القيمة المتوقعة

لم يستخدم كل من باسكال وهويغنز مصطلح "التوقع" بمعناه الحديث. وعلى وجه الخصوص، كتب هويغنز: ^{[ 7 ]}

إن أي فرصة أو توقع للفوز بأي شيء يساوي مبلغًا معينًا، وهو المبلغ الذي يمكن الحصول عليه بنفس الفرصة والتوقع في رهان عادل. ... إذا توقعتُ أ أو ب، وكان لديّ فرصة متساوية للفوز بهما، فإن توقعي يساوي (أ + ب) / 2.

بعد أكثر من مائة عام، في عام 1814، نشر بيير سيمون لابلاس كتابه " النظرية التحليلية للاحتمالات "، حيث تم تعريف مفهوم القيمة المتوقعة بشكل صريح: ^{[ 8 ]}

... هذه الميزة في نظرية الصدفة هي نتاج المجموع المأمول واحتمالية تحقيقه؛ وهي المجموع الجزئي الذي ينبغي أن ينتج عندما لا نرغب في تحمل مخاطر الحدث بافتراض أن التقسيم يتناسب مع الاحتمالات. هذا التقسيم هو التقسيم العادل الوحيد عند استبعاد جميع الظروف غير المتوقعة؛ لأن درجة الاحتمال المتساوية تمنح حقًا متساويًا في المجموع المأمول. سنسمي هذه الميزة بالأمل الرياضي.

لنفترض متغيرًا عشوائيًا${\displaystyle X}$بقائمة محدودة​${\displaystyle x_{1},...,x_{k}}$من النتائج المحتملة، كل منها (على التوالي) لها احتمال${\displaystyle p_{1},...,p_{k}}$من حدوث ذلك. توقع حدوث ذلك${\displaystyle X}$يُعرَّف على أنه ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.}$$

بما أن الاحتمالات يجب أن تحقق${\displaystyle p_{1}+...+p_{ك}=1}$من الطبيعي أن يفسر${\displaystyle E[X]}$كمتوسط ​​مرجح لـ${\displaystyle x_{i}}$القيم، مع أوزان محددة باحتمالاتها${\displaystyle p_{i}}$.

في الحالة الخاصة التي تكون فيها جميع النتائج الممكنة متساوية الاحتمال (أي${\displaystyle p_{1}=...=p_{k}}$يُحسب المتوسط ​​المرجح من المتوسط ​​المعياري . وفي الحالة العامة، تأخذ القيمة المتوقعة في الاعتبار أن بعض النتائج أكثر احتمالاً من غيرها.

أمثلة

• يترك${\displaystyle X}$يمثل هذا نتيجة رمي نرد سداسي الأوجه متوازن. وبشكل أكثر تحديدًا،${\displaystyle X}$سيكون عدد النقاط الظاهرة على الوجه العلوي للنرد بعد رميه هو القيمة الممكنة لـ${\displaystyle X}$هي 1، 2 ، 3، 4، 5، و 6 ، وكلها متساوية الاحتمال باحتمال 1/6 . القيمة المتوقعة هي${\displaystyle X}$يكون$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.}$$إذا قام شخص ما برمي النرد${\displaystyle n}$يحسب المتوسط ​​الحسابي للنتائج، ثم يقسمها على عدد مرات، ثم يقسمها على عدد مرات تكرارها.${\displaystyle n}$عندما يزداد المتوسط، فإنه سيتقارب بشكل شبه مؤكد مع القيمة المتوقعة، وهي حقيقة تُعرف باسم قانون الأعداد الكبيرة القوي .
• تتكون لعبة الروليت من كرة صغيرة وعجلة بها 38 جيبًا مرقمًا على حافتها. عند تدوير العجلة، ترتد الكرة بشكل عشوائي حتى تستقر في أحد الجيوب. لنفترض أن المتغير عشوائي${\displaystyle X}$يمثل هذا المبلغ الناتج (النقدي) لرهان بقيمة دولار واحد على رقم واحد ("رهان مباشر"). إذا ربح الرهان (وهو احتمال 1/38 في لعبة الروليت الأمريكية) ، يكون العائد 35 دولارًا؛ وإلا يخسر اللاعب الرهان. سيكون الربح المتوقع من هذا الرهان هو$${\displaystyle \operatorname {E} [\,{\text{gain from }}\$1{\text{ bet}}\,]=-\$1\cdot {\frac {37}{38}}+\$35\cdot {\frac {1}{38}}=-\${\frac {1}{19}}.}$$أي أن القيمة المتوقعة للربح من رهان بقيمة دولار واحد هي -1/19 . وبالتالي ، في 190 رهانًا، ستكون الخسارة الصافية على الأرجح حوالي 10 دولارات .

