توسيع المجموعة

في الميكانيكا الإحصائية، تُوصف خصائص نظام من الجسيمات غير المتفاعلة باستخدام دالة التوزيع. بالنسبة لـ N جسيمًا غير متفاعل، يُوصف النظام بواسطة الهاميلتوني. $${\displaystyle H_{0}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}},}$$ ويمكن حساب دالة التقسيم (في الحالة الكلاسيكية) على النحو التالي: $$\begin{aligned}Z_{0}=\frac{1}{h^{3N}N!}}\int \prod_{i}d^{3}\mathbf{p}_{i}\,d^{3}\mathbf{r}_{i}\exp \left[-\beta H_{0}(\{\mathbf{r}_{i},\mathbf{p}_{i}\})\right]\\[1ex]=\frac{V^{N}}{h^{3N}N!}}\left(\frac{2\pi m}{\beta }}\right)^{3N/2}}.\end{aligned}}}$$ من دالة التوزيع، يمكن حساب طاقة هلمهولتز الحرة${\displaystyle F_{0}=-k_{\text{B}}T\ln Z_{0}}$ومن ذلك، جميع الخصائص الديناميكية الحرارية للنظام، مثل الإنتروبيا والطاقة الداخلية والجهد الكيميائي وما إلى ذلك.

عندما تتفاعل جسيمات النظام، لا يمكن عادةً حساب دالة التوزيع بدقة. أما في حالة الكثافة المنخفضة، فيمكن تقريب التفاعلات بمجموع كمونات جسيمين. $${\displaystyle U(\{r_{i}\})=\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{j}u_{2}(|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|)=\sum _{i,j=1 \atop i<j}^{N}u_{2}(r_{ij}).}$$ بالنسبة لإمكانية التفاعل هذه، يمكن كتابة دالة التوزيع على النحو التالي

$${\displaystyle Z=Z_{0}\ Q,}$$ والطاقة الحرة هي $${\displaystyle F=F_{0}-k_{\text{B}}T\ln(Q),}$$ حيث Q هو التكامل التكويني : $${\displaystyle Q={\frac {1}{V^{N}}}\int \prod _{i}d^{3}\mathbf {r} _{i}\exp \left[-\beta \sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{j}u_{2}(r_{ij})\right].}$$

التكامل التكويني${\displaystyle Q}$لا يمكن حسابها تحليليًا لجهد الزوج العام ${\displaystyle u_{2}(r)}$إحدى طرق حساب الجهد تقريبًا هي استخدام توسيع ماير العنقودي. يعتمد هذا التوسيع على ملاحظة أن الدالة الأسية في معادلة${\displaystyle Q}$يمكن كتابتها كحاصل ضرب من الشكل $${\displaystyle \exp \left[-\beta \sum _{1\leq i<j\leq N}u_{2}(r_{ij})\right]=\prod _{1\leq i<j\leq N}\exp \left[-\beta u_{2}(r_{ij})\right]}$$بعد ذلك، حدد دالة ماير${\displaystyle f_{ij}}$بواسطة${\displaystyle \exp \left[-\beta u_{2}(r_{ij})\right]=1+f_{ij}}$بعد التعويض، تصبح معادلة التكامل التكويني كما يلي:

$${\displaystyle Q={\frac {1}{V^{N}}}\int \prod _{i}d^{3}\mathbf {r} _{i}\prod _{1\leq i<j\leq N}\left(1+f_{ij}\right)}$$

يؤدي حساب حاصل الضرب في المعادلة أعلاه إلى سلسلة من الحدود؛ الحد الأول يساوي واحدًا، والحد الثاني يساوي مجموع الحدود على i و j${\displaystyle f_{ij}}$وتستمر العملية حتى يتم حساب جميع الحدود ذات الرتبة الأعلى.

$${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq N}\left(1+f_{ij}\right)=1+\sum _{1\leq i<j\leq N}\;f_{ij}+\sum _{1\leq i<j\leq N,1\leq m<n\leq N \atop i<m\ {\text{or}}\ (i=m\ {\text{and}}\ j<n)}^{N}f_{ij}\,f_{mn}+\cdots }$$

