نموذج إيزينغ

الإشارة السالبة على كل حد من حدود دالة هاميلتون${\displaystyle H(\sigma )}$هذا اصطلاح تقليدي. باستخدام هذا الاصطلاح، يمكن تصنيف نماذج إيزينغ وفقًا لإشارة التفاعل: إذا كان، بالنسبة للزوج i ، j 

يُطلق على النظام اسم النظام المغناطيسي الحديدي أو النظام المغناطيسي المضاد للحديد إذا كانت جميع التفاعلات مغناطيسية حديدية أو جميعها مضادة للحديد. كانت نماذج إيزينغ الأصلية مغناطيسية حديدية، ولا يزال يُفترض غالبًا أن "نموذج إيزينغ" يعني نموذج إيزينغ مغناطيسي حديدي.

في نموذج إيزينغ المغناطيسي الحديدي، تميل اللفات المغزلية إلى الاصطفاف: وتكون احتمالية التكوينات التي تكون فيها اللفات المغزلية المتجاورة من نفس الإشارة أعلى. أما في النموذج المغناطيسي المضاد للحديد، فتميل اللفات المغزلية المتجاورة إلى أن تكون لها إشارات متعاكسة.

يوضح اصطلاح الإشارة لـ H (σ) أيضًا كيفية تفاعل موقع الدوران j مع المجال الخارجي. أي أن موقع الدوران يسعى إلى التوافق مع المجال الخارجي. إذا:

غالبًا ما تُدرس نماذج إيزينغ دون وجود مجال خارجي يتفاعل مع الشبكة، أي أن h  =  0 لجميع قيم j في الشبكة Λ. باستخدام هذا التبسيط، يصبح الهاميلتوني كما يلي:

$${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle i~j\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

عندما يكون المجال الخارجي صفراً في كل مكان، h  =  0، يكون نموذج Ising متناظراً تحت تبديل قيمة الدوران في جميع مواقع الشبكة؛ المجال غير الصفري يكسر هذا التناظر.

من التبسيطات الشائعة الأخرى افتراض أن جميع الجيران الأقرب ⟨ij⟩ لهم نفس قوة التفاعل. عندئذٍ، يمكننا وضع Jij = J لجميع الأزواج i و j في Λ. في هذه الحالة _، يتم تبسيط الهاميلتوني بشكل أكبر إلى 

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

تُحدد مجموعة جزئية S من مجموعة رؤوس V(G) لرسم بياني غير موجه وموزون G قطعًا للرسم البياني G إلى S ومجموعتها الجزئية المكملة G\S. حجم القطع هو مجموع أوزان الحواف بين S و G\S. الحد الأقصى لحجم القطع هو على الأقل حجم أي قطع آخر، مع تغيير S.

بالنسبة لنموذج إيزينغ بدون مجال خارجي على الرسم البياني G، يصبح الهاميلتوني هو المجموع التالي على حواف الرسم البياني E(G).

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$.

هنا، كل رأس i من الرسم البياني هو موقع دوران يأخذ قيمة دوران${\displaystyle \sigma _{i}=\pm 1}$تكوين دوران معين${\displaystyle \sigma }$يقسم مجموعة الرؤوس${\displaystyle V(G)}$إلى اثنين${\displaystyle \sigma }$المجموعات الفرعية المعتمدة، تلك التي تبدأ بالدوران${\displaystyle V^{+}}$وتلك التي تخضع لعملية التخفيض التدريجي${\displaystyle V^{-}}$نرمز بـ${\displaystyle \delta (V^{+})}$ال${\displaystyle \sigma }$مجموعة من الحواف التي تربط مجموعتي الرؤوس المتكاملتين، وتعتمد على نوع الحافة.${\displaystyle V^{+}}$و${\displaystyle V^{-}}$الحجم​${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$من القطع${\displaystyle \delta (V^{+})}$يمكن تعريف تقسيم الرسم البياني غير الموجه الموزون G إلى جزأين على النحو التالي:

$${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|={\frac {1}{2}}\sum _{ij\in \delta (V^{+})}W_{ij},}$$

أين${\displaystyle W_{ij}}$يشير إلى وزن الحافة${\displaystyle ij}$وتم إدخال عامل القياس 1/2 للتعويض عن احتساب نفس الأوزان مرتين.${\displaystyle W_{ij}=W_{ji}}$.

الهويات

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(\sigma )&=-\sum _{ij\in E(V^{+})}J_{ij}-\sum _{ij\in E(V^{-})}J_{ij}+\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}\\&=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}+2\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij},\end{aligned}}}$$

حيث لا يعتمد المجموع الكلي في الحد الأول على${\displaystyle \sigma }$، مما يعني أن التقليل${\displaystyle H(\sigma )}$في${\displaystyle \sigma }$يعادل تقليل${\displaystyle \sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}}$تحديد وزن الحافة${\displaystyle W_{ij}=-J_{ij}}$وبذلك تتحول مسألة إيزينغ بدون مجال خارجي إلى مسألة قطع قصوى للرسم البياني ^{[ 5 ]} التي تعمل على تعظيم حجم القطع${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$والتي ترتبط بهاملتونيان إيزينغ على النحو التالي،

$${\displaystyle H(\sigma )=\sum _{ij\in E(G)}W_{ij}-4\left|\delta (V^{+})\right|.}$$

يوجد عدد كبير من الأسئلة الإحصائية التي يجب طرحها حول هذا النموذج في حالة وجود عدد كبير من الدورات:

• في التكوين النموذجي، هل تكون معظم اللفات +1 أو -1، أم أنها منقسمة بالتساوي؟
• إذا كانت قيمة الدوران عند أي موضع معين i تساوي 1، فما هو احتمال أن تكون قيمة الدوران عند الموضع j تساوي 1 أيضًا؟
• إذا تغيرت قيمة β ، فهل يحدث تحول طوري؟
• على شبكة Λ، ما هو البعد الكسري لشكل مجموعة كبيرة من اللفات +1؟

في أطروحته للدكتوراه عام 1924، حلّ إيزينغ النموذج لحالة البعد d  =  1، والتي يمكن اعتبارها شبكة أفقية خطية حيث يتفاعل كل موقع فقط مع جاريه الأيمن والأيسر. في بُعد واحد، لا يسمح الحل بأي انتقال طوري . ^{[ 6 ]} أي، لأي قيمة موجبة لـ β، تتلاشى الارتباطات ⟨σ _i σ _j ⟩ أُسّيًا في | i  − j |:  $${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp \left(-c(\beta )|i-j|\right),}$$

والنظام غير منظم. وبناءً على هذه النتيجة، استنتج خطأً أن هذا النموذج لا يُظهر سلوكًا طوريًا في أي بُعد.

