ستوكاستيك

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة

العشوائية ( تُلفظ / stəˈkæstɪk / ؛ من اليونانية القديمة στόχος ( stókhos ) وتعني " الهدف، أو التصويب، أو التخمين " ) [ 1 ] هي خاصية كونها قابلة للوصف بدقة بواسطة توزيع احتمالي عشوائي . [ 1 ] العشوائية واللا عشوائية مفهومان متميزان تقنيًا . تشير العشوائية إلى منهجية النمذجة، بينما تصف اللا عشوائية الظواهر. غالبًا ما يُستخدم هذان المصطلحان بشكل متبادل . في نظرية الاحتمالات ، يُشار أيضًا إلى المفهوم الرسمي للعملية العشوائية باسم العملية العشوائية . [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 

تُستخدم العشوائية في العديد من المجالات المختلفة، بما في ذلك العلوم الاكتوارية ، ومعالجة الصور ، ومعالجة الإشارات ، وعلوم الحاسوب ، ونظرية المعلومات ، والاتصالات ، [ 7 ] والكيمياء ، [ 8 ] وعلم البيئة ، [ 9 ] وعلم الأعصاب ، [ 10 ] والفيزياء ، [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] والتشفير . [ 15 ] [ 16 ] كما تُستخدم في التمويل، والطب، واللغويات، والموسيقى، والإعلام، ونظرية الألوان، وعلم النبات، والتصنيع ، وعلم شكل الأرض. [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]

أصل الكلمة

استُخدمت كلمة "stochastic" في اللغة الإنجليزية في الأصل كصفة بمعنى "متعلق بالتخمين"، وهي مشتقة من كلمة يونانية تعني "التصويب على هدف، التخمين"، ويذكر قاموس أكسفورد الإنجليزي أن أول ظهور لها كان عام 1662. [ 1 ] في كتابه عن الاحتمالات "Ars Conjectandi "، الذي نُشر باللاتينية عام 1713، استخدم جاكوب برنولي عبارة " Ars Conjectandi sive Stochastice "، والتي تُرجمت إلى "فن التخمين أو العشوائية". [ 20 ] وقد استخدم لاديسلاوس بورتكيفيتش هذه العبارة، بالإشارة إلى برنولي، [ 21 ] الذي كتب عام 1917 باللغة الألمانية كلمة "Stochastik" بمعنى "عشوائي". ظهر مصطلح " العملية العشوائية" لأول مرة في اللغة الإنجليزية في ورقة بحثية عام 1934 لجوزيف ل. دوب . [ 1 ] بالنسبة للمصطلح وتعريفه الرياضي المحدد، استشهد دوب بورقة بحثية أخرى من عام 1934، حيث استخدم مصطلح stochastischer Prozeß باللغة الألمانية من قبل ألكسندر خينشين ، [ 22 ] [ 23 ] على الرغم من أن المصطلح الألماني قد استخدم في وقت سابق في عام 1931 من قبل أندريه كولموغوروف . [ 24 ]

الرياضيات

في أوائل ثلاثينيات القرن العشرين، قدّم ألكسندر خينشين أول تعريف رياضي للعملية العشوائية باعتبارها عائلة من المتغيرات العشوائية المفهرسة بخط الأعداد الحقيقية. [ 25 ] [ 22 ] [ أ ] وقد أنجز خينشين، إلى جانب رياضيين آخرين مثل أندريه كولموغوروف ، وجوزيف دوب ، وويليام فيلر ، وموريس فريشيه ، وبول ليفي ، وولفغانغ دوبلين ، وهارالد كرامر ، أعمالًا أساسية أخرى في نظرية الاحتمالات والعمليات العشوائية . [ 27 ] [ 28 ] وبعد عقود، وصف كرامر ثلاثينيات القرن العشرين بأنها "الفترة البطولية لنظرية الاحتمالات الرياضية". [ 28 ]

في الرياضيات، تُعدّ نظرية العمليات العشوائية إسهامًا هامًا في نظرية الاحتمالات ، [ 29 ] ولا تزال موضوعًا بحثيًا نشطًا في كلٍّ من النظرية والتطبيقات. [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]

تُستخدم كلمة "عشوائي" لوصف مصطلحات وأشياء أخرى في الرياضيات. ومن الأمثلة على ذلك المصفوفة العشوائية ، التي تصف عملية عشوائية تُعرف باسم عملية ماركوف ، وحساب التفاضل والتكامل العشوائي، الذي يتضمن المعادلات التفاضلية والتكاملات القائمة على عمليات عشوائية مثل عملية وينر ، والتي تُسمى أيضًا عملية الحركة البراونية.