يجب أن يظهر كل حد مرة واحدة فقط. باستخدام هذا التوسع، يمكن إيجاد حدود من رتب مختلفة، بحسب عدد الجسيمات المشاركة. الحد الأول هو حد عدم التفاعل (أي عدم وجود تفاعلات بين الجسيمات)، والحد الثاني يمثل تفاعلات الجسيمات الثنائية، والحد الثالث يمثل تفاعلات الجسيمات الثنائية بين 4 جسيمات (ليست بالضرورة مختلفة)، وهكذا. هذا التفسير الفيزيائي هو سبب تسمية هذا التوسع بتوسع التكتل: إذ يمكن إعادة ترتيب المجموع بحيث يمثل كل حد التفاعلات داخل تكتلات من عدد معين من الجسيمات.

بإدخال مفكوك الناتج مرة أخرى في تعبير التكامل التكويني، نحصل على متسلسلة لـ${\displaystyle Q}$:

$${\displaystyle Q=1+{\frac {N}{V}}\alpha _{1}+{\frac {N\left(N-1\right)}{2V^{2}}}\alpha _{2}+\cdots .}$$

بإدخال قيمة الطاقة الحرة في المعادلة، يمكن اشتقاق معادلة الحالة لنظام الجسيمات المتفاعلة. ستكون المعادلة على الشكل التالي: $${\displaystyle PV=Nk_{\text{B}}T\left[1+{\frac {N}{V}}B_{2}(T)+{\frac {N^{2}}{V^{2}}}B_{3}(T)+{\frac {N^{3}}{V^{3}}}B_{4}(T)+\cdots \right],}$$ والتي تُعرف باسم معادلة فيريال ، ومكوناتها${\displaystyle B_{i}(T)}$هي معاملات فيريال . كل معامل من معاملات فيريال يتوافق مع حد واحد من توسيع المجموعة (${\displaystyle B_{2}(T)}$يمثل مصطلح التفاعل بين جسيمين،${\displaystyle B_{3}(T)}$(وهو حد التفاعل بين الجسيمات الثلاثة وهكذا). بالاحتفاظ فقط بحد التفاعل بين الجسيمات الثنائية، يمكن إثبات أن توسيع المجموعة، مع بعض التقريبات، يعطي معادلة فان دير فالس .

ويمكن تطبيق ذلك أيضاً على مخاليط الغازات والمحاليل السائلة.

تستبدل نظرية الكم، في جوهرها، القيم الدقيقة الكلاسيكية بتوزيع احتمالي يمكن صياغته باستخدام، على سبيل المثال، دالة موجية ، أو مصفوفة كثافة ، أو توزيع فضاء الطور . من الناحية النظرية، يوجد دائمًا، على الأقل رسميًا، توزيع احتمالي وراء كل كمية قابلة للرصد يتم قياسها. في عام 1889، أي قبل صياغة فيزياء الكم بفترة طويلة، اقترح ثورفالد ن. ثيل العزوم التراكمية التي تصف التوزيعات الاحتمالية بأقل عدد ممكن من الكميات؛ وأطلق عليها اسم أنصاف الثوابت . ^{[ 3 ]} تشكل العزوم التراكمية سلسلة من الكميات مثل المتوسط ، والتباين ، والالتواء ، والتفرطح ، وما إلى ذلك، والتي تحدد التوزيع بدقة متزايدة كلما زاد عدد العزوم التراكمية المستخدمة.

^{حوّل فريتز كوستر [ 4 ]} وهيرمان كوميل ^{[ 5 ]} مفهوم العزوم التراكمية إلى فيزياء الكم بهدف دراسة ظواهر التفاعلات النووية متعددة الأجسام. لاحقًا، وسّع جيري تشيزيك وجوزيف بالدوس هذا النهج ليشمل كيمياء الكم، وذلك لوصف ظواهر التفاعلات متعددة الأجسام في الذرات والجزيئات المعقدة. وقد أرست هذه الأعمال الأساس لنهج التجميع المقترن ، الذي يعتمد بشكل أساسي على دوال الموجة متعددة الأجسام. يُعدّ نهج التجميع المقترن من أنجح الطرق لحلّ حالات الكم للجزيئات المعقدة.