يخضع نموذج إيزينغ لانتقال طوري بين طور منظم وطور غير منظم في بعدين أو أكثر. أي أن النظام يكون غير منظم عند قيم β الصغيرة، بينما عند قيم β الكبيرة يُظهر النظام ترتيبًا مغناطيسيًا حديديًا.

$${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c(\beta )>0.}$$

وقد تم إثبات ذلك لأول مرة بواسطة رودولف بيرلز في عام 1936، ^{[ 7 ]} باستخدام ما يسمى الآن بحجة بيرلز .

قام لارس أونساغر ( 1944 ) بحل نموذج إيزينغ على شبكة مربعة ثنائية الأبعاد بدون مجال مغناطيسي تحليليًا . وقد حصل أونساغر على دوال الارتباط والطاقة الحرة لنموذج إيزينغ، وأعلن عن صيغة التمغنط التلقائي للنموذج ثنائي الأبعاد في عام 1949، لكنه لم يقدم اشتقاقًا لها. وقدّم يانغ (1952) أول برهان منشور لهذه الصيغة، باستخدام صيغة حدية لمحددات فريدهولم ، والتي أثبتها سيغو في عام 1951 ردًا مباشرًا على عمل أونساغر. ^{[ 8 ]} 

تم اشتقاق عدد من متباينات الارتباط بشكل دقيق لارتباطات دوران إيزينغ (للهياكل الشبكية العامة)، مما مكن علماء الرياضيات من دراسة نموذج إيزينغ سواء في حالة الحرج أو خارجها.

في أوائل القرن العشرين، اعتقد البعض أن دالة التوزيع لا يمكنها أبدًا وصف الانتقال الطوري، استنادًا إلى الحجة التالية:

1. دالة التقسيم هي مجموع e ^{−β E} على جميع التكوينات.
2. الدالة الأسية تحليلية في كل مكان كدالة لـ β.
3. مجموع الدوال التحليلية هو دالة تحليلية.

تصلح هذه الحجة لمجموع محدود من الدوال الأسية، وتثبت بشكل صحيح عدم وجود نقاط شاذة في الطاقة الحرة لنظام ذي حجم محدود. أما بالنسبة للأنظمة التي تقع في الحد الديناميكي الحراري (أي الأنظمة اللانهائية)، فقد يؤدي المجموع اللانهائي إلى ظهور نقاط شاذة. يكون التقارب نحو الحد الديناميكي الحراري سريعًا، بحيث يظهر سلوك الطور بوضوح حتى على شبكة صغيرة نسبيًا، على الرغم من أن الحجم المحدود للنظام يُخفف من حدة النقاط الشاذة.

وقد تم إثبات ذلك لأول مرة بواسطة رودولف بيرلز في نموذج إيزينغ.

بعد فترة وجيزة من قيام لينز وإيزينغ ببناء نموذج إيزينغ، تمكن بيرلز من إظهار أن الانتقال الطوري يحدث في بعدين بشكل صريح.

لتحقيق ذلك، قارن بين حدود درجات الحرارة العالية والمنخفضة. عند درجة حرارة لانهائية (β  = 0)، تتساوى احتمالية جميع التكوينات. كل دورة مستقلة تمامًا عن الأخرى، وإذا رُسمت التكوينات النموذجية عند درجة حرارة لانهائية بحيث يُمثل اللونان الأسود والأبيض علامتي الجمع والطرح، فإنها تبدو كتشويش شاشة التلفاز . أما عند درجات حرارة عالية، ولكن ليست لانهائية، فتوجد ارتباطات طفيفة بين المواضع المتجاورة، ويميل التشويش إلى التكتل قليلًا، لكن الشاشة تبقى عشوائية المظهر، ولا يوجد فائض صافٍ من اللون الأسود أو الأبيض.

المقياس الكمي للفائض هو المغنطة ، وهي القيمة المتوسطة للدوران:

$${\displaystyle M={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}.}$$

إن الحجة الزائفة المشابهة للحجة الواردة في القسم الأخير تثبت الآن أن متوسط ​​التمغنط في نموذج إيزينغ يساوي صفرًا دائمًا.

1. كل تكوين من الدوران له طاقة مساوية للتكوين الذي تم فيه قلب جميع الدورانات.
2. لذلك لكل تكوين ذي مغنطة M يوجد تكوين ذو مغنطة − M باحتمالية متساوية.
3. لذلك ينبغي أن يقضي النظام فترات زمنية متساوية في التكوين مع المغنطة M كما هو الحال مع المغنطة - M.
4. لذا فإن متوسط ​​المغنطة (على مدار الزمن) يساوي صفرًا.

كما في السابق، يثبت هذا فقط أن متوسط ​​المغنطة يساوي صفرًا عند أي حجم محدود. أما بالنسبة لنظام لانهائي، فقد لا تتمكن التقلبات من دفع النظام من حالة موجبة في الغالب إلى حالة سالبة في الغالب باحتمالية غير صفرية.

عند درجات الحرارة العالية جدًا، ينعدم التمغنط، كما هو الحال عند درجة حرارة لانهائية. ولتوضيح ذلك، لاحظ أنه إذا كان للدوران A ارتباط ضعيف ε مع الدوران B، وكان B مرتبطًا ارتباطًا ضعيفًا فقط مع C، ولكن C مستقل عن A فيما عدا ذلك، فإن مقدار ارتباط A وC يتناسب مع ε² ^. بالنسبة لدوران يفصل بينهما مسافة L ، يتناسب مقدار الارتباط مع εL ^، ولكن إذا كان هناك أكثر من مسار واحد يمكن أن تنتقل عبره الارتباطات، فإن هذا المقدار يزداد بعدد المسارات.

عدد المسارات التي طولها L على شبكة مربعة في d أبعاد هو $${\displaystyle N(L)=(2d)^{L},}$$ بما أن هناك خيارين لمكان الذهاب في كل خطوة.