العلوم الطبيعية

تُعد الحركة البراونية واحدة من أبسط العمليات العشوائية المستمرة في الزمن . وقد لاحظها عالم النبات روبرت براون لأول مرة أثناء فحصه حبوب اللقاح في الماء من خلال المجهر.

الفيزياء

طريقة مونت كارلو هي طريقة احتمالية شاع استخدامها بفضل باحثي الفيزياء ستانيسواف أولام ، وإنريكو فيرمي ، وجون فون نيومان ، ونيكولاس متروبوليس . [ 33 ] يُشابه استخدام العشوائية والطبيعة التكرارية للعملية الأنشطة التي تُجرى في الكازينو. أما طرق المحاكاة والمعاينة الإحصائية، فكانت تفعل عكس ذلك عمومًا: استخدام المحاكاة لاختبار مشكلة حتمية مفهومة مسبقًا. ورغم وجود أمثلة تاريخية على النهج "المعكوس"، إلا أنها لم تُعتبر طريقة عامة إلا بعد انتشار طريقة مونت كارلو.

لعلّ أشهر استخدام مبكر لطريقة مونت كارلو كان على يد إنريكو فيرمي عام 1930، عندما استخدم طريقة عشوائية لحساب خصائص النيوترون المكتشف حديثًا . كانت طرق مونت كارلو أساسية في عمليات المحاكاة اللازمة لمشروع مانهاتن ، على الرغم من محدوديتها الشديدة بسبب أدوات الحوسبة المتاحة آنذاك. لذا، لم تبدأ دراسة طرق مونت كارلو بعمق إلا بعد بناء الحواسيب الإلكترونية (ابتداءً من عام 1945). في خمسينيات القرن العشرين، استُخدمت هذه الطرق في مختبر لوس ألاموس في الأعمال الأولية المتعلقة بتطوير القنبلة الهيدروجينية ، وانتشرت على نطاق واسع في مجالات الفيزياء والكيمياء الفيزيائية وبحوث العمليات . كانت مؤسسة راند والقوات الجوية الأمريكية من أبرز المؤسسات المسؤولة عن تمويل ونشر المعلومات حول طرق مونت كارلو خلال تلك الفترة، وبدأت هذه الطرق تجد تطبيقات واسعة في العديد من المجالات المختلفة.

تتطلب استخدامات طرق مونت كارلو كميات كبيرة من الأرقام العشوائية، وكان استخدامها هو الذي حفز تطوير مولدات الأرقام العشوائية الزائفة ، والتي كانت أسرع بكثير في الاستخدام من جداول الأرقام العشوائية التي كانت تستخدم سابقًا لأخذ العينات الإحصائية.

علم الأحياء

في الأنظمة البيولوجية، وُجد أن تقنية الرنين العشوائي - التي تُدخل "ضوضاء" عشوائية - تُساعد في تحسين قوة الإشارة لحلقات التغذية الراجعة الداخلية الخاصة بالتوازن والتواصل الدهليزي . [ 34 ] وقد ساعدت هذه التقنية مرضى السكري ومرضى السكتة الدماغية في التحكم بالتوازن. [ 35 ]

تُتيح العديد من الأحداث البيوكيميائية إمكانية التحليل العشوائي. فعلى سبيل المثال، يحتوي التعبير الجيني على مكون عشوائي من خلال التصادمات الجزيئية - على سبيل المثال، أثناء ارتباط وانفصال بوليميراز الحمض النووي الريبي بمحفز الجين الذي يساهم في دفعات النسخ والتباين الفائق بواسون في توزيعات الحمض النووي الريبي من خلية إلى أخرى [ 36 ] - عبر الحركة البراونية للحل .