بصورة غير رسمية، يُعرَّف توقع متغير عشوائي ذي مجموعة لا نهائية قابلة للعد من النتائج المحتملة، بشكل مماثل، بأنه المتوسط ​​المرجح لجميع النتائج المحتملة، حيث تُعطى الأوزان باحتمالات تحقق كل قيمة معينة. وهذا يعني أن $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},}$$ أين${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$هي النتائج المحتملة للمتغير العشوائي${\displaystyle X}$و${\displaystyle p_{1},p_{2},...}$وهي احتمالاتها المقابلة. في العديد من الكتب الدراسية غير الرياضية، يُقدَّم هذا على أنه التعريف الكامل للقيم المتوقعة في هذا السياق. ^{[ 13 ]}

مع ذلك، توجد بعض التعقيدات المتعلقة بالجمع اللانهائي، لذا فإن الصيغة المذكورة أعلاه غير مناسبة كتعريف رياضي. على وجه الخصوص، توضح نظرية متسلسلة ريمان في التحليل الرياضي أن قيمة بعض المجاميع اللانهائية التي تتضمن حدودًا موجبة وسالبة تعتمد على ترتيب هذه الحدود. وبما أن نتائج المتغير العشوائي لا تتبع ترتيبًا محددًا، فإن هذا يُصعّب تحديد القيمة المتوقعة بدقة.

لهذا السبب، لا تتناول العديد من كتب الرياضيات إلا حالة التقارب المطلق للمجموع اللانهائي المذكور أعلاه ، مما يعني أن هذا المجموع عدد محدود بغض النظر عن ترتيب الحدود. ^{[ 14 ]} أما في الحالة البديلة، أي عندما لا يتقارب المجموع اللانهائي تقاربًا مطلقًا، فيُقال إن المتغير العشوائي ليس له قيمة متوقعة محدودة. ^{[ 14 ]}

والآن لنفترض متغيرًا عشوائيًا${\displaystyle X}$والتي لها دالة كثافة احتمالية معطاة بدالة${\displaystyle f}$على خط الأعداد الحقيقية . هذا يعني أن احتمال${\displaystyle X}$تأخذ الدالة f أي قيمة في فترة مفتوحة معينة ، ويتم حسابها بتكامل الدالة f على تلك الفترة. القيمة المتوقعة لـ${\displaystyle X}$ثم يتم تحديدها بواسطة التكامل ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx.}$$ يستخدم تعريف عام ودقيق رياضياً لهذا المفهوم نظرية القياس وتكامل لوبيغ ، وسيتم شرح النظرية المقابلة للمتغيرات العشوائية المتصلة تماماً في القسم التالي. تكون دوال الكثافة للعديد من التوزيعات الشائعة متصلة جزئياً ، ولذلك غالباً ما تُطوَّر النظرية في هذا الإطار المحدود. ^{[ 16 ]} بالنسبة لهذه الدوال، يكفي النظر فقط في تكامل ريمان القياسي . أحياناً تُعرَّف المتغيرات العشوائية المتصلة بأنها تلك التي تُقابل هذه الفئة الخاصة من دوال الكثافة، على الرغم من اختلاف استخدام المصطلح بين المؤلفين.