يُعطى حدٌّ أقصى للارتباط الكلي من خلال مساهمة كل مسار في الارتباط عن طريق الجمع على جميع المسارات التي تربط نقطتين، وهو محدود من الأعلى بالمجموع على جميع المسارات التي طولها L مقسومًا على $${\displaystyle \sum _{L}(2d)^{L}\varepsilon ^{L},}$$ والتي تؤول إلى الصفر عندما تكون قيمة ε صغيرة.

عند درجات الحرارة المنخفضة (β ≫ 1)، تكون التكوينات قريبة من التكوين ذي الطاقة الأدنى، وهو التكوين الذي تكون فيه جميع اللفات موجبة أو سالبة. تساءل بيرلز عما إذا كان من الممكن إحصائيًا، عند درجات الحرارة المنخفضة، بدءًا من اللفات السالبة، أن تتقلب الحالة إلى حالة تكون فيها معظم اللفات موجبة. ولكي يحدث هذا، يجب أن تكون قطرات اللف الموجب قادرة على التماسك لتكوين الحالة الموجبة.

تتناسب طاقة قطرة ذات دوران موجب في خلفية ذات دوران سالب مع محيط القطرة L، حيث تتجاور الدورانات الموجبة والسالبة. بالنسبة لقطرة محيطها L ، تقع مساحتها بين ( L  -  2)/2 (الخط المستقيم) و( L /4) ^² (المربع). تتضمن تكلفة احتمالية إدخال قطرة العامل e⁻βL ^، ولكن هذا يُساهم في دالة التوزيع مضروبًا في العدد الإجمالي للقطرات ذات المحيط L ^، وهو أقل من العدد الإجمالي للمسارات ذات الطول L.$${\displaystyle N(L)<4^{2L}.}$$ وبالتالي فإن إجمالي مساهمة الدوران من القطرات، حتى مع احتساب القطرات بشكل زائد من خلال السماح لكل موقع بوجود قطرة منفصلة، ​​يكون محدودًا من الأعلى بـ $${\displaystyle \sum _{L}L^{2}4^{2L}e^{-4\beta L},}$$

والذي يؤول إلى الصفر عند قيم β الكبيرة. بالنسبة لقيم β الكبيرة بما فيه الكفاية، فإن هذا يثبط الحلقات الطويلة بشكل أسي، بحيث لا يمكن أن تحدث، ولا يتقلب التمغنط بعيدًا عن  -1.

وهكذا أثبت بيرلز أن المغنطة في نموذج إيزينغ تحدد في النهاية قطاعات الاختيار الفائق ، وهي مجالات منفصلة غير مرتبطة بتقلبات محدودة.

تمكن كرامرز ووانييه من إثبات أن تمدد النموذج عند درجات الحرارة العالية وتمدده عند درجات الحرارة المنخفضة متساويان حتى إعادة قياس الطاقة الحرة بشكل عام. وقد سمح هذا بتحديد نقطة التحول الطوري في النموذج ثنائي الأبعاد بدقة (بافتراض وجود نقطة حرجة فريدة).

بعد حل أونساغر، قام يانغ ولي بالتحقيق في الطريقة التي تصبح بها دالة التوزيع منفردة عندما تقترب درجة الحرارة من درجة الحرارة الحرجة.

كان الدافع الأصلي وراء هذا النموذج هو ظاهرة المغناطيسية الحديدية . فالحديد مغناطيسي؛ وبمجرد أن يتمغنط، فإنه يبقى ممغنطًا لفترة طويلة مقارنة بأي زمن ذري.

في القرن التاسع عشر، كان يُعتقد أن المجالات المغناطيسية ناتجة عن تيارات في المادة، وافترض أمبير أن المغناطيس الدائم ناتج عن تيارات ذرية دائمة. إلا أن حركة الجسيمات المشحونة التقليدية لم تستطع تفسير التيارات الدائمة، كما أوضح لارمور . ولكي تتحقق المغناطيسية الحديدية، يجب أن تمتلك الذرات عزومًا مغناطيسية دائمة لا تنتج عن حركة الشحنات التقليدية.

بمجرد اكتشاف دوران الإلكترون، اتضح أن المغناطيسية ناتجة عن عدد كبير من دورانات الإلكترونات الموجهة جميعها في الاتجاه نفسه. وكان من الطبيعي التساؤل عن كيفية معرفة دورانات الإلكترونات بالاتجاه الذي يجب أن تشير إليه، لأن الإلكترونات على أحد جانبي المغناطيس لا تتفاعل مباشرة مع الإلكترونات على الجانب الآخر، بل تؤثر فقط على الإلكترونات المجاورة لها. وقد صُمم نموذج إيزينغ لدراسة إمكانية توجيه نسبة كبيرة من دورانات الإلكترونات في الاتجاه نفسه باستخدام قوى موضعية فقط.

يمكن إعادة تفسير نموذج إيزينغ كنموذج إحصائي لحركة الذرات. وبما أن الطاقة الحركية تعتمد فقط على الزخم وليس على الموقع، بينما تعتمد إحصائيات المواقع فقط على طاقة الوضع، فإن الديناميكا الحرارية للغاز تعتمد فقط على طاقة الوضع لكل تكوين من الذرات.

يتمثل النموذج التقريبي في اعتبار الزمكان شبكةً، وتخيل أن كل موضع إما يحتوي على ذرة أو لا يحتوي عليها. فضاء التكوين هو فضاء البتات المستقلة B_{_i} ، حيث تكون قيمة كل بت إما 0 أو 1 اعتمادًا على ما إذا كان الموضع مشغولًا أم لا. يقلل التفاعل الجاذب من طاقة ذرتين متجاورتين. إذا كان التجاذب بين أقرب الجيران فقط، فإن الطاقة تنخفض بمقدار -4 JB_{_i} B _{_j} لكل زوج من الذرات المتجاورة المشغولة.

يمكن التحكم في كثافة الذرات بإضافة جهد كيميائي ، وهو عبارة عن تكلفة احتمالية مضاعفة لإضافة ذرة أخرى. يمكن إعادة تفسير العامل المضاعف في الاحتمالية كحد إضافي في اللوغاريتم - الطاقة. تتغير الطاقة الإضافية لتكوين يحتوي على N ذرة بمقدار μN . تكلفة احتمالية إضافة ذرة أخرى هي عامل من عوامل exp(− βμ ).