إِبداع

يجادل سيمونتون (2003، نشرة علم النفس ) بأن الإبداع في العلوم (للعلماء) هو سلوك عشوائي مقيد بحيث تكون النظريات الجديدة في جميع العلوم، على الأقل جزئيًا، نتاج عملية عشوائية . [ 37 ]

علوم الحاسوب

تتبع الأشعة العشوائي هو تطبيق لمحاكاة مونت كارلو على خوارزمية تتبع الأشعة في رسومات الحاسوب . يقوم تتبع الأشعة الموزع بأخذ عينات من الدالة التكاملية عند نقاط مختارة عشوائيًا، ثم يحسب متوسط ​​النتائج للحصول على تقريب أفضل. وهو في جوهره تطبيق لطريقة مونت كارلو على رسومات الحاسوب ثلاثية الأبعاد ، ولهذا السبب يُطلق عليه أيضًا اسم تتبع الأشعة العشوائي .

يقوم علم الأدلة الجنائية العشوائي بتحليل جرائم الحاسوب من خلال النظر إلى أجهزة الحاسوب على أنها خطوات عشوائية.

في مجال الذكاء الاصطناعي ، تعمل البرامج العشوائية باستخدام أساليب احتمالية لحل المشكلات، كما هو الحال في التلدين المحاكي ، والشبكات العصبية العشوائية ، والتحسين العشوائي ، والخوارزميات الجينية ، والبرمجة الجينية . وقد تكون المشكلة نفسها عشوائية أيضًا، كما هو الحال في التخطيط في ظل عدم اليقين. وقد وُصفت نماذج اللغة الكبيرة بأنها ببغاوات عشوائية .

تمويل

تستخدم الأسواق المالية نماذج احتمالية لتمثيل السلوك العشوائي الظاهري لمختلف الأصول المالية، بما في ذلك السلوك العشوائي لسعر عملة ما مقارنةً بأخرى (مثل سعر الدولار الأمريكي مقارنةً باليورو)، وكذلك لتمثيل السلوك العشوائي لأسعار الفائدة . ويستخدم المحللون الماليون هذه النماذج لتقييم خيارات أسعار الأسهم والسندات وأسعار الفائدة، انظر نماذج ماركوف . كما أنها تُعدّ ركيزة أساسية في صناعة التأمين .

علم شكل الأرض

تم تحليل تكوين التعرجات النهرية كعملية عشوائية.

اللغة وعلم اللغة

تستلهم المناهج غير الحتمية في الدراسات اللغوية إلى حد كبير من أعمال فرديناند دي سوسير ، على سبيل المثال، في النظرية اللغوية الوظيفية ، التي ترى أن الكفاءة اللغوية مبنية على الأداء . [ 38 ] [ 39 ] ينبغي التمييز بدقة بين هذا التمييز في النظريات الوظيفية للنحو وبين التمييز بين اللغة والكلام . وبقدر ما تتشكل المعرفة اللغوية من خلال الخبرة اللغوية، يُقال إن النحو احتمالي ومتغير وليس ثابتًا ومطلقًا. وينبع هذا التصور للنحو باعتباره احتماليًا ومتغيرًا من فكرة أن كفاءة الفرد تتغير وفقًا لخبرته اللغوية. ورغم أن هذا التصور قد تم الطعن فيه، [ 40 ] فقد وفر أيضًا الأساس لمعالجة اللغة الطبيعية الإحصائية الحديثة [ 41 ] ولنظريات تعلم اللغة وتغيرها. [ 42 ]

تصنيع

تُعتبر عمليات التصنيع عمليات عشوائية . وينطبق هذا الافتراض إلى حد كبير على عمليات التصنيع المستمرة أو الدفعية. يتم تسجيل اختبار العملية ومراقبتها باستخدام مخطط مراقبة العمليات ، الذي يرسم معلمات التحكم في العملية بمرور الوقت. عادةً ما يتم تتبع عشرات المعلمات أو أكثر في وقت واحد. تُستخدم النماذج الإحصائية لتحديد حدود معينة، تُحدد متى يجب اتخاذ إجراءات تصحيحية لإعادة العملية إلى نطاقها التشغيلي المُستهدف.

يُستخدم هذا النهج نفسه في قطاع الخدمات حيث يتم استبدال المعايير بعمليات تتعلق باتفاقيات مستوى الخدمة.

