الترتيب العشوائي

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُحدد الترتيب العشوائي مفهوم كون أحد المتغيرات العشوائية "أكبر" من الآخر. وعادةً ما تكون هذه ترتيبات جزئية ، بحيث يكون أحد المتغيرات العشوائية${\displaystyle A}$قد لا يكون أكبر من أو أصغر من أو يساوي متغيرًا عشوائيًا آخر بشكل عشوائي${\displaystyle B}$توجد العديد من الطلبات المختلفة، ولكل منها تطبيقات مختلفة.

متغير عشوائي حقيقي${\displaystyle A}$أقل من متغير عشوائي${\displaystyle B}$في "الترتيب العشوائي المعتاد" إذا

${\displaystyle \Pr(A>x)\leq \Pr(B>x){\text{ لجميع }}x\in (-\infty ,\infty ),}$

أين${\displaystyle \Pr(\cdot )}$يشير إلى احتمال وقوع حدث ما. ويُشار إليه أحيانًا بـ${\displaystyle A\preceq B}$أو${\displaystyle A\leq _{\mathrm {st} }B}$.

وإذا كان ذلك بالإضافة إلى${\displaystyle \Pr(A>x)<\Pr(B>x)}$بالنسبة للبعض${\displaystyle x}$، ثم${\displaystyle A}$أقل من احتماليًا بشكل صارم من${\displaystyle B}$، ويشار إليه أحيانًا بـ${\displaystyle A\prec B}$في نظرية القرار ، في ظل هذه الظروف، يقال إن B مهيمنة عشوائياً من الدرجة الأولى على A.

علاقات الهيمنة العشوائية هي عائلة من الترتيبات العشوائية المستخدمة في نظرية القرار : ^{[ 1 ]}

• الهيمنة العشوائية من الرتبة الصفرية:${\displaystyle A\prec _{(0)}B}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A\leq B}$لجميع تحققات هذه المتغيرات العشوائية و${\displaystyle A<B}$لتحقيق واحد على الأقل.
• الهيمنة العشوائية من الدرجة الأولى:${\displaystyle A\prec _{(1)}B}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \Pr(A>x)\leq \Pr(B>x)}$للجميع${\displaystyle x}$ويوجد${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle \Pr(A>x)<\Pr(B>x)}$.
• الهيمنة العشوائية من الدرجة الثانية:${\displaystyle A\prec _{(2)}B}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[\Pr(B>t)-\Pr(A>t)]\,dt\geq 0}$للجميع${\displaystyle x}$، مع وجود تفاوت صارم في بعض${\displaystyle x}$.

توجد أيضًا مفاهيم من رتبة أعلى للهيمنة العشوائية. مع التعريفات المذكورة أعلاه، لدينا${\displaystyle A\prec _{(i)}B\implies A\prec _{(i+1)}B}$.

أن${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$متغير عشوائي ذو قيمة${\displaystyle A}$أقل من${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$متغير عشوائي ذو قيمة${\displaystyle B}$في "الترتيب العشوائي المعتاد" إذا

${\displaystyle \operatorname {E} [f(A)]\leq \operatorname {E} [f(B)]{\text{ لجميع الدوال المحدودة والمتزايدة }}f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} }$

توجد أنواع أخرى من الترتيبات العشوائية متعددة المتغيرات. على سبيل المثال، ترتيب الربع العلوي والسفلي، وهما مشابهان للترتيب العشوائي أحادي البعد المعتاد.${\displaystyle A}$يقال إنها أصغر من${\displaystyle B}$بترتيب الجزء العلوي إذا

${\displaystyle \Pr(A>\mathbf {x} )\leq \Pr(B>\mathbf {x} ){\text{ لجميع }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$

و${\displaystyle A}$أصغر من${\displaystyle B}$بترتيب الربع السفلي إذا ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Pr(A\leq \mathbf {x} )\leq \Pr(B\leq \mathbf {x} ){\text{ لجميع }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$

جميع أنواع الترتيب الثلاثة لها تمثيلات تكاملية، أي لترتيب معين${\displaystyle A}$أصغر من${\displaystyle B}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {E} [f(A)]\leq \operatorname {E} [f(B)]}$للجميع${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} }$في فئة من الدوال${\displaystyle {\mathcal {G}}}$[ ^{3 ]​}${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ثم يُطلق عليه اسم مولد الرتبة المعنية.