إذن، طاقة غاز الشبكة هي: $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }4JB_{i}B_{j}+\sum _{i}\mu B_{i}.}$$

إعادة كتابة البتات بدلالة الدورات،${\displaystyle B_{i}=(S_{i}+1)/2.}$$${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }JS_{i}S_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i}(4J-\mu )S_{i}.}$$

بالنسبة للشبكات التي يكون لكل موقع فيها عدد متساوٍ من الجيران، فإن هذا هو نموذج إيزينغ مع مجال مغناطيسي h = ( zJ  − μ )/2، حيث z هو عدد الجيران. 

في الأنظمة البيولوجية، استُخدمت نسخ معدلة من نموذج الغاز الشبكي لفهم مجموعة من سلوكيات الارتباط. وتشمل هذه السلوكيات ارتباط الليجاندات بالمستقبلات على سطح الخلية، ^{[ 12 ]} وارتباط بروتينات الانجذاب الكيميائي بمحرك السوط، ^{[ 13 ]} وتكثيف الحمض النووي. ^{[ 14 ]}

يمكن نمذجة نشاط الخلايا العصبية في الدماغ إحصائياً. كل خلية عصبية في أي وقت تكون إما نشطة (+) أو غير نشطة  (-). الخلايا العصبية النشطة هي تلك التي ترسل جهد فعل عبر المحور العصبي في أي فترة زمنية محددة، أما الخلايا غير النشطة فهي تلك التي لا ترسل جهد فعل.

استنادًا إلى المنهج العام لجاينز، ^{[ 15 ] [ 16 ]،} فإن التفسير اللاحق لشنايدمان، وبيري، وسيجيف، وبياليك، ^{[ 17 ]} هو أن نموذج إيزينغ مفيد لأي نموذج للوظيفة العصبية، لأنه ينبغي اختيار نموذج إحصائي للنشاط العصبي باستخدام مبدأ أقصى إنتروبيا . وبالنظر إلى مجموعة من الخلايا العصبية، فإن النموذج الإحصائي القادر على إعادة إنتاج متوسط ​​معدل إطلاق النار لكل خلية عصبية يُدخل مُضاعِف لاغرانج لكل خلية عصبية. $${\displaystyle E=-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$ لكن نشاط كل عصبون في هذا النموذج مستقل إحصائيًا. وللسماح بالارتباطات الثنائية، عندما يميل عصبون ما إلى إطلاق إشارة (أو عدم إطلاقها) بالتزامن مع عصبون آخر، يتم إدخال معاملات لاغرانج الثنائية. $${\displaystyle E=-{\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$ أين${\displaystyle J_{ij}}$لا تقتصر هذه النماذج على الجيران. تجدر الإشارة إلى أن هذا التعميم لنموذج إيزينغ يُسمى أحيانًا في الإحصاء بالتوزيع الثنائي الأسي التربيعي. تُدخل دالة الطاقة هذه تحيزات احتمالية فقط للدوران ذي القيمة، ولزوج من الدورانات لهما القيمة نفسها. أما الارتباطات من الرتب العليا فلا تخضع لقيود المضاعفات. يتطلب نمط النشاط المأخوذ من هذا التوزيع أكبر عدد من البتات للتخزين في الحاسوب، في أكثر أنظمة الترميز كفاءةً، مقارنةً بأي توزيع آخر له نفس متوسط ​​النشاط والارتباطات الثنائية. هذا يعني أن نماذج إيزينغ مناسبة لأي نظام يُوصف ببتات عشوائية قدر الإمكان، مع قيود على الارتباطات الثنائية ومتوسط ​​عدد الآحاد، وهو ما يحدث بكثرة في كل من العلوم الفيزيائية والاجتماعية.

باستخدام نموذج إيزينغ، يمكن أيضًا وصف ما يسمى بالزجاج المغزلي بواسطة الهاميلتوني المعتاد${\textstyle H=-{\frac {1}{2}}\,\sum J_{i,k}\,S_{i}\,S_{k},}$حيث تصف المتغيرات S دورانات إيزينغ، بينما تُختار J _{_i,k} من توزيع عشوائي. بالنسبة للزجاج الدوراني، يختار التوزيع النموذجي روابط مضادة للمغناطيسية باحتمالية p وروابط مغناطيسية حديدية باحتمالية 1  − p (المعروف أيضًا بنموذج إيزينغ ذي الروابط العشوائية). تبقى هذه الروابط ثابتة أو "مُخمدة" حتى في وجود تقلبات حرارية. عندما p = 0، نحصل على نموذج إيزينغ الأصلي. يستحق هذا النظام اهتمامًا خاصًا؛ لا سيما أنه يتمتع بخصائص "غير إرجودية" تؤدي إلى سلوك استرخاء غريب. كما حظي نموذج إيزينغ ذو الروابط والمواقع المخففة باهتمام كبير، خاصة في بعدين، مما يؤدي إلى سلوك حرج مثير للاهتمام. ^{[ 18 ]}   

كان نموذج إيزينغ أساسيًا في تطوير شبكة هوبفيلد . يُعدّ نموذج إيزينغ الأصلي نموذجًا للتوازن. درس روي ج. غلاوبر في عام 1963 نموذج إيزينغ المتطور مع الزمن، كعملية نحو التوازن الحراري ( ديناميكيات غلاوبر )، مضيفًا عنصر الزمن. ^{[ 19 ]} اقترح كلٌّ من كاورو ناكانو (1971) ^{[ 20 ] [ 21 ]} وشون إيتشي أماري (1972) ^{[ 22 ]} تعديل أوزان نموذج إيزينغ باستخدام قاعدة التعلم الهيبية كنموذج للذاكرة الترابطية. نُشرت الفكرة نفسها بواسطة ويليام أ. ليتل (1974) ^{[ 23 ]} ، الذي استشهد به هوبفيلد في بحثه المنشور عام 1982.

