عملية القفز

عملية القفز مصطلح عام يصف عملية عشوائية ذات حركات منفصلة تُسمى قفزات . قد تحدث هذه القفزات في أوقات ثابتة (مثل نموذج ذي الحدين )، أو في أوقات يمكن التنبؤ بها (مثل حدوث القفزة عندما تصل حركة براونية أحادية البعد، على سبيل المثال، إلى القيمة 1)، أو في أوقات توقف غير قابلة للتنبؤ (مثل قفزات عملية بواسون ). قد يكون للقفزات نشاط محدود (عدد محدود من القفزات فقط في أي فترة زمنية محدودة)، أو تباين محدود (مجموع القيم المطلقة لجميع القفزات محدود في كل فترة زمنية محدودة)، أو تباين غير محدود.

في معظم التطبيقات، يتم نمذجة مسارات العملية العشوائية على أنها متصلة من اليمين ولها حدود من اليسار، وتكون القفزة حينها هي الفرق بين القيمة الحالية والحد الأيسر؛ رياضياً${\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}}$، أين${\displaystyle X_{t-}=\lim _{s\uparrow t}X_{s}}$هناك أيضًا ظروف يكون من المناسب فيها السماح بالقفزة المزدوجة في بعض الأحيان${\displaystyle t}$، واحد قبل${\displaystyle t}$وواحد بعد ذلك مباشرة${\displaystyle t}$^{[ 1 ]} في مثل هذه الحالة ،${\displaystyle X}$لم تعد متصلة من اليمين، ولكن يُفترض أن لها نهاية من اليمين.${\displaystyle X_{t+}=\lim _{s\downarrow t}X_{s}}$والقفزة الثانية تُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle \Delta ^{+}X_{t}=X_{t+}-X_{t}}$.

من الممكن عادةً تحليل عملية ذات قفزات إلى جزء متصل وجزء "قفزات خالصة"، لكن هذا التحليل غالبًا ما يكون غير فريد . ويبرز عدم التفرد بشكل خاص في عمليات ليفي ذات القفزات ذات التباين اللانهائي. ورغم هذا، يُستخدم مصطلح " عملية ليفي ذات القفزات الخالصة " بشكل شائع للدلالة على مجموعة فرعية من عمليات ليفي التي يكون تباينها التربيعي المتصل صفرًا (أي عمليات ليفي التي لا تحتوي على مكون حركة براونية). ويمكن أيضًا الحديث عن عمليات القفزات الخالصة بالمعنى الأدق، أي أنها تساوي مجموع قفزاتها. وهذا ممكن بالتأكيد إذا كانت القفزات ذات تباين محدود، بل وأحيانًا يتجاوز ذلك. على سبيل المثال، من المعروف أن قفزات شبه مارتينجال في أوقات يمكن التنبؤ بها قابلة للجمع في طوبولوجيا شبه مارتينجال، التي تُعرّف بشكل فريد مكونًا زمنيًا منفصلاً لكل شبه مارتينجال على أنه مجموع قفزاته في أوقات يمكن التنبؤ بها. ^{[ 2 ]}

• في مجال التمويل ، قدّم بول سامويلسون الحركة البراونية الهندسية (GBM) وعملية ليفي الهندسية ذات القفزات البحتة كنموذجين بديلين للزمن المستمر لتسعير الأسهم في ورقته البحثية الرائدة "النظرية العقلانية لتسعير الضمانات". ^{[ 3 ]} يُعرف نموذج الحركة البراونية الهندسية لسامويلسون الآن باسم نموذج بلاك-شولز لتسعير الخيارات. للاطلاع على أمثلة مبكرة لتسعير الخيارات مع القفزات، انظر ^{[ 4 ] [ 5 ]} .

• عملية بواسون ، مثال على عملية القفز
• سلسلة ماركوف ذات الزمن المستمر (CTMC)، مثال على عملية القفز وتعميم لعملية بواسون
• عملية العد ، مثال على عملية القفز وتعميم لعملية بواسون في اتجاه مختلف عن اتجاه سلاسل ماركوف الزمنية المستمرة.
• نظام الجسيمات المتفاعلة ، مثال على عملية القفز
• معادلات كولموغوروف (سلاسل ماركوف ذات الزمن المستمر)