على غرار الحالة اللانهائية القابلة للعد المذكورة أعلاه، توجد بعض التعقيدات في هذا التعبير بسبب منطقة التكامل اللانهائية. ويمكن ملاحظة هذه التعقيدات بشكل ملموس إذا كان توزيع${\displaystyle X}$يتم تحديدها بواسطة توزيع كوشي Cauchy(0, π) ، بحيث${\displaystyle f(x)=(x^{2}+\pi ^{2})^{-1}}$من السهل حساب ذلك في هذه الحالة. $${\displaystyle \int _{a}^{b}xf(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {x}{x^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}+\pi ^{2}}{a^{2}+\pi ^{2}}}.}$$ نهاية هذا التعبير هي${\displaystyle a\to -\infty }$و${\displaystyle b\to +\infty }$غير موجود: إذا تم تحديد الحدود بحيث${\displaystyle a=-b}$إذا كان الحد يساوي صفرًا، فإن الحد يكون صفرًا، بينما إذا كان القيد${\displaystyle 2a=-b}$إذا تم أخذها، فإن الحد هو${\displaystyle \ln(2)}$.

ولتجنب مثل هذه الالتباسات، من الشائع في كتب الرياضيات اشتراط أن يكون التكامل المعطى متقاربًا تقاربًا مطلقًا ، مع${\displaystyle E[X]}$وإلا فإنه يبقى غير مُعرَّف. ^{[ 17 ]} ومع ذلك، يمكن استخدام المفاهيم النظرية للقياس كما هو موضح أدناه لإعطاء تعريف منهجي لـ${\displaystyle E[X]}$بالنسبة للمتغيرات العشوائية الأكثر عمومية${\displaystyle X}$.

يمكن التعبير عن جميع تعريفات القيمة المتوقعة بلغة نظرية القياس . بشكل عام، إذا${\displaystyle X}$هو متغير عشوائي ذو قيمة حقيقية معرف على فضاء احتمالي${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ثم القيمة المتوقعة لـ${\displaystyle X}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle E[X]}$، يتم تعريفها على أنها تكامل ليبيغ ^{[ 18 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X\,d\operatorname {P} .}$$ على الرغم من الوضع المجرد الجديد، فإن هذا التعريف يشبه إلى حد كبير أبسط تعريف للقيم المتوقعة، المذكور أعلاه، باعتبارها متوسطات مرجحة معينة. وذلك لأنه في نظرية القياس، قيمة تكامل لوبيغ لـ${\displaystyle X}$يتم تعريفها من خلال المتوسطات المرجحة لتقريبات${\displaystyle X}$والتي تأخذ عددًا محدودًا من القيم. ^{[ 19 ]} علاوة على ذلك، إذا أُعطي متغير عشوائي ذو عدد محدود أو قابل للعد من القيم الممكنة، فإن نظرية لوبيغ للتوقع تكون مطابقة لصيغ الجمع المذكورة أعلاه. ومع ذلك، توضح نظرية لوبيغ نطاق نظرية دوال كثافة الاحتمال. متغير عشوائي${\displaystyle X}$يُقال إنها متصلة بشكل مطلق إذا تحققت أي من الشروط التالية:

• توجد دالة قابلة للقياس غير سالبة${\displaystyle f}$على خط الأعداد الحقيقية بحيث$${\displaystyle \operatorname {P} (X\in A)=\int _{A}f(x)\,dx,}$$لأي مجموعة بوريل${\displaystyle A}$، حيث يكون التكامل من نوع ليبيغ.
• دالة التوزيع التراكمي لـ${\displaystyle A}$متصلة تمامًا .
• لأي مجموعة بوريل${\displaystyle A}$بالنسبة للأعداد الحقيقية التي تساوي قياسات ليبيغ فيها صفرًا، فإن احتمال${\displaystyle X}$يتم تقديرها في${\displaystyle A}$يساوي أيضًا صفرًا
• لأي عدد موجب${\displaystyle \varepsilon }$يوجد عدد موجب${\displaystyle \delta }$بحيث: إذا${\displaystyle A}$هي مجموعة بوريل بقياس ليبيغ أقل من${\displaystyle \delta }$ثم احتمال${\displaystyle X}$يتم تقديرها في${\displaystyle A}$أقل من${\displaystyle \varepsilon }$.