يُعدّ نموذج شيرينغتون -كيركباتريك للزجاج المغزلي، الذي نُشر عام 1975، ^{[ 24 ]} شبكة هوبفيلد ذات التهيئة العشوائية. وقد وجد شيرينغتون وكيركباتريك أن دالة الطاقة في نموذج شيرينغتون-كيركباتريك من المرجح جدًا أن تحتوي على العديد من القيم الدنيا المحلية. في ورقة بحثية نُشرت عام 1982، طبّق هوبفيلد هذه النظرية المُطوّرة حديثًا لدراسة شبكة هوبفيلد ذات دوال التنشيط الثنائية. ^{[ 25 ]} وفي ورقة بحثية أخرى نُشرت عام 1984، وسّع نطاق هذا النموذج ليشمل دوال التنشيط المستمرة. ^{[ 26 ]} وأصبح نموذجًا قياسيًا لدراسة الشبكات العصبية من خلال الميكانيكا الإحصائية. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

يمكن نمذجة بركة الذوبان باستخدام نموذج إيزينغ؛ وتؤثر بيانات تضاريس الجليد البحري بشكل كبير على النتائج. يكون متغير الحالة ثنائيًا لتقريب ثنائي الأبعاد بسيط، إما ماء أو جليد. ^{[ 29 ]}

بهدف دراسة نموذج إيزينغ ذي الصلة المحتملة بالأحجام الكبيرة (على سبيل المثال مع${\displaystyle 10^{4}}$أو${\displaystyle 10^{5}}$التفاعلات لكل عقدة) الشبكات العصبية، بناءً على اقتراح كريزان في عام 1979، حصل بارث (1981) على التعبير التحليلي الدقيق للطاقة الحرة لنموذج إيزينغ على شجرة كايلي المغلقة (مع نسبة تفرع كبيرة بشكل تعسفي) لحقل مغناطيسي خارجي صفري (في الحد الديناميكي الحراري) من خلال تطبيق منهجيات جلاسر (1970) وجيليتو (1979).

$${\displaystyle -\beta f=\ln 2+{\frac {2\gamma }{(\gamma +1)}}\ln(\cosh J)+{\frac {\gamma (\gamma -1)}{(\gamma +1)}}\sum _{i=2}^{z}{\frac {1}{\gamma ^{i}}}\ln J_{i}(\tau )}$$

أين${\displaystyle \gamma }$نسبة تفرع عشوائية (أكبر من أو تساوي 2)،${\displaystyle t\equiv \tanh J}$،${\displaystyle \tau \equiv t^{2}}$،${\displaystyle J\equiv \beta \epsilon }$(مع${\displaystyle \epsilon }$تمثل طاقة التفاعل بين أقرب الجيران، ويوجد k جيلًا (يؤول إلى اللانهاية في الحد الديناميكي الحراري) في كل فرع من فروع الشجرة (مكونةً بنية الشجرة المغلقة كما هو موضح في مخطط شجرة كايلي المغلقة المعطى). يمكن إثبات أن المجموع في الحد الأخير يتقارب بانتظام وسرعة (أي أنه يظل محدودًا عندما يؤول z إلى اللانهاية)، مما ينتج عنه دالة متصلة ورتيبة، مما يثبت أنه بالنسبة لـ${\displaystyle \gamma }$عندما تكون قيمة الطاقة الحرة أكبر من أو تساوي 2، فإنها تكون دالة مستمرة لدرجة الحرارة T. ويشير المزيد من التحليل للطاقة الحرة إلى أنها تُظهر مشتقة أولى غير متصلة بشكل غير عادي عند درجة الحرارة الحرجة ( Krizan, Barth & Glasser (1983 , Glasser & Goldberg (1983) ) .)

وُجد أن الارتباط الدوراني بين المواقع (بشكل عام، m و n) على الشجرة له نقطة تحول عند النظر إلى الرؤوس (مثل A و Ā، وانعكاسها)، والمواقع المجاورة لها (مثل B وانعكاسها)، وبين المواقع المجاورة للرؤوس القصوى العلوية والسفلية للشجرتين (مثل A و B)، كما يمكن تحديده من $${\displaystyle \langle s_{m}s_{n}\rangle ={Z_{N}}^{-1}(0,T)[\cosh J]^{N_{b}}2^{N}\sum _{l=1}^{z}g_{mn}(l)t^{l}}$$ أين${\displaystyle N_{b}}$يساوي عدد الروابط،${\displaystyle g_{mn}(l)t^{l}}$يمثل عدد الرسوم البيانية المحسوبة للرؤوس الفردية ذات المواقع الوسيطة الزوجية (انظر المنهجيات والمراجع المذكورة للحصول على حسابات مفصلة).${\displaystyle 2^{N}}$التعددية الناتجة عن احتمالات الدوران ثنائية القيمة ودالة التقسيم${\displaystyle {Z_{N}}}$مشتق من${\displaystyle \sum _{\{s\}}e^{-\beta H}}$. (ملحوظة:${\displaystyle s_{i}}$يتوافق مع المراجع المذكورة في هذا القسم، وهو مكافئ لـ${\displaystyle S_{i}}$أو${\displaystyle \sigma _{i}}$تم استخدامه أعلاه وفي الأقسام السابقة؛ وتبلغ قيمته${\displaystyle \pm 1}$.) درجة الحرارة الحرجة${\displaystyle T_{C}}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle T_{C}={\frac {2\epsilon }{k_{\text{B}}[\ln({\sqrt {\gamma }}+1)-\ln({\sqrt {\gamma }}-1)]}}.}$$

لا تتحدد درجة الحرارة الحرجة لهذا النموذج إلا بنسبة التفرع.${\displaystyle \gamma }$وطاقة التفاعل بين المواقع${\displaystyle \epsilon }$وهي حقيقة قد يكون لها آثار مباشرة مرتبطة بالبنية العصبية مقابل وظيفتها (حيث إنها تربط طاقات التفاعل ونسبة التفرع بسلوكها الانتقالي). على سبيل المثال، العلاقة بين السلوك الانتقالي لأنشطة الشبكات العصبية بين حالتي النوم واليقظة (والتي قد ترتبط بنوع من الانتقال الطوري الدوراني) من حيث التغيرات في الترابط العصبي (${\displaystyle \gamma }$) و/أو التفاعلات بين الجيران (${\displaystyle \epsilon }$يُعدّ هذا، بمرور الوقت، أحد السبل الممكنة المقترحة لإجراء المزيد من الأبحاث التجريبية حول هذه الظاهرة. على أي حال، بالنسبة لنموذج إيزينغ هذا، فقد ثبت أن "استقرار الارتباط بعيد المدى يزداد مع زيادة${\displaystyle \gamma }$أو زيادة${\displaystyle \epsilon }$"