وسائط

يتم تحديد التسويق والحركة المتغيرة لأذواق الجمهور وتفضيلاته، بالإضافة إلى استقطاب وجاذبية بعض الأفلام والبرامج التلفزيونية الأولى (أي عطلات نهاية الأسبوع الافتتاحية، والحديث الشفهي، والمعرفة المسبقة بين المجموعات التي تم استطلاعها، والتعرف على اسم النجم وعناصر أخرى من التواصل عبر وسائل التواصل الاجتماعي والإعلان)، جزئيًا عن طريق النمذجة العشوائية.

الدواء

التأثير العشوائي، أو "تأثير الصدفة"، هو أحد تصنيفات التأثيرات الإشعاعية التي تشير إلى الطبيعة العشوائية والإحصائية للضرر. وعلى عكس التأثير الحتمي، فإن شدة هذا التأثير لا تعتمد على الجرعة، بل تزداد احتمالية حدوثه فقط مع زيادة الجرعة.

موسيقى

في الموسيقى ، يمكن للعمليات الرياضية القائمة على الاحتمالات أن تولد عناصر عشوائية.

يمكن استخدام العمليات العشوائية في الموسيقى لتأليف مقطوعة موسيقية ثابتة أو لإنتاجها أثناء الأداء. وقد كان يانيس زينكيس رائدًا في مجال الموسيقى العشوائية ، وهو من صاغ مصطلح " الموسيقى العشوائية" . ومن الأمثلة المحددة لتطبيق الرياضيات والإحصاء والفيزياء في التأليف الموسيقي: استخدام الميكانيكا الإحصائية للغازات في "بيثوبراكتا" ، والتوزيع الإحصائي للنقاط على مستوى في "ديامورفوسيس "، والقيود الدنيا في "أكورريبسيس" ، والتوزيع الطبيعي في "إس تي/10" و "أتريس" ، وسلاسل ماركوف في "أنالوجيك" ، ونظرية الألعاب في "ديول" و "ستراتيجي" ، ونظرية الزمر في "نوموس ألفا" (لأعمال سيغفريد بالم )، ونظرية المجموعات في "هيرما" و "إيونتا " ، [ 43 ] والحركة البراونية في "نشيما" . وقد استخدم زينكيس الحواسيب بكثرة لإنتاج نوتاته الموسيقية، مثل سلسلة "إس تي" التي تضم "مورسيما-أمورسيما" و " أتريس" ، كما أسس مركز "سيمامو" . في السابق، قام جون كيج وآخرون بتأليف موسيقى عشوائية أو غير محددة ، تُخلق بفعل الصدفة دون أن تستند إلى أساس رياضي دقيق ( على سبيل المثال، تستخدم موسيقى كيج "موسيقى التغييرات " نظامًا من المخططات مستوحى من كتاب التغييرات ). استخدم ليجارين هيلر وليونارد إيزاكسون قواعد توليدية وسلاسل ماركوف في مقطوعتهما "مجموعة إلياك" عام ١٩٥٧. تُسهّل تقنيات إنتاج الموسيقى الإلكترونية الحديثة تطبيق هذه العمليات، وتتضمن العديد من الأجهزة، مثل أجهزة المزج وآلات الطبول، ميزات عشوائية. لذا، فإن تقنيات الموسيقى التوليدية متاحة بسهولة للملحنين والمؤدين والمنتجين.

العلوم الاجتماعية

تتشابه نظرية العلوم الاجتماعية العشوائية مع نظرية النظم في كون الأحداث تفاعلات بين أنظمة، مع تركيز ملحوظ على العمليات اللاواعية. يخلق الحدث شروطه الخاصة للإمكانية، مما يجعله غير قابل للتنبؤ، ولو ببساطة بسبب كثرة المتغيرات المتضمنة. يمكن اعتبار نظرية العلوم الاجتماعية العشوائية بمثابة تطوير لنوع من "المحور الثالث" الذي يُوضع فيه السلوك البشري إلى جانب ثنائية " الطبيعة مقابل التنشئة " التقليدية. للاطلاع على أمثلة لنظرية العلوم الاجتماعية العشوائية، انظر إلى جوليا كريستيفا حول استخدامها لـ"السيميائية"، ولوس إيريجاراي حول نظرية المعرفة الهايدغرية المعكوسة ، وبيير بورديو حول الفضاء متعدد الأبعاد.