جميع هذه الشروط متكافئة، على الرغم من أن إثبات ذلك ليس بالأمر الهين. ^{[ 20 ]} في هذا التعريف،${\displaystyle f}$تُسمى دالة كثافة الاحتمال لـ${\displaystyle X}$(بالنسبة لمقياس ليبيغ). وفقًا لصيغة تغيير المتغيرات لتكامل ليبيغ، ^{[ 21 ]} مقترنة بقانون الإحصائي غير الواعي ، ^{[ 22 ]} يترتب على ذلك أن $${\displaystyle \operatorname {E} [X]\equiv \int _{\Omega }X\,d\operatorname {P} =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx}$$ لأي متغير عشوائي متصل تمامًا${\displaystyle X}$وبالتالي فإن المناقشة السابقة للمتغيرات العشوائية المستمرة هي حالة خاصة من نظرية ليبيغ العامة، وذلك بسبب حقيقة أن كل دالة متصلة جزئيًا قابلة للقياس.

القيمة المتوقعة لأي متغير عشوائي ذي قيمة حقيقية${\displaystyle X}$ويمكن تعريفها أيضًا على الرسم البياني لدالة التوزيع التراكمي الخاصة بها.${\displaystyle F}$بتقارب المساحات. في الواقع،${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }$مع عدد حقيقي${\displaystyle \mu }$إذا وفقط إذا كان السطحان في${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$المستوى - الموصوف بواسطة $${\displaystyle x\leq \mu ,\;\,0\leq y\leq F(x)\quad {\text{or}}\quad x\geq \mu ,\;\,F(x)\leq y\leq 1}$$ على التوالي، لهما نفس المساحة المحدودة، أي إذا $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\mu }F(x)\,dx=\int _{\mu }^{\infty }{\big (}1-F(x){\big )}\,dx}$$ ويتقارب كلا التكاملين الريمانيين غير الصحيحين . وأخيرًا، هذا يكافئ التمثيل $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}1-F(x){\bigr )}\,dx-\int _{-\infty }^{0}F(x)\,dx,}$$ وكذلك مع التكاملات المتقاربة. ^{[ 23 ]}

القيم المتوقعة، كما هو مُعرّف أعلاه، هي أعداد محدودة تلقائيًا. ومع ذلك، في كثير من الحالات، من الضروري أن نكون قادرين على مراعاة القيم المتوقعة لـ${\displaystyle \pm \infty }$وهذا أمر بديهي، على سبيل المثال، في حالة مفارقة سانت بطرسبرغ ، حيث يتم اعتبار متغير عشوائي ذي نتائج محتملة${\displaystyle x_{i}=2^{i}}$، مع الاحتمالات المرتبطة بها${\displaystyle p_{i}=2^{-i}}$، ل${\displaystyle i}$يتراوح هذا النطاق على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة. ووفقًا لصيغة الجمع في حالة المتغيرات العشوائية ذات عدد النتائج القابل للعد، يكون لدينا $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=2\cdot {\frac {1}{2}}+4\cdot {\frac {1}{4}}+8\cdot {\frac {1}{8}}+16\cdot {\frac {1}{16}}+\cdots =1+1+1+1+\cdots .}$$ من الطبيعي القول إن القيمة المتوقعة تساوي${\displaystyle +\infty }$.