بالنسبة لهذه البنية، وُجد أن ارتباط الدوران-الدوران يساوي صفرًا بين الرؤوس الطرفية والمواقع المركزية التي تتصل عندها الشجرتان (أو الفرعان) (أي بين A وكل من C أو D أو E على حدة). يُعزى هذا السلوك إلى حقيقة أنه مع ازدياد قيمة k، يزداد عدد الروابط بشكل أُسّي (بين الرؤوس الطرفية)، وبالتالي، على الرغم من أن مساهمة ارتباطات الدوران تتناقص أُسّيًا، فإن الارتباط بين مواقع مثل الرأس الطرفي (A) في إحدى الشجرتين والرأس الطرفي في الشجرة المتصلة (Ā) يظل محدودًا (فوق درجة الحرارة الحرجة). إضافةً إلى ذلك، يُظهر كل من A وB ارتباطًا غير معدوم (كما هو الحال مع انعكاساتهما)، مما يجعل مواقع المستوى B (مع المستوى A) تُعتبر "تجمعات" تميل إلى إظهار تزامن في الإطلاق.

استنادًا إلى مراجعة نماذج الشبكات الكلاسيكية الأخرى للمقارنة، تبيّن أن نموذج إيزينغ على شجرة كايلي المغلقة هو أول نموذج ميكانيكي إحصائي كلاسيكي يُظهر مواقع محلية وبعيدة المدى ذات ارتباطات مغزلية غير معدومة، مع إظهار مواقع وسيطة ذات ارتباط صفري، وهو ما كان بالفعل أمرًا بالغ الأهمية للشبكات العصبية الكبيرة في ذلك الوقت. كما أن سلوك النموذج ذو صلة بأي نظام فيزيائي (أو بيولوجي) آخر ذي شجرة متقاربة-متباعدة يُظهر بنية شجرة كايلي مغلقة مع تفاعل من نوع إيزينغ. لا ينبغي تجاهل هذه البنية نظرًا لأن سلوكها في نماذج إيزينغ قد تم حله بدقة، ومن المفترض أن الطبيعة قد وجدت طريقة للاستفادة من هذه التناظرات البسيطة على مستويات عديدة من تصميماتها.

أشار بارث (1981) في وقت مبكر إلى إمكانية وجود علاقات متبادلة بين (1) نموذج الشبكة العصبية الكبيرة الكلاسيكي (مع طوبولوجيات متقاربة متباعدة متشابهة) مع (2) نموذج ميكانيكي كمي إحصائي أساسي (مستقل عن الطوبولوجيا ومع استمرارية في الحالات الكمية الأساسية):

تتمثل أهم نتيجة تم التوصل إليها من نموذج شجرة كايلي المغلقة في حدوث ترابط بعيد المدى في غياب الترابط متوسط ​​المدى. لم تُثبت هذه النتيجة بواسطة النماذج الكلاسيكية الأخرى. وقد أشار العديد من الباحثين (ريتشياردي وأوميزاوا، 1967؛ هوكيو، 1972؛ ستيوارت، تاكاهاشي وأوميزاوا، 1978، 1979) إلى أن قصور النظرة الكلاسيكية لانتقال النبضات في تفسير هذه الظاهرة يُعدّ كافيًا لتبرير افتراضات جديدة جذريًا على مستوى أساسي للغاية، واقترحوا وجود أنماط تعاونية كمومية داخل الدماغ. إضافةً إلى ذلك، من المثير للاهتمام ملاحظة أن نمذجة جسيمات غولدستون أو البوزونات (كما ورد في دراسة أوميزاوا وآخرون) داخل الدماغ تُظهر الترابط بعيد المدى للأعداد الكمومية المحفوظة في الحالة الأرضية. في نموذج شجرة كايلي المغلقة، يمكن أن تُظهر الحالات الأرضية لأزواج المواقع، وكذلك متغير حالة المواقع الفردية، ترابطًا بعيد المدى.

كان من المعتقدات الطبيعية والشائعة بين علماء الفيزياء العصبية الأوائل (مثل أوميزاوا، وكريزان، وبارث، وما إلى ذلك) أن النماذج العصبية الكلاسيكية (بما في ذلك تلك التي لها جوانب ميكانيكية إحصائية) سيتعين دمجها يومًا ما مع الفيزياء الكمية (مع الجوانب الإحصائية الكمية)، على غرار الطريقة التي دمج بها مجال الكيمياء نفسه تاريخيًا في الفيزياء الكمية من خلال الكيمياء الكمية.

لا تزال هناك العديد من المشكلات الميكانيكية الإحصائية الإضافية ذات الأهمية التي يتعين حلها لشجرة كايلي المغلقة، بما في ذلك الحالة المعتمدة على الوقت وحالة المجال الخارجي، بالإضافة إلى الجهود النظرية التي تهدف إلى فهم العلاقات المتبادلة مع المكونات الكمومية الأساسية وفيزيائها.

تُعدّ خوارزمية متروبوليس -هاستينغز أكثر خوارزميات مونت كارلو استخدامًا لحساب تقديرات نموذج إيزينغ. ^{[ 30 ]} تبدأ الخوارزمية باختيار احتمالات الاختيار g (μ, ν)، والتي تُمثّل احتمال اختيار الخوارزمية للحالة ν من بين جميع الحالات، علمًا بأنّ الخوارزمية موجودة في الحالة μ. ثمّ تستخدم احتمالات القبول A (μ, ν) لتحقيق التوازن التفصيلي . إذا قُبلت الحالة الجديدة ν، ننتقل إليها ونُكرّر عملية اختيار حالة جديدة وقبولها. إذا لم تُقبل ν، نبقى في الحالة μ. تُكرّر هذه العملية حتى يتمّ استيفاء معيار التوقّف، والذي غالبًا ما يكون في نموذج إيزينغ عندما تُصبح الشبكة مغناطيسية حديدية ، أي عندما تُشير جميع المواقع في الاتجاه نفسه. ^{[ 30 ]}