في المواد الصلبة ، تتميز دالة الموجة متعددة الأجسام ببنية بالغة التعقيد، مما يجعل تقنيات حل دالة الموجة المباشرة غير عملية. يُعدّ توسيع التجمعات أحد أشكال نهج التجمعات المقترنة ^{[ 2 ] [ 6 ]} ، وهو يحل المعادلات الديناميكية للترابطات بدلاً من محاولة حل الديناميكيات الكمومية لدالة موجة تقريبية أو مصفوفة كثافة. وهو مناسب بنفس القدر لمعالجة خصائص الأنظمة متعددة الأجسام والترابطات الكمومية البصرية، مما جعله نهجًا ملائمًا للغاية للبصريات الكمومية لأشباه الموصلات .

كما هو الحال دائمًا تقريبًا في فيزياء الأجسام المتعددة أو البصريات الكمومية، من الأنسب تطبيق صيغة التكميم الثاني لوصف الفيزياء المعنية. على سبيل المثال، يتم وصف حقل الضوء من خلال معاملات إنشاء وإفناء البوزونات.${\displaystyle {\hat {B}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }}$و${\displaystyle {\hat {B}} _ {\mathbf {q} }}$، على التوالي، حيث${\displaystyle \hbar \mathbf {q} }$يُحدد زخم الفوتون . "القبعة" فوق${\displaystyle B}$يدل ذلك على الطبيعة المؤثرة للكمية. فعندما تتكون حالة الأجسام المتعددة من إثارات إلكترونية للمادة، فإنها تُعرَّف بالكامل بواسطة مؤثرات إنشاء وإفناء الفرميونات.${\displaystyle {\hat {a}} _{\lambda ,\mathbf {k} }^{\dagger }}$و${\displaystyle {\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }}$، على التوالي، حيث${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$يشير إلى زخم الجسيم بينما${\displaystyle \lambda }$هي درجة من درجات الحرية الداخلية ، مثل الدوران أو مؤشر النطاق .

عند دراسة نظام الأجسام المتعددة مع خصائصه البصرية الكمومية، يمكن التعبير عن جميع القيم المتوقعة القابلة للقياس في شكل قيمة متوقعة لـ N جسيم

$${\displaystyle \langle {\hat {N}}\rangle \equiv \langle {\hat {B}}_{1}^{\dagger }\cdots {\hat {B}}_{K}^{\dagger }\ {\hat {a}}_{1}^{\dagger }\cdots {\hat {a}}_{N_{\hat {a}}}^{\dagger }{\hat {a}}_{N_{\hat {a}}}\cdots {\hat {a}}_{1}\ {\hat {B}}_{J}\cdots {\hat {B}}_{1}\rangle }$$

أين${\displaystyle N=N_{\hat {B}}+N_{\hat {a}}}$و${\displaystyle N_{\hat {B}}=J+K}$بينما تم حذف مؤشرات الزخم الصريحة اختصارًا. هذه الكميات مرتبة ترتيبًا طبيعيًا، ما يعني أن جميع عوامل الإنشاء تقع على الجانب الأيسر، بينما تقع جميع عوامل الإفناء على الجانب الأيمن في القيمة المتوقعة. من السهل إثبات أن هذه القيمة المتوقعة تتلاشى إذا لم تتساوى كمية عوامل إنشاء وإفناء الفرميونات. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

بمجرد معرفة هاميلتوني النظام، يمكن استخدام معادلة هايزنبرغ للحركة لتوليد ديناميكيات نظام معين.${\displaystyle N}$مؤثر الجسيمات. ومع ذلك، فإن تفاعلات الأجسام المتعددة بالإضافة إلى التفاعلات الكمومية البصرية تربط${\displaystyle N}$كميات الجسيمات إلى${\displaystyle (N+1)}$تُعرف القيم المتوقعة للجسيمات بمسألة التسلسل الهرمي لـ Bogolyubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon (BBGKY) . رياضيًا، تتفاعل جميع الجسيمات مع بعضها البعض، مما يؤدي إلى بنية معادلة.

$${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\langle {\hat {N}}\rangle =\mathrm {T} \left[\langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {Hi} \left[\langle {\hat {N}}+1\rangle \right]}$$

حيثما كان ذلك وظيفيا${\displaystyle T}$يرمز إلى المساهمات بدون مشكلة التسلسل الهرمي ، ويتم تمثيل الدالة الخاصة بالاقتران الهرمي (Hi) بواسطة${\displaystyle \mathrm {Hi} [\langle {\hat {N}}+1\rangle ]}$بما أن جميع مستويات القيم المتوقعة يمكن أن تكون غير صفرية، وصولاً إلى العدد الفعلي للجسيمات، فلا يمكن اقتطاع هذه المعادلة مباشرة دون مزيد من الاعتبارات.