توجد نظرية رياضية دقيقة تدعم هذه الأفكار، وغالبًا ما تُعتبر جزءًا من تعريف تكامل لوبيغ. ^{[ 19 ]} الملاحظة الأساسية الأولى هي أنه، بغض النظر عن التعريف المُتبع أعلاه، يمكن إعطاء أي متغير عشوائي غير سالب قيمة متوقعة لا لبس فيها؛ وعندما يفشل التقارب المطلق، يمكن تعريف القيمة المتوقعة على النحو التالي:${\displaystyle +\infty }$الملاحظة الأساسية الثانية هي أنه يمكن كتابة أي متغير عشوائي على أنه الفرق بين متغيرين عشوائيين غير سالبين. بفرض متغير عشوائي${\displaystyle X}$يُحدد المرء الأجزاء الإيجابية والسلبية من خلال${\displaystyle X^{+}=\max(X,0)}$و${\displaystyle X^{-}=\max(-X,0)}$هذه متغيرات عشوائية غير سالبة، ويمكن التحقق مباشرة من ذلك.${\displaystyle X=X^{+}-X^{-}}$. منذ${\displaystyle E[X^{+}]}$و${\displaystyle E[X^{-}]}$إذا تم تعريف كليهما إما كأعداد غير سالبة أو +∞ ، فمن الطبيعي بعد ذلك تعريف: $${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\begin{cases}\operatorname {E} [X^{+}]-\operatorname {E} [X^{-}]&{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty$$ ;\\+\infty &{\text{إذا كان }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{و}}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty  ;\\-\infty &{\text{إذا كان }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{و}}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty  ;\\{\text{غير معرف}}&{\text{إذا كان }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{و}}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty .\end{cases}}}

وفقًا لهذا التعريف،${\displaystyle E[X]}$موجود ويكون محدودًا إذا وفقط إذا${\displaystyle E[X^{+}]}$و${\displaystyle E[X^{-}]}$كلاهما محدود. وذلك بسبب الصيغة${\displaystyle \left|X\right|=X^{+}+X^{-}}$، وهذا صحيح إذا وفقط إذا${\displaystyle E[\left|X\right|]}$هي قيمة محدودة، وهذا يُعادل شروط التقارب المطلق في التعريفات المذكورة أعلاه. وعليه، فإن الاعتبارات الحالية لا تُحدد قيمًا متوقعة محدودة في أي حالات لم تُدرس سابقًا؛ فهي مفيدة فقط للقيم المتوقعة غير المحدودة.

• في حالة مفارقة سانت بطرسبرغ، يكون لدى المرء${\displaystyle X^{-}=0}$وهكذا${\displaystyle E[X]=+\infty }$حسب الرغبة.
• لنفترض المتغير العشوائي${\displaystyle X}$يأخذ قيمًا${\displaystyle 1,-2,3,-4,...}$باحتمالات متناسبة${\displaystyle 6\pi ^{-2},6(2\pi )^{-2},6(3\pi )^{-2},6(4\pi )^{-2},...}$ثم يترتب على ذلك أن${\displaystyle X^{+}}$يأخذ قيمة${\displaystyle 2k-1}$ باحتمال${\displaystyle 6((2k-1)\pi )^{-2}}$لكل عدد صحيح موجب${\displaystyle k}$ويأخذ قيمة${\displaystyle 0}$مع الاحتمال المتبقي. وبالمثل،${\displaystyle X^{-}}$يأخذ قيمة${\displaystyle 2k}$باحتمال${\displaystyle 6(2k\pi )^{-2}}$لكل عدد صحيح موجب${\displaystyle k}$ويأخذ قيمة${\displaystyle 0}$مع الاحتمال المتبقي. باستخدام تعريف المتغيرات العشوائية غير السالبة، يمكن إثبات أن كليهما${\displaystyle E[X^{+}]=\infty }$و${\displaystyle E[X^{-}]=\infty }$(انظر سلسلة التوافقيات ). وبالتالي، في هذه الحالة يكون التوقع هو${\displaystyle X}$غير مُعرَّف.
• وبالمثل، فإن توزيع كوشي، كما نوقش أعلاه، له قيمة متوقعة غير محددة.