عند تطبيق الخوارزمية، يجب التأكد من اختيار الدالة g (μ, ν) بحيث تتحقق خاصية الإرجودية . في حالة التوازن الحراري، لا تتذبذب طاقة النظام إلا ضمن نطاق ضيق. ^{[ 30 ]} هذا هو الدافع وراء مفهوم ديناميكيات قلب اللف المغزلي الأحادي ، ^{[ 31 ]} الذي ينص على أنه في كل انتقال، سنغير موقع لف مغزلي واحد فقط على الشبكة. ^{[ 30 ]} علاوة على ذلك، باستخدام ديناميكيات قلب اللف المغزلي الأحادي، يمكن الانتقال من أي حالة إلى أي حالة أخرى عن طريق قلب كل موقع يختلف بين الحالتين واحدًا تلو الآخر. الحد الأقصى للتغير بين طاقة الحالة الحالية، Hμ _، وطاقة أي حالة جديدة محتملة، _Hν ( باستخدام ديناميكيات قلب اللف المغزلي الأحادي) هو 2 جول بين اللف المغزلي الذي نختاره "لقلبه" للانتقال إلى الحالة الجديدة وجاره. ^{[ 30 ]} بالتالي، في نموذج إيزينغ أحادي البعد، حيث يمتلك كل موقع جارين (يسارًا ويمينًا)، يكون الحد الأقصى لفرق الطاقة 4 جول . لنفترض أن c يمثل عدد التنسيق الشبكي ؛ أي عدد أقرب الجيران لأي موقع شبكي. نفترض أن جميع المواقع لها نفس عدد الجيران نظرًا لشروط الحدود الدورية . ^{[ 30 ]} من المهم ملاحظة أن خوارزمية متروبوليس-هاستينغز لا تعمل بكفاءة حول النقطة الحرجة بسبب التباطؤ الحرج. لذا، يلزم استخدام تقنيات أخرى مثل طرق الشبكة المتعددة، وخوارزمية نيدرماير، وخوارزمية سويندسن-وانغ ، أو خوارزمية وولف لحل النموذج بالقرب من النقطة الحرجة؛ وهو شرط أساسي لتحديد الأسس الحرجة للنظام.

بالنسبة لنموذج إيزينغ تحديدًا، وباستخدام ديناميكيات قلب اللف المغزلي الأحادي، يمكننا إثبات ما يلي: بما أن هناك L موقعًا إجماليًا على الشبكة، وباستخدام قلب اللف المغزلي الأحادي كوسيلة وحيدة للانتقال إلى حالة أخرى، نلاحظ وجود L حالة جديدة ν انطلاقًا من حالتنا الحالية μ. تفترض الخوارزمية أن احتمالات الاختيار تساوي عدد الحالات L : g (μ, ν) = 1/ L . ويوضح لنا التوازن التفصيلي أن المعادلة التالية يجب أن تتحقق:

$${\displaystyle {\frac {P(\mu ,\nu )}{P(\nu ,\mu )}}={\frac {g(\mu ,\nu )A(\mu ,\nu )}{g(\nu ,\mu )A(\nu ,\mu )}}={\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}={\frac {P_{\beta }(\nu )}{P_{\beta }(\mu )}}={\frac {{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\nu })}}{{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\mu })}}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

لذا، نريد تحديد احتمالية القبول لخوارزميتنا بحيث تحقق الشروط المطلوبة

$${\displaystyle {\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

إذا كان H _ν > H _μ ، ثم A (ν، μ) > A (μ، ν). تحدد متروبوليس الرقم الأكبر لـ A (μ,  ν) أو A (ν,  μ) ليكون 1. وبهذا المنطق تكون خوارزمية القبول هي: ^{[ 30 ]}

$${\displaystyle A(\mu ,\nu )={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},&{\text{if }}H_{\nu }-H_{\mu }>0,\\1&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

الشكل الأساسي للخوارزمية هو كما يلي:

1. اختر موقع الدوران باستخدام احتمال الاختيار g (μ,  ν) واحسب المساهمة في الطاقة التي تتضمن هذا الدوران.
2. اعكس قيمة الدوران واحسب المساهمة الجديدة.
3. إذا كانت الطاقة الجديدة أقل، فاحتفظ بالقيمة المعكوسة.
4. إذا كانت الطاقة الجديدة أكبر، فاحتفظ بها فقط باحتمالية${\displaystyle e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$
5. يكرر.

يعتمد التغير في الطاقة Hν − Hμ فقط على قيمة اللف المغزلي وأقرب جيرانها في الرسم البياني. لذا، إذا لم يكن الرسم البياني شديد الترابط، تكون الخوارزمية سريعة. ستؤدي هذه العملية في النهاية إلى اختيار قيمة من _{التوزيع .}  

يمكن اعتبار نموذج إيزينغ سلسلة ماركوف ، حيث أن الاحتمالية المباشرة Pβ ₍ ν) للانتقال إلى حالة مستقبلية ν تعتمد فقط على الحالة الحالية μ. خوارزمية متروبوليس هي في الواقع نسخة من محاكاة مونت كارلو لسلسلة ماركوف ، وبما أننا نستخدم ديناميكيات قلب اللف المغزلي الأحادي في خوارزمية متروبوليس، يمكن اعتبار كل حالة مرتبطة بـ L حالة _أخرى بالضبط ، حيث يتوافق كل انتقال مع قلب موقع لف مغزلي واحد إلى القيمة المعاكسة. ^{[ 32 ]} علاوة على ذلك، بما أن تغير معادلة الطاقة Hσ يعتمد فقط على قوة تفاعل الجوار الأقرب J ، يمكن اعتبار نموذج إيزينغ ومتغيراته مثل نموذج شنايد شكلاً من أشكال نموذج التصويت لديناميكيات الرأي.