يمكن اختصار مشكلة التسلسل الهرمي بشكل منهجي بعد تحديد المجموعات المترابطة. وتنتج أبسط التعريفات بعد تحديد المجموعات بشكل متكرر. في أدنى مستوى، نجد فئة قيم التوقع للجسيمات المفردة (الجسيمات المفردة) التي يرمز لها بـ${\displaystyle \langle 1\rangle }$أي قيمة متوقعة لجسيمين${\displaystyle \langle 2\rangle }$يمكن تقريبها عن طريق التحليل إلى عوامل${\displaystyle \langle 2\rangle _{\mathrm {S} }=\langle 1\rangle \langle 1\rangle }$والتي تتضمن مجموعًا رسميًا لجميع نواتج القيم المتوقعة للجسيمات المفردة الممكنة. وبشكل أعم،${\displaystyle \langle 1\rangle }$يُحدد هذا المصطلح القمصان الفردية و${\displaystyle \langle N\rangle _{\mathrm {S} }}$هو تحليل أحادي لـ${\displaystyle N}$القيمة المتوقعة للجسيمات. فيزيائيًا، ينتج عن تحليل الحالة المفردة بين الفرميونات تقريب هارتري-فوك، بينما ينتج عن البوزونات التقريب الكلاسيكي حيث يتم استبدال مؤثرات البوزون رسميًا بسعة متماسكة، أي${\displaystyle {\hat {B}}\rightarrow \langle {\hat {B}}\rangle }$يشكل تحليل المفرد المستوى الأول من تمثيل توسيع المجموعة.

الجزء المرتبط من${\displaystyle \langle 2\rangle }$إذن، يكون الفرق بين القيمة الفعلية${\displaystyle \langle 2\rangle }$والتحليل إلى عوامل مفردة${\displaystyle \langle 2\rangle _{\mathrm {S} }}$وبصورة رياضية أدق، نجد

$${\displaystyle \langle 2\rangle =\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }+\Delta \langle 2\rangle }$$

حيث${\displaystyle \Delta }$يشير مصطلح "المساهمة" إلى الجزء المرتبط، أي${\displaystyle \Delta \langle 2\rangle =\langle 2\rangle -\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }}$وتتبع المستويات التالية من عمليات التعريف بشكل متكرر ^{[ 2 ]} من خلال تطبيق

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 3\rangle &=\langle 3\rangle _{\mathrm {S} }+\langle 1\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\Delta \langle 3\rangle \,,\\\langle N\rangle &=\langle N\rangle _{\mathrm {S} }\\&\quad +\langle N-2\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 2\rangle \\&\quad +\langle N-4\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 2\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\dots \\&\quad +\langle N-3\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 3\rangle \\&\quad +\langle N-5\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 3\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\dots \\&\quad +\Delta \langle N\rangle \,,\end{aligned}}}$$

حيث يمثل كل حد من حدود الضرب تحليلًا واحدًا للعوامل، ويتضمن ضمنيًا مجموع جميع التحليلات للعوامل ضمن فئة الحدود المحددة. ويُشار إلى الجزء المرتبط ارتباطًا بحتًا بـ${\displaystyle \Delta \langle N\rangle }$ومن هذه، الارتباطات بين جسيمين${\displaystyle \Delta \langle 2\rangle }$تحديد الثنائيات، بينما ارتباطات الجسيمات الثلاثة${\displaystyle \Delta \langle 3\rangle }$يُطلق عليهم اسم التوائم الثلاثية.