في حالة المتغير العشوائي ذي القيمة الصحيحة غير السالبة${\displaystyle X}$ويمكن أيضًا التعبير عن القيمة المتوقعة بدلالة احتمالات الذيل (وتسمى أحيانًا صيغة مجموع الذيل ):

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{k=0}^{\infty }\Pr(X>k).}$

ينطبق إصدار أكثر عمومية على أي متغير عشوائي غير سالب (منفصل أو متصل):

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }\Pr(X>t)\,dt,}$

حيث أن الدالة التكاملية هي دالة البقاء لـ${\displaystyle X}$.

تتحكم متباينات التركيز في احتمالية أن يأخذ متغير عشوائي قيمًا كبيرة. وتُعد متباينة ماركوف من بين أشهرها وأبسطها إثباتًا: بالنسبة لمتغير عشوائي غير سالب X وأي عدد موجب a ، فإنها تنص على أن ^{[ 37 ]}$${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} [X]}{a}}.}$$

إذا كان X أي متغير عشوائي ذو قيمة متوقعة محدودة، فيمكن تطبيق متباينة ماركوف على المتغير العشوائي | X − E[ X ]| ^² للحصول على متباينة تشيبيشيف.$${\displaystyle \operatorname {P} (|X-{\text{E}}[X]|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} [X]}{a^{2}}},}$$ حيث Var هو التباين . ^{[ 37 ]} تكتسب هذه المتباينات أهميةً بالغةً لافتقارها شبه التام إلى الافتراضات الشرطية. فعلى سبيل المثال، بالنسبة لأي متغير عشوائي ذي قيمة متوقعة محدودة، تشير متباينة تشيبيشيف إلى وجود احتمال بنسبة 75% على الأقل لوقوع نتيجة ما ضمن انحرافين معياريين عن القيمة المتوقعة. مع ذلك، في حالات خاصة، غالبًا ما تُقدم متباينتا ماركوف وتشيبيشيف معلومات أضعف بكثير مما هو متاح في غير ذلك. فعلى سبيل المثال، في حالة النرد غير الموزون، تنص متباينة تشيبيشيف على أن احتمالية الحصول على نتيجة بين 1 و6 هي 53% على الأقل؛ بينما في الواقع، تبلغ هذه الاحتمالية 100%. ^{[ 38 ]} تُعمم متباينة كولموغوروف متباينة تشيبيشيف لتشمل سياق مجاميع المتغيرات العشوائية. ^{[ 39 ]}

تعتبر المتباينات الثلاث التالية ذات أهمية أساسية في مجال التحليل الرياضي وتطبيقاته في نظرية الاحتمالات.

