx} }B}$لو${\displaystyle E\phi (A)\leq E\phi (B)}$لجميع الدوال الحقيقية المحدبة غير المتناقصة${\displaystyle \phi }$.

تسلسل${\displaystyle \{X_{n}\}}$يتقارب إلى${\displaystyle X}$في${\displaystyle L^{1}}$المعيار إذا وفقط إذا تقارب في القياس إلى${\displaystyle X}$وهي قابلة للتكامل بانتظام. من الناحية الاحتمالية، فإن متتالية من المتغيرات العشوائية المتقاربة احتماليًا تتقارب أيضًا في المتوسط ​​إذا وفقط إذا كانت قابلة للتكامل بانتظام. ^{[ 17 ]} هذا تعميم لنظرية التقارب المسيطر لليبيغ ، انظر نظرية تقارب فيتالي .

• شيرييف، أن (1995). الاحتمالية (2  ed.). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 187 – 188. ISBN  978-0-387-94549-1.
• ديستل، ج. وأول، ج. (1977). مقاييس المتجهات ، المسوحات الرياضية 15، الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، ISBN 978-0-8218-1515-1