إعادة إنتاج الألوان بتقنية الطرح

عند طباعة الصور الملونة، تُفصل الصورة إلى ألوانها الأساسية من خلال التقاط صور متعددة مُفلترة لكل لون. يُمثل كل فيلم أو لوحة ناتجة بيانات من السماوي والأرجواني والأصفر والأسود. الطباعة الملونة نظام ثنائي، حيث يكون الحبر إما موجودًا أو غير موجود، لذا يجب تحويل جميع فواصل الألوان المراد طباعتها إلى نقاط في مرحلة ما من مراحل العمل. واجهت شاشات الخطوط التقليدية ذات التعديل السعوي مشاكل التموج ، ولكنها استُخدمت حتى توفرت الشاشات العشوائية . يُنتج نمط النقاط العشوائي (أو المُعدَّل الترددي ) صورة أكثر وضوحًا.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يستخدم دوب، عند الاستشهاد بخينشين، مصطلح "المتغير الاحتمالي"، والذي كان في السابق مصطلحًا بديلاً لـ "المتغير العشوائي". [ 26 ]

مراجع

  1. 1 2 3 4 "احتمالي" . قاموس ليكسيكو الإنجليزي البريطاني . مطبعة جامعة أكسفورد . مؤرشف من الأصل في 2 يناير 2020.
  2. ↑ روبرت ج. أدلر؛ جوناثان إي. تايلور (29 يناير 2009). الحقول العشوائية والهندسة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 7-8 . ISBN  978-0-387-48116-6.
  3. ↑ ديفيد ستيرزاكر (2005). العمليات والنماذج العشوائية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 45. ISBN  978-0-19-856814-8.
  4. ↑ لويك شومون؛ مارك يور (19 يوليو 2012). تمارين في الاحتمالات: جولة إرشادية من نظرية القياس إلى العمليات العشوائية، عبر التكييف . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 175. ISBN  978-1-107-60655-5.
  5. ↑ موراي روزنبلات (1962). العمليات العشوائية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 91. ISBN  9780758172174.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  6. ↑ أولاف كالينبيرغ (8 يناير 2002). أسس الاحتمالات الحديثة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 24 و25. ISBN  978-0-387-95313-7.
  7. ↑ بول سي. بريسلوف (22 أغسطس 2014). العمليات العشوائية في بيولوجيا الخلية . سبرينغر. ISBN 978-3-319-08488-6.
  8. ↑ إن جي فان كامبن (30 أغسطس 2011). العمليات العشوائية في الفيزياء والكيمياء . إلسيفير. ISBN 978-0-08-047536-3.
  9. ^ راسل لاند. ستينار إنجن؛ بيرنت إريك ساثر (2003). الديناميات السكانية العشوائية في علم البيئة والحفظ . مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-852525-7.
  10. ↑ كارلو لاينغ؛ غابرييل ج. لورد (2010). الأساليب العشوائية في علم الأعصاب . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-923507-0.
  11. ↑ فولفغانغ بول؛ يورغ باشناغل (11 يوليو 2013). العمليات العشوائية: من الفيزياء إلى التمويل . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-319-00327-6.
  12. ↑ إدوارد ر. دوهرتي (1999). العمليات العشوائية لمعالجة الصور والإشارات . مطبعة SPIE للهندسة البصرية. ISBN 978-0-8194-2513-3.
  13. ↑ توماس م. كوفر؛ جوي أ. توماس (28 نوفمبر 2012). عناصر نظرية المعلومات . جون وايلي وأولاده. ص 71. ISBN  978-1-118-58577-1.
  14. ↑ مايكل بارون (15 سبتمبر 2015). الاحتمالات والإحصاء لعلماء الحاسوب، الطبعة الثانية . دار نشر سي آر سي. ص 131. ISBN  978-1-4987-6060-7.
