نظام الجسيمات المتفاعلة

في نظرية الاحتمالات ، يُعتبر نظام الجسيمات المتفاعلة ( IPS ) عملية عشوائية${\displaystyle (X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$في مساحة التكوين${\displaystyle \Omega =S^{G}}$يُعطى بواسطة مساحة موقع، رسم بياني ذو رتبة قابلة للعد اللانهائية${\displaystyle G}$وفضاء حالة محلي، وفضاء متري مضغوط${\displaystyle S}$وبشكل أدق، فإن عمليات القفز الماركوفية ذات الزمن المستمر هي عمليات ماركوفية تصف السلوك الجماعي للمكونات المتفاعلة عشوائياً. وتُعد عمليات القفز الماركوفية ذات الزمن المستمر نظيراً للأتمتة الخلوية العشوائية .

ومن بين الأمثلة الرئيسية نموذج الناخب ، وعملية الاتصال ، وعملية الاستبعاد البسيطة غير المتماثلة (ASEP)، وديناميكيات جلاوبر ، وعلى وجه الخصوص نموذج إيزينج العشوائي .

تُعرَّف عمليات IPS عادةً من خلال مولد ماركوف الخاص بها، مما يُنتج عملية ماركوف فريدة باستخدام أنصاف مجموعات ماركوف ونظرية هيل-يوسيدا . ويُحدد المولد مرة أخرى من خلال ما يُسمى بمعدلات الانتقال.${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,\xi )>0}$أين${\displaystyle \Lambda \subset G}$هي مجموعة محدودة من المواقع و${\displaystyle \eta ,\xi \in \Omega }$مع${\displaystyle \eta _{i}=\xi _{i}}$للجميع${\displaystyle i\notin \Lambda }$تصف هذه المعدلات أوقات الانتظار الأسية للعملية للانتقال من التكوين${\displaystyle \eta }$في التكوين${\displaystyle \xi }$وبشكل عام، تُعطى معدلات الانتقال في شكل مقياس محدود.${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )}$على${\displaystyle S^{\Lambda }}$.

المولد${\displaystyle L}$يتخذ نظام إدارة المعلومات (IPS) الشكل التالي. أولاً، مجال${\displaystyle L}$هي مجموعة جزئية من فضاء " المتغيرات القابلة للملاحظة"، أي مجموعة الدوال الحقيقية المتصلة على فضاء التكوين${\displaystyle \Omega }$ثم لأي شيء قابل للملاحظة${\displaystyle f}$في مجال${\displaystyle L}$، لدى المرء

${\displaystyle Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi$ :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]} .

على سبيل المثال، بالنسبة لنموذج إيزينغ العشوائي لدينا${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{d}}$،${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$،${\displaystyle c_{\Lambda }=0}$لو${\displaystyle \Lambda \neq \{i\}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle i\in G}$و

${\displaystyle c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|j-i|=1}\eta _{i}\eta _{j}]}$

أين${\displaystyle \eta ^{i}}$هل التكوين يساوي${\displaystyle \eta }$إلا أنه يتم قلبه في الموقع${\displaystyle i}$.${\displaystyle \beta }$هو مُعامل جديد يُستخدم لنمذجة درجة الحرارة العكسية.

يُعد نموذج الناخب (عادةً في زمن مستمر، ولكن توجد أيضًا إصدارات منفصلة) عملية مشابهة لعملية الاتصال . في هذه العملية${\displaystyle \eta (x)}$يُعتبر هذا بمثابة تمثيل لموقف الناخب تجاه موضوع معين. يُعيد الناخبون النظر في آرائهم في أوقات موزعة وفقًا لمتغيرات عشوائية أسية مستقلة (وهذا يُعطي عملية بواسون محليًا - لاحظ أن عدد الناخبين غير محدود عمومًا، لذا لا يمكن استخدام عملية بواسون شاملة). عند إعادة النظر، يختار الناخب جارًا واحدًا عشوائيًا من بين جميع الجيران ويأخذ برأيه. يمكن تعميم العملية بالسماح باختيار الجيران بطريقة أخرى غير التوزيع العشوائي.

• كليفورد، بيتر؛ إيدان سادبري (1973). "نموذج للصراع المكاني". بيومتريكا . 60 (3): 581-588 . doi : 10.1093/biomet/60.3.581 .
• دوريت، ريتشارد ؛ جيفري إي. ستيف (1993). "نتائج التثبيت لأنظمة التصويت ذات العتبة" . حوليات الاحتمالات . 21 (1): 232-247 . doi : 10.1214/aop/1176989403 .
• هولي، ريتشارد أ.؛ توماس م. ليجيت (1975). "نظريات إرجودية للأنظمة اللانهائية ذات التفاعل الضعيف ونموذج الناخب" . حوليات الاحتمالات . 3 (4): 643-663 . doi : 10.1214/aop/1176996306 .
• ستيف، جيفري إي. (1994). "آلة التصويت العتبية عند نقطة حرجة" . حوليات الاحتمالات . 22 (3): 1121-1139 . doi : 10.1214/aop/1176988597 .
• ليجيت، توماس م. (1997). "النماذج العشوائية للأنظمة المتفاعلة" . حوليات الاحتمالات . 25 (1). معهد الإحصاء الرياضي: 1-29 . doi : 10.1214/aop/1024404276 . ISSN 0091-1798 . 
• ليجيت، توماس م. (1985). أنظمة الجسيمات المتفاعلة . نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. ISBN 0-387-96069-4.