تُعدّ الترتيبات العشوائية التالية مفيدة في نظرية الاختيار الاجتماعي العشوائي . تُستخدم هذه الترتيبات لمقارنة نتائج دوال الاختيار الاجتماعي العشوائي، وذلك للتحقق من كفاءتها أو غيرها من المعايير المرغوبة. ^{[ 4 ]} ترتيبات الهيمنة أدناه مُرتبة من الأكثر تحفظًا إلى الأقل تحفظًا. وهي مُوضّحة على متغيرات عشوائية ضمن المجال المحدود {30، 20، 10}.

الهيمنة الحتمية ، المشار إليها بـ${\displaystyle A\succeq _{\mathrm {dd} }B}$، مما يعني أن كل نتيجة محتملة لـ${\displaystyle A}$لا يقل جودة عن أي نتيجة محتملة لـ${\displaystyle B}$لكل x  < y ،  ${\displaystyle \Pr[A=x]\cdot \Pr[B=y]=0}$. بعبارة أخرى:${\displaystyle \Pr[A\geq B]=1}$. على سبيل المثال،${\displaystyle 0.6\times 30+0.4\times 20\succeq _{\mathrm {dd} }0.5\times 20+0.5\times 10}$.

الهيمنة الثنائية ، المشار إليها بـ${\displaystyle A\succeq _{\mathrm {bd} }B}$، وهذا يعني أنه بالنسبة لكل نتيجة محتملة، فإن احتمال أن${\displaystyle A}$ينتج عنه الأفضل و${\displaystyle B}$ينتج عن ذلك أن الاحتمال الأسوأ لا يقل عن احتمال حدوث العكس: لكل x<y،${\displaystyle \Pr[A=x]\cdot \Pr[B=y]\leq \Pr[A=y]\cdot \Pr[B=x]}$على سبيل المثال،${\displaystyle 0.5\times 30+0.5\times 20\succeq _{\mathrm {bd} }0.33\times 30+0.33\times 20+0.34\times 10}$.

الهيمنة العشوائية (المذكورة أعلاه)، المشار إليها بـ${\displaystyle A\succeq _{\mathrm {sd} }B}$، وهذا يعني أنه لكل نتيجة محتملة x ، فإن احتمال أن${\displaystyle A}$ينتج عنه على الأقل قيمة x لا تقل عن احتمال أن${\displaystyle B}$ينتج عنه على الأقل x : لكل x،${\displaystyle \Pr[A\geq x]\geq \Pr[B\geq x]}$. على سبيل المثال،${\displaystyle 0.5\times 30+0.5\times 10\succeq _{\mathrm {sd} }0.5\times 20+0.5\times 10}$.

هيمنة المقارنة الزوجية ، المشار إليها بـ${\displaystyle A\succeq _{\mathrm {pc} }B}$، مما يعني أن احتمال ذلك${\displaystyle A}$ويؤدي إلى نتيجة أفضل من${\displaystyle B}$أكبر من العكس:${\displaystyle \Pr[A\geq B]\geq \Pr[B\geq A]}$. على سبيل المثال،${\displaystyle 0.67\times 30+0.33\times 10\succeq _{\mathrm {pc} }1.0\times 20}$.

الهيمنة المعجمية التنازلية، المشار إليها${\displaystyle A\succeq _{\mathrm {dl} }B}$، يعني أن${\displaystyle A}$احتمالية أكبر من${\displaystyle B}$تحقيق أفضل النتائج، أو كليهما${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$لديهم نفس الاحتمالية لتحقيق أفضل نتيجة، ولكن ${\displaystyle A}$احتمالية أكبر من${\displaystyle B}$من حيث إرجاع ثاني أفضل نتيجة، إلخ. يُعرَّف الهيمنة المعجمية التصاعدية بشكل مماثل بناءً على احتمال إرجاع أسوأ النتائج. انظر الهيمنة المعجمية .

• الهيمنة العشوائية
• ستوكاستيك

• م. شاكيد وجي جي شانثيكومار، الأوامر العشوائية وتطبيقاتها ، أسوشيتد برس، 1994.
• إي إل ليمان. العائلات المرتبة للتوزيعات. حوليات الإحصاء الرياضي ، 26: 399-419 ، 1955.