  15. ↑ جوناثان كاتز؛ يهودا ليندل (31 أغسطس/آب 2007). مقدمة في التشفير الحديث: المبادئ والبروتوكولات . مطبعة سي آر سي. ص 26. ISBN  978-1-58488-586-3.
  16. ↑ فرانسوا باتشيلي؛ بارتلومي بلاشتشيزين (2009). الهندسة العشوائية والشبكات اللاسلكية . دار نشر ناو. الصفحات 200 وما بعدها. ISBN  978-1-60198-264-3.
  17. ↑ ج. مايكل ستيل (2001). حساب التفاضل والتكامل العشوائي وتطبيقاته المالية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-95016-7.
  18. ^ ماريك موسيلا. ماريك روتكوفسكي (21 يناير 2006). طرق مارتينجال في النمذجة المالية . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-3-540-26653-2.
  19. ↑ ستيفن إي. شريف (3 يونيو 2004). حساب التفاضل والتكامل العشوائي للتمويل II: نماذج الزمن المستمر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-40101-0.
  20. ↑ أو بي شينين (2006). نظرية الاحتمالات والإحصاء كما تم توضيحها في عبارات قصيرة . دار نشر إن جي. ص 5. ISBN  978-3-938417-40-9.
  21. ↑ أوسكار شينين؛ هاينريش ستريكر (2011). ألكسندر أ. تشوبروف: حياته، عمله، مراسلاته . دار نشر V&R unipress GmbH. ص 136. ISBN  978-3-89971-812-6.
  22. 1 2 دوب، جوزيف (1934). "العمليات العشوائية والإحصاء" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 20 (6): 376-379 . Bibcode : 1934PNAS...20..376D . doi : 10.1073 /pnas.20.6.376 . PMC 1076423. PMID 16587907 .  
  23. ^ خينتشين، أ. (1934). "Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse". الرياضيات أنالن . 109 (1): 604-615 . دوى : 10.1007 / BF01449156 . ISSN 0025-5831 . S2CID 122842868 .  
  24. ^ كولموجوروف، أ. (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung". الرياضيات أنالن . 104 (1): 1. بيب كود : 1931MatAn.104..415K . دوى : 10.1007/BF01457949 . ISSN 0025-5831 . S2CID 119439925 .  
  25. ^ فير جونز، ديفيد (2006). "خينشين، ألكسندر ياكوفليفيتش". موسوعة العلوم الإحصائية . ص. 4. دوي : 10.1002/0471667196.ess6027.pub2 . رقم ISBN  0471667196.
  26. ↑ سنيل، ج. لوري (2005). "نعي: جوزيف ليونارد دوب" . مجلة الاحتمالات التطبيقية . 42 (1): 251. doi : 10.1239/jap/1110381384 . ISSN 0021-9002 . 
  27. ↑ بينغهام، ن. (2000). "دراسات في تاريخ الاحتمالات والإحصاء، الجزء السادس والأربعون: القياس في الاحتمال: من ليبيغ إلى كولموغوروف". بيومتريكا . 87 (1): 145-156 . doi : 10.1093/biomet/87.1.145 . ISSN 0006-3444 . 
  28. 1 2 كريمر، هارالد (1976). "نصف قرن مع نظرية الاحتمالات: بعض الذكريات الشخصية" . حوليات الاحتمالات . 4 (4): 509-546 . doi : 10.1214/aop/1176996025 . ISSN 0091-1798 . 
  29. ↑ أبلباوم، ديفيد (2004). "عمليات ليفي: من الاحتمالات إلى التمويل والمجموعات الكمومية". إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 51 (11): 1336-1347 .
  30. ↑ يوشين بلاث؛ بيتر إمكيلر؛ سيلفي رويلي (2011). دراسات استقصائية في العمليات العشوائية . الجمعية الرياضية الأوروبية. ص 5–. ISBN  978-3-03719-072-2.
  31. ↑ ميشيل تالاغراند (12 فبراير 2014). الحدود العليا والسفلى للعمليات العشوائية: الأساليب الحديثة والمسائل الكلاسيكية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 4 وما بعدها. ISBN  978-3-642-54075-2.