بما أن هذا التحديد يُطبق بشكل متكرر، يمكن تحديد الارتباطات التي تظهر في مسألة التسلسل الهرمي بشكل مباشر. ثم يتم تحديد الديناميكيات الكمومية لهذه الارتباطات، مما ينتج عنه

$${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Delta \langle {\hat {N}}\rangle =\mathrm {T} \left[\Delta \langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {NL} \left[\langle {\hat {1}}\rangle ,\Delta \langle {\hat {2}}\rangle ,\cdots ,\Delta \langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {Hi} \left[\Delta \langle {\hat {N}}+1\rangle \right]\,,}$$

حيث ينتج عن عمليات التحليل اقتران غير خطي${\displaystyle \mathrm {NL} \left[\cdots \right]}$بين المجموعات. من الواضح أن إدخال المجموعات لا يُزيل مشكلة التسلسل الهرمي في النهج المباشر، لأن المساهمات الهرمية تبقى في الديناميكيات. تشير هذه الخاصية وظهور الحدود غير الخطية إلى تعقيدات في قابلية تطبيق نهج توسيع المجموعات.

مع ذلك، وبخلاف نهج القيمة المتوقعة المباشر، فإن تفاعلات الأجسام المتعددة والتفاعلات الكمومية البصرية تولد ارتباطات بشكل متسلسل. ^{[ 2 ] [ 9 ]} في العديد من المسائل ذات الصلة، نجد أنفسنا أمام حالة تكون فيها التجمعات ذات الرتبة الأدنى فقط هي غير صفرية في البداية، بينما تتراكم التجمعات ذات الرتب الأعلى ببطء. في هذه الحالة، يمكن إهمال الاقتران الهرمي.${\displaystyle \mathrm {Hi} \left[\Delta \langle {\hat {C}}+1\rangle \right]}$، بمستوى يتجاوز${\displaystyle C}$تجمعات الجسيمات. ونتيجة لذلك، تصبح المعادلات مغلقة، ولا يحتاج المرء إلا إلى حساب الديناميكيات حتى${\displaystyle C}$- الارتباطات بين الجسيمات لشرح الخصائص ذات الصلة بالنظام. بما أن${\displaystyle C}$وبما أن عدد الجسيمات عادةً ما يكون أصغر بكثير من العدد الإجمالي للجسيمات، فإن نهج توسيع التجمعات يوفر مخطط حل عملي ومنهجي لدراسات الأجسام المتعددة والبصريات الكمومية. ^{[ 2 ]}

إلى جانب وصف الديناميكيات الكمومية، يمكن تطبيق منهج التوسع العنقودي بشكل طبيعي لتمثيل التوزيعات الكمومية. ومن بين الاحتمالات المتاحة تمثيل التقلبات الكمومية لنمط ضوئي كمومي.${\displaystyle {\hat {B}}}$من حيث المجموعات، مما ينتج عنه تمثيل توسيع المجموعة. بدلاً من ذلك، يمكن التعبير عنها من حيث تمثيل القيمة المتوقعة.${\displaystyle \langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle }$في هذه الحالة، يكون الاتصال من${\displaystyle \langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle }$إن مصفوفة الكثافة فريدة، لكنها قد تؤدي إلى سلسلة متباعدة عدديًا. يمكن حل هذه المشكلة بإدخال تحويل توسيع التجميع (CET) ^{[ 10 ]} الذي يمثل التوزيع بدلالة دالة غاوسية ، مُعرَّفة بمساهمات المفرد والمزدوج، مضروبة في متعددة حدود، مُعرَّفة بالتجميعات ذات الرتبة الأعلى. وقد تبيّن أن هذه الصيغة توفر تقاربًا فائقًا في تحويلات التمثيل.

لهذه المسألة الرياضية البحتة تطبيق فيزيائي مباشر. إذ يُمكن تطبيق تحويل التوسع العنقودي لإسقاط القياسات الكلاسيكية بدقة على القياسات الكمومية البصرية. ^{[ 11 ]} وتعتمد هذه الخاصية بشكل كبير على قدرة تحويل التوسع العنقودي على وصف أي توزيع بصيغة ضرب دالة غاوسية في عامل متعدد الحدود. وتُستخدم هذه التقنية حاليًا للوصول إلى الطيف الكمومي البصري واستخلاصه من مجموعة من قياسات الطيف الكلاسيكي، والتي يُمكن إجراؤها باستخدام ليزرات عالية الجودة .