• متباينة جنسن : لتكن f دالة محدبة من R إلى R ، وليكن X متغيرًا عشوائيًا ذو قيمة متوقعة محدودة. عندئذٍ ^{[ 40 ]}$${\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X)).}$$جزء من الادعاء هو أن الجزء السالب من الدالة f ( X ) له قيمة متوقعة محدودة، وبالتالي فإن الطرف الأيمن مُعرَّف جيدًا (وربما يكون غير محدود). يمكن صياغة تحدب الدالة f على أنه يعني أن ناتج المتوسط ​​المرجح لمدخلين يُقلل من قيمة المتوسط ​​المرجح نفسه للمخرجين؛ وتُعمِّم متباينة جنسن هذا المفهوم ليشمل المتوسطات المرجحة العامة تمامًا، كما هو مُعبَّر عنه بالقيمة المتوقعة. في الحالة الخاصة التي يكون فيها f ( x ) = | x | ^{t / s} للأعداد الموجبة s < t ، نحصل على متباينة ليابونوف ^{[ 41 ].}$${\displaystyle \left(\operatorname {E} |X|^{s}\right)^{1/s}\leq \left(\operatorname {E} |X|^{t}\right)^{1/t}.}$$ويمكن إثبات ذلك أيضًا بواسطة متباينة هولدر. ^{[ 40 ]} في نظرية القياس، يُعد هذا الأمر جديرًا بالملاحظة بشكل خاص لإثبات احتواء ^فضاءات Lp على L ^s ⊂ L ^t ، في الحالة الخاصة لفضاءات الاحتمال .
• متباينة هولدر : إذا كان p > 1 و q > 1 عددين يحققان المعادلة p ⁻¹ + q ⁻¹ = 1 ، فإن$${\displaystyle \operatorname {E} |XY|\leq (\operatorname {E} |X|^{p})^{1/p}(\operatorname {E} |Y|^{q})^{1/q}.}$$لأي متغيرين عشوائيين X و Y. ^{[ 40} ] تُسمى الحالة الخاصة لـ p = q = 2 بمتباينة كوشي-شفارتز ، وهي معروفة على وجه الخصوص ^{. [ 40 ]}
• متباينة مينكوفسكي : بالنظر إلى أي عدد p ≥ 1 ، لأي متغيرات عشوائية X و Y مع E| X | ^p و E| Y | ^p كلاهما محدود ، فإنه يترتب على ذلك أن E| X + Y | ^p محدود أيضًا و ^{[ 42 ]}$${\displaystyle {\Bigl (}\operatorname {E} |X+Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\leq {\Bigl (}\operatorname {E} |X|^{p}{\Bigr )}^{1/p}+{\Bigl (}\operatorname {E} |Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}.}$$

يمكن تعميم متراجحتي هولدر ومينكوفسكي على فضاءات القياس العامة ، وكثيراً ما تُستخدمان في هذا السياق. في المقابل، تُعدّ متراجحة جنسن خاصة بفضاءات الاحتمال.

بشكل عام، ليس الأمر كذلك.${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]\to \operatorname {E} [X]}$حتى لو${\displaystyle X_{n}\to X}$نقطة بنقطة. وبالتالي، لا يمكن تبديل النهايات والتوقعات دون شروط إضافية على المتغيرات العشوائية. ولتوضيح ذلك، لنفترض${\displaystyle U}$ليكن متغيرًا عشوائيًا موزعًا بشكل منتظم على${\displaystyle [0,1].}$ل${\displaystyle n\geq 1,}$حدد سلسلة من المتغيرات العشوائية $${\displaystyle X_{n}=n\cdot \mathbf {1} \left\{U\in \left(0,{\tfrac {1}{n}}\right)\right\},}$$ مع${\displaystyle \mathbf {1} \{A\}}$كونها وظيفة المؤشر للحدث${\displaystyle A.}$وبناءً على ذلك،${\displaystyle X_{n}\to 0}$من حيث النقاط. لكن،${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]=n\cdot \Pr \left(U\in \left[0,{\tfrac {1}{n}}\right]\right)=n\cdot {\tfrac {1}{n}}=1}$لكل${\displaystyle n.}$لذلك،${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [X_{n}]=1\neq 0=\operatorname {E} \left[\lim _{n\to \infty }X_{n}\right].}$

وبالمثل، بالنسبة للتسلسل العام للمتغيرات العشوائية${\displaystyle \{Y_{n}:n\geq 0\},}$عامل القيمة المتوقعة ليس${\displaystyle \sigma }$-مضاف، أي $${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{n=0}^{\infty }Y_{n}\right]\neq \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {E} [Y_{n}].}$$

يمكن الحصول على مثال بسهولة عن طريق تحديد${\displaystyle Y_{0}=X_{1}}$و${\displaystyle Y_{n}=X_{n+1}-X_{n}}$ل${\displaystyle n\geq 1,}$أين${\displaystyle X_{n}}$كما في المثال السابق.