يوجد الحد الديناميكي الحراري طالما أن اضمحلال التفاعل${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$مع α > 1. ^{[ 33 ]}

• في حالة التفاعل المغناطيسي الحديدي${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$مع 1 < α < 2، أثبت دايسون، بالمقارنة مع الحالة الهرمية، أن هناك انتقالًا طوريًا عند درجة حرارة منخفضة بما فيه الكفاية. ^{[ 34 ]}
• في حالة التفاعل المغناطيسي الحديدي${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-2}}$أثبت فروليش وسبنسر وجود انتقال طوري عند درجة حرارة منخفضة بما فيه الكفاية (على عكس الحالة الهرمية). ^{[ 35 ]}
• في حالة التفاعل${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$عندما تكون قيمة α أكبر من 2 (بما في ذلك حالة التفاعلات ذات المدى المحدود)، لا يوجد انتقال طوري عند أي درجة حرارة موجبة (أي قيمة β محدودة)، لأن الطاقة الحرة تحليلية في المعاملات الديناميكية الحرارية. ^{[ 33 ]}
• في حالة تفاعلات الجوار الأقرب ، قدّم إيزينغ حلاً دقيقاً للنموذج. عند أي درجة حرارة موجبة (أي قيمة β محدودة)، تكون الطاقة الحرة تحليلية في معاملات الديناميكا الحرارية، ويتلاشى ارتباط الدوران ثنائي النقاط المقتطع بسرعة أسية. عند درجة حرارة الصفر المطلق (أي قيمة β لانهائية)، يحدث انتقال طور من الدرجة الثانية: الطاقة الحرة لانهائية، ولا يتلاشى ارتباط الدوران ثنائي النقاط المقتطع (يبقى ثابتاً). لذلك، فإن T = 0 هي درجة الحرارة الحرجة في هذه الحالة. وتتحقق معادلات القياس. ^{[ 36 ]}

في حالة المواد المغناطيسية الحديدية، يحدث انتقال طوري. عند درجات الحرارة المنخفضة، تُثبت حجة بايرلز وجود مغنطة موجبة في حالة الجوار الأقرب، ثم، باستخدام متباينة غريفيث ، حتى عند إضافة تفاعلات أطول مدى. في المقابل، عند درجات الحرارة المرتفعة، يُعطي توسيع التكتل خاصية التحليلية للدوال الديناميكية الحرارية. في حالة الجوار الأقرب، تم حساب الطاقة الحرة بدقة بواسطة أونساغر. أما دوال ارتباط اللف المغزلي فقد تم حسابها بواسطة مكوي وو.

في ثلاثة أبعاد كما في بعدين، تُعدّ حالة نموذج إيزينغ الثابتة تحت الإزاحة على شبكة مكعبة ذات اقتران الجوار الأقرب في غياب المجال المغناطيسي، الأكثر دراسةً. وقد سعى العديد من المنظرين لعقودٍ طويلةٍ إلى إيجاد حلٍّ تحليليٍّ ثلاثي الأبعاد، يُشابه حل أونساغر في الحالة ثنائية الأبعاد. ^{[ 39 ] [ 40 ]} لم يُعثر على مثل هذا الحل حتى الآن، مع أنه لا يوجد دليلٌ قاطعٌ على عدم وجوده. في ثلاثة أبعاد، بيّن ألكسندر بولياكوف وفلاديمير دوتسينكو أن نموذج إيزينغ يُمكن تمثيله بدلالة سلاسل فرميونية غير متفاعلة . وقد طُبّق هذا البناء على الشبكة، ولا تزال النهاية المتصلة ، التي يُفترض أنها تصف النقطة الحرجة، مجهولة.

في ثلاثة أبعاد كما في بعدين، تُظهر حجة بيرلز وجود انتقال طوري. من المعروف بدقة أن هذا الانتقال الطوري مستمر (بمعنى أن طول الترابط يتباعد والمغنطة تؤول إلى الصفر)، ويُسمى النقطة الحرجة . يُعتقد أن النقطة الحرجة يُمكن وصفها بنقطة ثابتة لمجموعة إعادة التطبيع لتحويل ويلسون-كادانوف. كما يُعتقد أيضًا أن الانتقال الطوري يُمكن وصفه بنظرية حقل توافقي وحدوي ثلاثي الأبعاد، كما يتضح من محاكاة مونت كارلو ^{[ 41 ] [ 42 ]} ، ونتائج القطرية الدقيقة في النماذج الكمومية ^{[ 43 ]} ، والحجج النظرية للحقل الكمومي ^{[ 44 ]} . على الرغم من أن تحديد صورة مجموعة إعادة التطبيع أو صورة نظرية الحقل التوافقي بدقة لا يزال يُمثل مشكلة مفتوحة، فقد استخدم الفيزيائيون النظريون هاتين الطريقتين لحساب الأسس الحرجة للانتقال الطوري، والتي تتوافق مع التجارب ومحاكاة مونت كارلو. تخضع نظرية المجال المطابق هذه، التي تصف النقطة الحرجة ثلاثية الأبعاد لـ Ising، لدراسة نشطة باستخدام طريقة التمهيد المطابق . ^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]} توفر هذه الطريقة حاليًا أدق المعلومات حول بنية النظرية الحرجة (انظر أسس Ising الحرجة ).

في عام 2000، أثبت سورين إسترايل من مختبرات سانديا الوطنية أن نموذج إيزينغ للزجاج المغزلي على شبكة غير مستوية هو مسألة كاملة من فئة NP . أي، بافتراض أن P ≠ NP، فإن نموذج إيزينغ العام للزجاج المغزلي قابل للحل بدقة فقط في الحالات المستوية ، وبالتالي فإن الحلول للأبعاد الأعلى من اثنين غير قابلة للحل أيضًا. ^{[ 49 ]} تقتصر نتيجة إسترايل على نموذج الزجاج المغزلي ذي الاقترانات المتغيرة مكانيًا، ولا تُقدم أي معلومات عن نموذج إيزينغ الأصلي للمغناطيسية الحديدية ذي الاقترانات المتساوية.

في أي بُعد، يمكن وصف نموذج إيزينغ بكفاءة باستخدام مجال متوسط ​​متغير محليًا . يُعرَّف هذا المجال بأنه متوسط ​​قيمة الدوران على منطقة واسعة، ولكن ليس واسعة لدرجة أن تشمل النظام بأكمله. مع ذلك، يظل المجال يشهد تغيرات بطيئة من نقطة إلى أخرى، مع تحرك حجم المتوسط. تُوصف هذه التقلبات في المجال بنظرية المجال المتصل في حالة النظام اللانهائي. تتحسن دقة هذا التقريب مع ازدياد البُعد. ويمكن تحقيق فهم أعمق لسلوك نموذج إيزينغ، يتجاوز تقريبات المجال المتوسط، باستخدام طرق مجموعة إعادة التطبيع .