  32. ↑ بول سي. بريسلوف (22 أغسطس 2014). العمليات العشوائية في بيولوجيا الخلية . سبرينغر. الصفحات من 7 إلى 9. ISBN  978-3-319-08488-6.
  33. ↑ دوغلاس هوبارد، "كيفية قياس أي شيء: إيجاد قيمة الأصول غير الملموسة في الأعمال التجارية"، ص 46، جون وايلي وأولاده، 2007
  34. ↑ هانغي، ب. (2002). "الرنين العشوائي في علم الأحياء: كيف يمكن للضوضاء أن تعزز اكتشاف الإشارات الضعيفة وتساعد في تحسين معالجة المعلومات البيولوجية" . ChemPhysChem . 3 (3): 285-290 . doi : 10.1002/1439-7641(20020315)3:3 < 285::AID-CPHC285 > 3.0.CO ; 2-A . PMID 12503175 . 
  35. ↑ بريبلاتا، أ.؛ وآخرون (2006). "التحكم في التوازن المُعزز بالضوضاء لدى مرضى السكري ومرضى السكتة الدماغية" (ملف PDF) . حوليات علم الأعصاب . 59 (1): 4-12 . doi : 10.1002 / ana.20670 . PMID 16287079. S2CID 3140340 .   
  36. ↑ دار، روي د.؛ رازوقي، براندون س.؛ سينغ، أبهايوداي؛ تريميلوني، توماس ف.؛ ماكولوم، جيمس م.؛ كوكس، كريس د.؛ سيمبسون، مايكل ل.؛ واينبرغر، ليور س. (23-10-2012). "يتم تعديل تردد الانفجارات النسخية وحجم الانفجار بالتساوي عبر الجينوم البشري" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 109 (43): 17454-17459 . Bibcode : 2012PNAS..10917454D . doi : 10.1073/pnas.1213530109 . PMC 3491463. PMID 23064634 .  
  37. ↑ سيمونتون، دين كيث (يوليو 2003). "الإبداع العلمي كسلوك عشوائي مقيد: تكامل منظورات المنتج والشخص والعملية" . النشرة النفسية . 129 (4): 475-494 . doi : 10.1037/0033-2909.129.4.475 . PMID 12848217. تاريخ الاسترجاع: 31 مارس 2024 . 
  38. ↑ نيومير، فريدريك. 2001. "مدرسة براغ والمناهج الوظيفية لأمريكا الشمالية في علم النحو" مجلة اللغويات 37، ص 101-126. بما أن معظم الوظيفيين الأمريكيين يتبنون هذا التوجه، فسأشير إليه وإلى ممارسيه بالاختصار "USF". ومن أبرزهم جوان بايبي ، وويليام كروفت ، وتالمي جيفون ، وجون هايمان ، وبول هوبر ، وماريان ميثون ،وساندرا طومسون . في أقصى صوره (هوبر 1987، 1988)، يرفض هذا التوجه الثنائيات السوسيرية مثل اللغة مقابل الكلام. للاطلاع على المناهج التأويلية المبكرة التي تركز عليها، انظر تشومسكي (1971) وجاكندوف (1972). ويرى جميع أنصار هذا التوجه أن دعوة تشومسكي إلى التمييز الحاد بين الكفاءة والأداء هي في أحسن الأحوال غير مثمرة ومبهمة، وفي أسوأ الأحوال تفتقر إلى الأسس النظرية.
  39. ↑ بايبي، جوان. "علم الأصوات القائم على الاستخدام". ص 213 في دارنيل، مايك (محرر). 1999. الوظيفية والشكلية في اللغويات: أوراق عامة. دار نشر جون بنجامينز.
  40. ↑ تشومسكي (1959). مراجعة لكتاب سكينر "السلوك اللفظي"، اللغة، 35: 26-58
  41. ↑ مانينغ وشوتز، (1999) أسس المعالجة الإحصائية للغة الطبيعية ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، كامبريدج، ماساتشوستس
  42. ↑ بايبي (2007) تكرار الاستخدام وتنظيم اللغة. أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد
  43. ↑ إلياس كريسوكويديس، ستافروس هولياراس، وكريستوس ميتساكيس، "نظرية المجموعة في EONTA لزيناكيس " ، في الندوة الدولية يانيس زيناكيس ، أد. أناستاسيا جورجاكي وماكيس سولوموس (أثينا: الجامعة الوطنية وجامعة كابوديستريا، 2005)، 241-249.

للمزيد من القراءة