تحدد عدد من نتائج التقارب شروطًا دقيقة تسمح بتبديل الحدود والتوقعات، كما هو موضح أدناه.

• نظرية التقارب الرتيب : ليكن${\displaystyle \{X_{n}:n\geq 0\}}$لتكن سلسلة من المتغيرات العشوائية، مع${\displaystyle 0\leq X_{n}\leq X_{n+1}}$(كما) لكل${\displaystyle n\geq 0.}$علاوة على ذلك، دع${\displaystyle X_{n}\to X}$نقطة بنقطة. ثم تنص نظرية التقارب الرتيب على أن${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X].}$
  باستخدام نظرية التقارب الرتيب، يمكن إثبات أن التوقع يحقق بالفعل خاصية الجمع المعدود للمتغيرات العشوائية غير السالبة. على وجه الخصوص، ليكن${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=0}^{\infty }}$لتكن متغيرات عشوائية غير سالبة. ويترتب على ذلك من نظرية التقارب الرتيب أن$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=0}^{\infty }X_{i}\right]=\sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {E} [X_{i}].}$$
• معضلة فاتو : ليكن${\displaystyle \{X_{n}\geq 0:n\geq 0\}}$لتكن متتالية من المتغيرات العشوائية غير السالبة. تنص مبرهنة فاتو على أن$${\displaystyle \operatorname {E} [\liminf _{n}X_{n}]\leq \liminf _{n}\operatorname {E} [X_{n}].}$$
  نتيجة. ليكن${\displaystyle X_{n}\geq 0}$مع${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]\leq C}$للجميع${\displaystyle n\geq 0.}$لو${\displaystyle X_{n}\to X}$(كما)، ثم${\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq C.}$
  والدليل على ذلك هو ملاحظة أن${\textstyle X=\liminf _{n}X_{n}}$(كما) وتطبيق ليمّة فاتو.
• نظرية التقارب المسيطر : ليكن${\displaystyle \{X_{n}:n\geq 0\}}$لتكن سلسلة من المتغيرات العشوائية. إذا${\displaystyle X_{n}\to X}$نقطة بنقطة (كما)،${\displaystyle |X_{n}|\leq Y\leq +\infty }$(كما)، و${\displaystyle \operatorname {E} [Y]<\infty .}$ثم، وفقًا لنظرية التقارب المسيطر،
  • ${\displaystyle \operatorname {E} |X|\leq \operatorname {E} [Y]<\infty }$؛
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X]}$
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} |X_{n}-X|=0.}$
• التكامل المنتظم : في بعض الحالات، المساواة${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [\lim _{n}X_{n}]}$يتحقق التسلسل${\displaystyle \{X_{n}\}}$قابلة للتكامل بشكل منتظم.

دالة كثافة الاحتمال${\displaystyle f_{X}}$لمتغير عشوائي قياسي${\displaystyle X}$يرتبط ذلك بوظيفته المميزة${\displaystyle \varphi _{X}}$باستخدام صيغة الانعكاس: $${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt.}$$

بالنسبة للقيمة المتوقعة لـ${\displaystyle g(X)}$(أين${\displaystyle g:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$(وهي دالة بوريل )، يمكننا استخدام صيغة الانعكاس هذه للحصول على $${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }g(x)\left[\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt\right]dx.}$$

لو${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]}$بما أن الدالة محدودة، وبتغيير ترتيب التكامل، نحصل، وفقًا لنظرية فوبيني-تونيللي ، على$${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }G(t)\varphi _{X}(t)\,dt,}$$ أين $${\displaystyle G(t)=\int _{\mathbb {R} }g(x)e^{-itx}\,dx}$$ هو تحويل فورييه لـ${\displaystyle g(x).}$التعبير عن${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]}$ويتبع ذلك مباشرة من نظرية بلانشيريل .